在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入分類思想的有效路徑研究

【摘要】從理論與實踐兩個層面論述在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入分類思想的有效路徑，對分類思想的概念進行解讀，介紹韋恩圖、象限圖、思維導(dǎo)圖、邏輯樹圖四種分類思想訓(xùn)練工具，分析初中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，探討在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入分類思想的重要意義，結(jié)合案例深入研究在教學(xué)中融入分類思想的有效策略，以期提升初中生的思維品質(zhì)，助力其創(chuàng)新發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；分類思想；教學(xué)策略

作者簡介：袁魁（1981—），男，江蘇省南通市北城中學(xué)。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動主要圍繞學(xué)生在學(xué)習數(shù)學(xué)的過程中遇到的難題展開，教師的作用在于幫助學(xué)生解決問題，提升其數(shù)學(xué)學(xué)習能力?，F(xiàn)階段，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在學(xué)生理解抽象知識困難、教學(xué)缺乏創(chuàng)新等問題。為改變教學(xué)現(xiàn)狀，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當靈活運用分類討論思想，將數(shù)學(xué)知識重難點化整為零、積零為整，揭示數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在規(guī)律，幫助學(xué)生掌握不同的解題方法，提高學(xué)生舉一反三的能力。新課程改革強調(diào)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，充分尊重學(xué)生的主體地位。教師應(yīng)當明確傳統(tǒng)教育的弊端，積極尋找分類思想與教學(xué)活動的融合切入點，著眼于學(xué)生的綜合素質(zhì)發(fā)展，助力學(xué)生學(xué)習進步。

一、分類思想的概念

（一）基本概念

分類思想是指根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同之處和不同之處，將研究對象劃分為不同種類的數(shù)學(xué)思想。相關(guān)分類以比較為基礎(chǔ)，因為比較是分類的前提，分類則是比較的結(jié)果。分類思想貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)活動中。由引起分類的原因入手分析，可以將分類思想概括為概念分類、定理分類、問題結(jié)果分類、變量分類等［1］。

（二）基本原則

1.不重不漏

分類思考并非隨心所欲地思考，而是需要遵循不重不漏原則，即分類結(jié)果要同時具備互斥性和完備性。以有理數(shù)為例，在分類的過程中不能忽視“0”的存在，也不能將整數(shù)與“0”歸為同一類。

2.統(tǒng)一標準

運用分類思想要堅持按統(tǒng)一標準劃分的原則。以三角形的分類為例，分類思想提倡按照明確的標準將不同類型的三角形進行分類，而非直接將三角形分為銳角三角形、直角三角形、等腰三角形。

3.逐級分類

運用分類思想應(yīng)當遵循逐級分類原則，即在分類結(jié)果的基礎(chǔ)上再次進行分類時，要逐級進行分類。以有理數(shù)為例，可以將有理數(shù)先劃分為正有理數(shù)、0、負有理數(shù)三類，在此基礎(chǔ)上再進行細分，分為正整數(shù)、正分數(shù)、負整數(shù)、負分數(shù)。

二、分類思想訓(xùn)練工具

（一）韋恩圖

韋恩圖是訓(xùn)練學(xué)生分類思想的工具，也被稱為溫氏圖，是在所謂的集合論數(shù)學(xué)分支中，在相對寬松的條件下用以表示集合的一種直觀圖示。韋恩圖的優(yōu)勢在于能清楚揭示不同種類事物之間的交集關(guān)系，使使用者能夠明確不同“類”之間的關(guān)系。換言之，韋恩圖揭示了不同種類事物之間的互相排斥性，能夠作為一種分類思想訓(xùn)練工具，降低問題分析難度，促進學(xué)生的思維品質(zhì)提升。

（二）象限圖

象限圖也叫增長-份額矩陣圖，本質(zhì)上是由散點圖與橫豎垂直的直線分成四個相等的部分，常用于價值分析，便于使用者了解相關(guān)事物的優(yōu)勢與薄弱點。在分類思想訓(xùn)練中，利用象限圖呈現(xiàn)需要并行考慮的條件，可以輔助學(xué)生思考，從而鍛煉學(xué)生分類思考的準確性。

