一般觀念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)

黃暉明　吳國文

【摘 要】一般觀念是數(shù)學(xué)大概念的一種表現(xiàn)形式，一般觀念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)是以培養(yǎng)學(xué)生解決真實問題的專家思維為核心目標(biāo)的教學(xué)。在教學(xué)實踐中，通過概念再認(rèn)知提煉一般觀念，思考方法遷移深化一般觀念，進(jìn)階追問驅(qū)動發(fā)展一般觀念，幫助學(xué)生突破“解題思路怎么獲得”的難題，形成專家思維。

【關(guān)鍵詞】一般觀念；解題教學(xué)

數(shù)學(xué)解題是由一定情境引起，按照一定的目標(biāo)，綜合地、創(chuàng)造性地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識、技能，并經(jīng)過一系列的思維操作去解決問題的過程，包括解決常規(guī)問題、實際問題和源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題。在解題教學(xué)過程中，多數(shù)教師通過類型題的訓(xùn)練，幫助學(xué)生提煉出解題技巧及思維共性，再配以相關(guān)練習(xí)對知識和技能加以鞏固。為達(dá)到知識應(yīng)用目的，教師容易簡化思維碰撞的過程，長此以往，會導(dǎo)致解題教學(xué)徘徊在傳授及應(yīng)用專家結(jié)論的層面，無法觸及專家思維層面。不可否認(rèn)，這樣的解題教學(xué)可以使學(xué)生的成績在短期內(nèi)有所提升，但是缺點(diǎn)也是明顯的，即解題具體操作與解題策略由來之間缺少了溝通的橋梁，對“為什么這樣想”“如何才能想到”“具體怎么做”（即解題方法）等的思維、策略引導(dǎo)不夠，學(xué)生對問題的本質(zhì)認(rèn)識不夠清晰，解題只停留在模仿階段，變化問題情境后可能又會束手無策，這也就是“一說就懂、一做就錯”的根源所在。由傳授及應(yīng)用專家結(jié)論轉(zhuǎn)向培養(yǎng)專家思維的解題教學(xué)轉(zhuǎn)型勢在必行。

一、數(shù)學(xué)一般觀念的內(nèi)涵

一般觀念是數(shù)學(xué)大概念的一種表現(xiàn)形式。它是對內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括，是對數(shù)學(xué)對象的定義方式及其幾何性質(zhì)、代數(shù)性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)、概率性質(zhì)等“是什么”的一般性回答，是研究數(shù)學(xué)對象的方法論，對學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式對事物進(jìn)行觀察、思考、分析以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題等都具有指引作用。［1］

按照所在層級，一般觀念可以分為課程一般觀念、單元一般觀念和課時一般觀念。根據(jù)教學(xué)功能不同，這些不同層級的一般觀念還可以分為以下三類：一是指向內(nèi)容“是什么”的一般觀念，如幾何圖形的性質(zhì)是什么（即圖形的形狀特征、大小度量及位置關(guān)系）等；指向內(nèi)容“怎么學(xué)”的一般觀念，如借助單位圓研究三角函數(shù)，通過運(yùn)算研究數(shù)列相關(guān)問題等；指向內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想的一般觀念，如三角函數(shù)性質(zhì)是圓幾何性質(zhì)（主要是對稱性）的直接反映，研究隨機(jī)問題的重要思想（將一個隨機(jī)變量表示成一個主要的確定性的量與一個次要的隨機(jī)量之和，只要控制次要的隨機(jī)量在一定的范圍之內(nèi)，那么隨機(jī)問題就可以通過研究確定性問題得到理想的結(jié)果）等。［2］從教學(xué)功能看，一般觀念具有數(shù)學(xué)基本思想和具體研究策略雙重屬性，反映的是專家的思維方式，能將離散的知識結(jié)構(gòu)化和內(nèi)隱的方法系統(tǒng)化，能統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)內(nèi)容的組織，引領(lǐng)課堂教學(xué)的有序展開。

二、一般觀念引領(lǐng)下數(shù)學(xué)解題教學(xué)的優(yōu)勢

一般觀念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)，是以培養(yǎng)學(xué)生解決真實問題的專家思維為核心目標(biāo)的教學(xué)。“關(guān)聯(lián)”和“遷移”是一般觀念引領(lǐng)下解題教學(xué)的基本特征，也是優(yōu)勢所在。

一般觀念在統(tǒng)攝和組織教學(xué)內(nèi)容時，強(qiáng)調(diào)知識、方法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性和邏輯性，突出一般觀念的串聯(lián)作用。解題教學(xué)中的關(guān)聯(lián)主要包含內(nèi)容所處知識結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)和內(nèi)容所涉及思考方法的關(guān)聯(lián)。一般觀念是單元整合的依據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)，一般觀念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)可以根據(jù)關(guān)聯(lián)性將教學(xué)內(nèi)容迭代、累積、連接成主題單元，讓學(xué)生更加深刻地感受不同題型在同一思考方式下的解決過程，幫助學(xué)生構(gòu)建出解決同一類相關(guān)問題的思維支架。

遷移被定義為把一個情境中學(xué)到的東西遷移到新情境中的能力，一般觀念引領(lǐng)下的解題教學(xué)的遷移機(jī)制是高通路遷移（新任務(wù)與原任務(wù)不相似），需要用到具體與抽象的協(xié)同思維。即從很多具體案例中抽象出一個原理，再用這個原理指導(dǎo)下一次任務(wù)的完成［3］，具體案例越豐富多樣，抽象出來的原理就會越高位。學(xué)生在“具體—抽象—具體”的循環(huán)過程中，反復(fù)體驗一般觀念在問題解決中的思維引領(lǐng)作用，在深化和發(fā)展一般觀念的同時實現(xiàn)自主解決現(xiàn)實問題的最終目標(biāo)。思考方法的遷移是一般觀念引領(lǐng)下解題教學(xué)的重要任務(wù)，是利用相同或相似的方法研究一類問題，發(fā)生在較高的抽象層次，其遷移范圍根據(jù)思考方法本身的層次，或表現(xiàn)出與具體數(shù)學(xué)主題有關(guān)，或超越具體內(nèi)容而表現(xiàn)出普遍的適用性［4］。

三、一般觀念引領(lǐng)下數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計要點(diǎn)

一般觀念是高度抽象的，在解決問題中的引導(dǎo)作用并不是顯而易見的。一般觀念的學(xué)習(xí)也不可能一蹴而就，而是要經(jīng)歷一個從接觸到熟悉、領(lǐng)悟再到自覺運(yùn)用的“生長”過程。［5］一般觀念引領(lǐng)下的解題教學(xué)設(shè)計主要包含三個關(guān)鍵要點(diǎn)：概念再認(rèn)知，提煉一般觀念；思考方法遷移，深化一般觀念；問題鏈驅(qū)動，發(fā)展一般觀念。

（一）概念再認(rèn)知，提煉一般觀念

首先是要幫助學(xué)生將題目與知識關(guān)聯(lián)起來，并通過概念將知識結(jié)構(gòu)組織起來，接著是對概念進(jìn)行深入挖掘和拓展，厘清概念本質(zhì)及所蘊(yùn)含的基本思想方法，進(jìn)而提煉出一般觀念。概念回顧不是簡單地“炒冷飯”，而是對概念的再認(rèn)識，是揭示解題思路的由來進(jìn)而形成一般觀念的首要環(huán)節(jié)。

（二）思考方法遷移，深化一般觀念

與具體數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的思考方法類型較多而且具體，將這些思考方法放在同一領(lǐng)域內(nèi)容的學(xué)習(xí)或者問題解決中，其通用性能有效促進(jìn)學(xué)生實現(xiàn)知識、方法的遷移。比如在解決函數(shù)極值、最值、恒成立等問題時，函數(shù)零點(diǎn)是解題的基礎(chǔ)，碰到零點(diǎn)不可求的時候，經(jīng)常會轉(zhuǎn)化為新函數(shù)來研究，雖然轉(zhuǎn)化形式不同，但解題過程的核心思想都是“函數(shù)的觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)方程、不等式”“導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)與圖象的工具”的一般觀念。在教學(xué)中需要有意識地讓學(xué)生學(xué)習(xí)這種具有方法論意義的思考方法，這也就需要教師站在這類思考方法的關(guān)聯(lián)性角度整體地設(shè)計教學(xué)。