（三）思維導(dǎo)圖

思維導(dǎo)圖是一種呈現(xiàn)發(fā)散性思維的圖形工具，近幾年開始得到廣泛應(yīng)用，獲得了廣大教師的一致認可［2］。思維導(dǎo)圖的優(yōu)勢在于同時呈現(xiàn)不同的分類標準，其可以作為分類思想訓(xùn)練的關(guān)鍵工具，幫助學(xué)生梳理思路，也能夠?qū)⒏鱾€層級的主題關(guān)系用圖形表現(xiàn)出來，幫助學(xué)生建立記憶鏈接，促進學(xué)生分類思想的形成。

（四）邏輯樹圖

邏輯樹圖與麥肯錫邏輯樹分析法息息相關(guān)，其可以作為分類思想訓(xùn)練的輔助性工具，保證解決問題過程的完整性。邏輯樹圖的繪制方法與思維導(dǎo)圖近似，各個主題之間更有邏輯相關(guān)性。這一工具側(cè)重于輔助思考，主要通過“是什么、為什么、怎么做”三個分支來解決問題。利用邏輯樹圖訓(xùn)練分類思想，可以提升學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力，有助于學(xué)生掌握分類思想的應(yīng)用技巧。

三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀分析

在數(shù)學(xué)課程改革不斷深入發(fā)展的新時期，教師的教學(xué)理念和教育方式在悄然發(fā)生變化，這將促進學(xué)生學(xué)習方式的轉(zhuǎn)變，在一定程度上可以鞏固改革成果，讓學(xué)生不斷進步。但在講解抽象數(shù)學(xué)知識時，一些學(xué)生未重視運用分類思想進行思考，導(dǎo)致難以理解所學(xué)知識，數(shù)學(xué)抽象思維得不到發(fā)展，不利于加深對抽象知識的理解和印象，容易影響學(xué)習效率和質(zhì)量的提高。為了改變這一教學(xué)現(xiàn)狀，教師有必要從分類思想的培養(yǎng)入手，指導(dǎo)學(xué)生分類討論問題，提高學(xué)生的學(xué)以致用意識。

四、在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入分類思想的意義

（一）為抽象思維發(fā)展鋪平道路

分類思想可以反映學(xué)生的思維、能力發(fā)展水平，在促進學(xué)生邏輯思維能力發(fā)展上發(fā)揮著重要作用。分類是指對客觀內(nèi)容進行分析和比較，在此基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)并歸納相關(guān)內(nèi)容的一般特點與本質(zhì)屬性。學(xué)生在運用分類思想進行判斷的過程中，需要具體判斷數(shù)學(xué)內(nèi)容的相同和不同之處，立足相關(guān)內(nèi)容的共性進行思考，這有助于促進其抽象思維發(fā)展。所以，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入分類思想可以發(fā)展學(xué)生的抽象思維。

（二）為深入理解知識指明方向

分類的優(yōu)勢在于將復(fù)雜的問題簡化，分類思想與數(shù)學(xué)教學(xué)融合，能夠幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的共性，深入認識不同類別事物的作用。在運用分類思想進行思考的過程中，學(xué)生可以經(jīng)歷由特殊到一般的研究過程，結(jié)合實際學(xué)習內(nèi)容，重新理解分類的意義，從而提高學(xué)習效率。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入分類思想能夠為學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識指明方向。

（三）為高階思維發(fā)展奠基固本

初中階段學(xué)生正處于思維發(fā)展的關(guān)鍵時期，積極運用分類思想指導(dǎo)學(xué)生思考問題，可以為學(xué)生的高階思維發(fā)展奠定基礎(chǔ)。加涅的智慧技能學(xué)習過程的層級關(guān)系是“辨別—具體概念—定義性概念—規(guī)則—高級規(guī)則”。分類活動由辨別開始，學(xué)生在抽象出具體概念和定義性概念后，能夠生成規(guī)則與高級規(guī)則。所以，分類思想有助于為學(xué)生的高階思維發(fā)展奠基固本。

（四）為促進認知發(fā)展提供動能

心理學(xué)研究表明，認知結(jié)構(gòu)對于學(xué)生的認知發(fā)展至關(guān)重要。運用分類思想指導(dǎo)學(xué)生有條理、有序地歸納和整理所學(xué)數(shù)學(xué)知識，能夠助力學(xué)生構(gòu)建完善合理的知識結(jié)構(gòu)，從而發(fā)展學(xué)生的組織能力，使學(xué)生掌握運用分類思想對所學(xué)知識進行有序分類、整理概括的技能，促進學(xué)生學(xué)習遷移能力的提升，為其認知發(fā)展提供動能。