（三）問題鏈驅(qū)動，發(fā)展一般觀念

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需具備三個重要條件：好的學(xué)習(xí)素材，有效的研究思路，符合知識自然發(fā)生發(fā)展和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題。解題教學(xué)需要借助具體的研究對象，以問題為載體，將一般觀念融于有邏輯、有結(jié)構(gòu)的問題鏈中，通過問題鏈給出一般觀念的明確提示，引導(dǎo)學(xué)生開展系統(tǒng)化、系列化的數(shù)學(xué)活動。設(shè)計教學(xué)時還應(yīng)適當(dāng)變化問題情境，讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用一般觀念去解決問題。設(shè)計邏輯、因果、關(guān)聯(lián)三個層級的追問，讓學(xué)生經(jīng)歷“就題論題、就題論法、就題論道”的螺旋上升、層層遞進(jìn)的解題分析過程，從微觀到宏觀，幫助學(xué)生洞察數(shù)學(xué)解題的邏輯思維過程，從而豐富知識結(jié)構(gòu)，形成方法體系。問題由具體到綜合、由表象到本質(zhì)的不斷進(jìn)階，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不斷深化，思維層級從低階走向高階，在進(jìn)階的過程中不斷深化、發(fā)展一般觀念。以問題鏈進(jìn)行進(jìn)階追問，是一般觀念引領(lǐng)下解題教學(xué)的主要析題模式。

四、一般觀念引領(lǐng)下數(shù)學(xué)解題教學(xué)實踐

本文以函數(shù)的“零點(diǎn)不可求問題”為例，探析一般觀念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)模式。

1.關(guān)聯(lián)：追尋策略由來，提煉一般觀念

【師生活動】學(xué)生通過觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)系函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)的關(guān)系，利用全分離等價轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)或利用半分離等價轉(zhuǎn)化為二次曲線與指數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)。

追問2（因果追問）：解題思路是怎么想到的？

【師生活動】師生對內(nèi)容所包含的概念進(jìn)行梳理，形成知識結(jié)構(gòu)，進(jìn)而提煉出解題過程中的一般觀念。首先是對零點(diǎn)這一概念的把握，它是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是函數(shù)的性質(zhì)之一；同時函數(shù)有零點(diǎn)與方程有根、兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)是等價命題，可以相互轉(zhuǎn)化。通過對概念的再次解析，學(xué)生對零點(diǎn)的知識結(jié)構(gòu)有更加清晰的認(rèn)知，同時從概念中提煉出“是什么”的一般觀念（零點(diǎn)是函數(shù)的性質(zhì)之一）和“怎么學(xué)”的一般觀念（函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)方程、不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)與圖象），由此當(dāng)零點(diǎn)不可求時，回歸到如何研究函數(shù)圖象及性質(zhì)并作圖解決問題上。一般觀念便是解題思路的由來。

【設(shè)計意圖】例題教學(xué)旨在通過具體案例，抽象出解決問題的“原理”，不能僅僅止步于會解這道題，而是將學(xué)生的思維朝“為什么這樣解”“思路是怎么想到的”方向引導(dǎo)。首先是通過邏輯追問，引導(dǎo)學(xué)生對解題過程展開因果關(guān)系的探究，幫助學(xué)生追尋解題過程中的邏輯關(guān)系，明確解題過程每一個步驟的“理”，得出題與概念的關(guān)聯(lián)。接著，在明白解析過程的邏輯關(guān)系后，學(xué)生暫時學(xué)會解答一道題，此時設(shè)計因果追問，將分析視角引向知識本質(zhì)、方法由來，探究出概念與思考方法的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，從而提煉出一般觀念。

2.遷移：強(qiáng)化思考方法，深化一般觀念

一般觀念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)是在高通路遷移的機(jī)制下進(jìn)行的，它的重要特征在于案例背景不相似，但案例所承載的思考方法是一致的。遷移的實現(xiàn)有賴于反思性學(xué)習(xí)，教師在教學(xué)中可通過問題引領(lǐng)學(xué)生不斷反思，構(gòu)建具體與抽象的關(guān)聯(lián)，從而實現(xiàn)有意識的、深思熟慮的遷移?；谏鲜隹紤]，本文選取的3道練習(xí)題涉及極值點(diǎn)個數(shù)判斷、單調(diào)性、恒成立等知識背景，并以方程、不等式、函數(shù)等不同載體呈現(xiàn)，目的在于引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題過程中用到的思考方法是一致的，即“函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)方程、不等式”“導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)與圖象的工具”等。之后，通過問題鏈的進(jìn)階追問，引導(dǎo)學(xué)生從具體的案例中抽象出解題的“原理”，再利用“原理”解決新問題。在這種高通路遷移的機(jī)制下，學(xué)生經(jīng)歷具體到抽象、抽象到具體的循環(huán)往復(fù)過程，不斷體會一般觀念的思維引領(lǐng)作用。

【師生活動】引導(dǎo)學(xué)生歸納4道題在碰到零點(diǎn)不可求時都可以轉(zhuǎn)化為新函數(shù)來研究，雖然轉(zhuǎn)化形式不同，但解題過程都是在“函數(shù)的觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)方程、不等式”“導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)與圖象的工具”的一般觀念引領(lǐng)下進(jìn)行的。

【設(shè)計意圖】因果追問后，學(xué)生獲得試題與知識、思考方法的表層關(guān)系，但這種關(guān)系是碎片化的，無法形成整體性的關(guān)聯(lián)。只有把這種孤立的表層關(guān)系放到思考方法的體系中，抓住事物的本質(zhì)和規(guī)律，開展系統(tǒng)的理解活動，才能探明它們的內(nèi)在聯(lián)系，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)知識和方法的遷移。由此設(shè)計關(guān)聯(lián)追問，旨在引導(dǎo)學(xué)生對一類題進(jìn)行分析、綜合，進(jìn)而豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展一般觀念。學(xué)生需要調(diào)動以往的經(jīng)驗參與當(dāng)下的學(xué)習(xí)，又要將當(dāng)下學(xué)習(xí)內(nèi)容與已有經(jīng)驗建立結(jié)構(gòu)性的關(guān)聯(lián)，這是高階思維的重要體現(xiàn)。通過關(guān)聯(lián)追問，可以讓學(xué)生不斷接觸、反復(fù)體會解題過程中共通的思考方法，感受一般觀念在解題中的思維引領(lǐng)作用，從而凸顯一般觀念的統(tǒng)領(lǐng)性和策略性，深化、發(fā)展學(xué)生的一般觀念。

一般觀念引領(lǐng)下的解題教學(xué)，重在幫助學(xué)生突破“解題思路怎么獲得”的難題，形成專家思維，從而提升學(xué)生的解題水平和思維能力。一般觀念的滲透應(yīng)該成為教師解題教學(xué)的重要策略。

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍.學(xué)會提問：之五［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2022（3）：封四.

［2］黃暉明.一般觀念為統(tǒng)領(lǐng) 方法體系成自然：例析一般觀念下高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)設(shè)計［J］.理科考試研究，2023（7）：2-5.

［3］劉徽.大概念教學(xué)：素養(yǎng)導(dǎo)向的單元整體設(shè)計［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2022：18.

［4］唐恒鈞，張維忠.數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)的理論與實踐［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：77.

［5］章建躍.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革（續(xù)4）：《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版）》的研究與編寫［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（16）：7-11.

（責(zé)任編輯：潘安）