五、在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入分類思想的有效策略

（一）初體驗—指導(dǎo)分類，提升學(xué)生思維品質(zhì)

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆?！弊鳛橐环N獨特的邏輯思考方法，分類思想可以憑借其特殊屬性，讓學(xué)生體會分類是認識事物、建構(gòu)概念的基本方法［3］。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當利用簡單的數(shù)學(xué)問題指導(dǎo)學(xué)生初步體驗分類，使其了解分類思想，為進一步學(xué)習探索做準備，促進學(xué)生的思維品質(zhì)提升。

比如，在講解新人教版初中數(shù)學(xué)“平行線及其判定”一課的過程中，教師可以呈現(xiàn)生活中的高鐵軌道、運動雙杠等圖片，鼓勵學(xué)生分析同一平面內(nèi)兩條直線之間的關(guān)系，由此引入新課，介紹平行及其表示方法a//b。接著，教師可以指導(dǎo)學(xué)生畫出a、b、c三條平行線，思考三條直線中任意兩條直線之間的位置關(guān)系，初步體驗分類思想，明白“過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”。然后，教師可以總結(jié)a//b、c//a、b//c，讓學(xué)生直觀了解“與第三條直線平行的兩條直線存在互相平行的關(guān)系”。為了提升學(xué)生的思維品質(zhì)，教師可以圍繞核心議題“任意一條直線截兩條直線”，探討平行線的判定方法。最后，教師可以圍繞“平行線的判定”提出分類問題，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，使其能夠初步體驗分類思想，加深學(xué)習印象，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

（二）再嘗試—趣味分類，培養(yǎng)良好學(xué)習習慣

葉圣陶曾言：“積千累萬，不如養(yǎng)個好習慣。”在保證分類標準科學(xué)性的前提下，運用分類思想進行學(xué)習，有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習習慣。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當為學(xué)生提供分類的方法，進行思想滲透，讓學(xué)生不斷嘗試運用分類思想解決問題，培養(yǎng)其良好的數(shù)學(xué)學(xué)習習慣，讓其在實踐中深刻理解分類思想的重要性。

比如，在講解新人教版初中數(shù)學(xué)“一次函數(shù)”一課的過程中，教師可以先呈現(xiàn)象限圖，揭示其與平面直角坐標系的關(guān)系，讓學(xué)生按照“列表、描點、連線”的步驟繪制正比例函數(shù)y＝2x的圖像，利用分類思想訓(xùn)練工具來增強學(xué)生分類思考的意識。然后，教師可以趁熱打鐵，引出一次函數(shù)相關(guān)概念知識，讓學(xué)生以繪圖競賽的方式，在同一直角坐標系內(nèi)，運用列表法繪制一次函數(shù)y＝-2x＋１的圖像，激活學(xué)生的分類思考意識，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的趣味性。在繪制圖像的過程中，學(xué)生能夠經(jīng)歷從特殊到具體的探索過程，在理解正比例函數(shù)圖像性質(zhì)的同時進行分類思考。最后，教師可以利用象限圖展示一次函數(shù)經(jīng)過的象限，讓學(xué)生在直觀圖示的幫助下，分類思考一次函數(shù)y＝-2x＋１的圖像位置與自變量、因變量的關(guān)系，使學(xué)生明確分類思考的重要性，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習習慣。

（三）勇探索—獨立分類，提高自主學(xué)習能力

在教學(xué)中融入分類思想，指導(dǎo)學(xué)生獨立進行分類思考，可以讓其獲得新知識，提升其自主學(xué)習能力［4］。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當充分引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識進行細致分類，獨立完成相關(guān)分類任務(wù)，使得相關(guān)數(shù)學(xué)研究對象盡可能具象化，在加深學(xué)生學(xué)習印象的同時，促進其自主學(xué)習能力的提升。

比如，在講解新人教版初中數(shù)學(xué)“解一元二次方程”一課的過程中，教師可以先運用思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)與一元二次方程相關(guān)的概念知識，要求學(xué)生運用換元法解方程（ x－3 ）2＝4，并說出解答過程，其間滲透分類思想，讓學(xué)生分析x＝3±2，使之能夠得到兩個解，即x1＝5，x2＝1。然后，教師可以將方程（ x－3 ）2=4變?yōu)橐辉畏匠蘹2－6x＋5＝0，讓學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，使之掌握配出一個含未知數(shù)的一次式的完全平方式的方法。接著， 教師可以介紹并總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟，使學(xué)生明白解形如a2＋b＋c＝0（a≠0，b≠0，c≠0）的一元二次方程，需要按照“移項、加一次項系數(shù)平方、配方、解方程”的步驟進行。最后，教師可以在學(xué)生初步掌握用配方法解一元二次方程步驟的基礎(chǔ)上，指導(dǎo)學(xué)生運用分類思想分析方程解不唯一的特點，使其能夠獨立進行分類求解，從而掌握用配方法解一元二次方程的技巧，提高自主學(xué)習能力。

（四）終內(nèi)化—合作分類，優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習氛圍

以羅杰斯等為代表的人本主義心理學(xué)及教育學(xué)家首次提出合作教育思想，改變了教育思想僵化的格局。分類思想在一定程度上可以成為學(xué)生的一種思維習慣，其作用不僅局限于解決特定的問題，還能夠讓學(xué)生自覺運用分類思想建構(gòu)知識體系，從而解決不同類型的問題。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當注重優(yōu)化學(xué)習氛圍，指導(dǎo)學(xué)生進行合作分類，營造有利于學(xué)生分類思考的學(xué)習氛圍，促進教學(xué)質(zhì)量提升。

比如，在講解新人教版初中數(shù)學(xué)“用列舉法求概率”一課的過程中，教師先圍繞“足球拋硬幣開球”案例分析同時擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣會出現(xiàn)的結(jié)果，激發(fā)學(xué)生分類思考的興趣。接著，教師再介紹邏輯樹圖的繪制方法，運用分類思維訓(xùn)練工具指導(dǎo)學(xué)生合作分析“硬幣正面向上”與“硬幣反面向上”的概率，講解樹狀圖的畫法，讓學(xué)生初步理解概率知識。然后，教師可以讓學(xué)生繪制樹狀圖，運用表格整理相關(guān)的概率數(shù)據(jù)，提示學(xué)生在填寫表格的過程中注意數(shù)對的有序性，提高其分類討論意識，使其明白運用分類思想需要堅持有序性原則。在此基礎(chǔ)上，教師可以鼓勵學(xué)生展示合作研究成果，營造積極的課堂教學(xué)氛圍，讓學(xué)生理解運用樹狀圖和表格解釋“足球拋硬幣開球”的意義，明白硬幣“正面向上”與“反面向上”的概率都是，用拋硬幣的方式?jīng)Q定開球方比較公平。最后，教師可以為學(xué)生提供骰子、乒乓球，讓學(xué)生自主設(shè)計概率實驗，運用樹狀圖和表格分類討論“隨機擲骰子”“暗袋摸球”中的概率知識，使其掌握概率分析方法，懂得分類思考可以避免重復(fù)或漏記結(jié)果。

結(jié)語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中融入分類思想，可以提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，使其能夠多角度、全方位地看待問題，利用高效的方法來解決問題，掌握學(xué)習數(shù)學(xué)的方法，由此提高教學(xué)實效。分類思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用分類思想解決問題時，需要堅持不重不漏、統(tǒng)一標準、逐級分類原則。初中數(shù)學(xué)教師要采取適宜的方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入分類思想，不斷提升學(xué)生思維的縝密性、條理性，助力其學(xué)習進步、創(chuàng)新發(fā)展。

【參考文獻】

［1］路詠禎.關(guān)于分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.科學(xué)咨詢（教育科研），2020（7）：223.

［2］馬萬山.思維導(dǎo)圖在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的研究［J］.教育觀察，2019，8（42）：54-55.

［3］韓武紅.學(xué)生數(shù)學(xué)思維的簡化、質(zhì)化與活化途徑探討［J］.教育理論與實踐，2020，40（17）：57-59.

［4］姬梁飛.分類討論思想方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.教學(xué)與管理，2018（28）：40-42.