不完美界面聚合物基纖維復(fù)合材料的黏彈性行為

吳 銳,趙曉昱,王冠楠

(1.浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院,杭州 310058;2.上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院,上海 201620)

從航空航天、汽車和土木結(jié)構(gòu)到生物工程,聚合物基復(fù)合材料得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]。在很多情況下,復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的服役壽命達(dá)到幾年甚至幾十年,因此在設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮材料的長期力學(xué)性能[3-4]。大多數(shù)聚合物在載荷和環(huán)境因素作用下表現(xiàn)出顯著的蠕變和應(yīng)力松弛(即黏彈性)現(xiàn)象。為了設(shè)計(jì)耐久的復(fù)合材料部件和結(jié)構(gòu),需要充分研究這些現(xiàn)象并預(yù)測結(jié)構(gòu)構(gòu)件的長期力學(xué)行為。對于聚合物基復(fù)合材料,其黏彈性不僅受到基體材料分子松弛過程的影響,還受到復(fù)合材料的組份比例、微觀結(jié)構(gòu)形態(tài)以及纖維-基體之間黏結(jié)作用等因素的影響,使得復(fù)合材料及其結(jié)構(gòu)的黏彈性力學(xué)行為變得十分復(fù)雜[5-6]。

纖維復(fù)合材料在制造和服役過程中,界面的黏結(jié)情況對復(fù)合材料的宏/細(xì)觀力學(xué)性能發(fā)揮著重要的作用[7]。由于界面兩側(cè)組分的材料性能往往相差較大,所以在外載荷作用下,復(fù)合材料系統(tǒng)微結(jié)構(gòu)界面處往往產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象進(jìn)而引起界面損傷與斷裂[8]。這種界面處微結(jié)構(gòu)的損傷破壞也將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)宏觀性能的退化。然而現(xiàn)有文獻(xiàn)中針對復(fù)合材料均勻化的多尺度模型大都基于唯象理論,無法根據(jù)材料的微結(jié)構(gòu)應(yīng)力變形情況對材料宏觀力學(xué)性能退化進(jìn)行有效預(yù)測。因此本文引入了考慮不完美界面的LEHT(locally exact homogenization theory)模型對材料進(jìn)行性能模擬,該方法不僅可以有效預(yù)測纖維復(fù)合材料的宏觀模量,還可以有效還原微元體晶胞內(nèi)的界面剛度所引起的應(yīng)力重分布情況。

目前的細(xì)觀力學(xué)數(shù)值分析中對于不完美界面的建模方法除了將界面等效為一層具有較小彈性模量的薄厚度的物理夾層[7,9]外,還可以通過引入一層零厚度的內(nèi)聚力彈簧界面,該界面可以假想為均勻分布的有一定剛度的彈簧。當(dāng)界面剛度接近無窮大時(shí),界面完美結(jié)合,而完全脫黏的界面可以通過零界面剛度來模擬。這種柔性界面模型已被廣泛用于研究部分作用的界面對材料有效性能的影響[10-11],以及界面損傷對纖維局部增強(qiáng)作用的影響[7]。

然而,目前文獻(xiàn)中針對界面損傷對聚合物基復(fù)合材料黏彈性力學(xué)行為的研究相對較少[1-6,12-17]。另外,缺乏復(fù)雜材料系統(tǒng)界面對微元體內(nèi)應(yīng)力分布的研究。基于上述原因,本文在前期推導(dǎo)的橫觀各向同性單向纖維復(fù)合材料細(xì)觀模型[1]的基礎(chǔ)上,運(yùn)用對應(yīng)性原理,將材料的黏彈性本構(gòu)轉(zhuǎn)換到Carson-Laplace域中求解具有不完美界面的周期性纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的黏彈性問題,并得到材料的宏觀模量系數(shù)。再利用Zakian[18-19]提出的反演方法將求得的宏/細(xì)觀響應(yīng)轉(zhuǎn)化到時(shí)域中,其中基體黏彈性材料通過各向同性四參數(shù)流變模型模擬。最終結(jié)果與文獻(xiàn)中的數(shù)值方法進(jìn)行了對比,得到了良好的一致性。

1 黏彈性體的本構(gòu)方程和材料性能

本文采用最近開發(fā)的LEHT模型[1,7]和彈性-黏彈性對應(yīng)性原理對橫觀各向同性單向復(fù)合材料黏彈性問題進(jìn)行分析,即將微元體的邊值問題以及均勻化本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)化到Laplace域中進(jìn)行求解,然后采用Zakian于1969年所提出的方法[18]將相應(yīng)公式逆轉(zhuǎn)化到時(shí)域當(dāng)中,詳情如圖1所示。

圖1 黏彈性問題求解流程

(1)

而通過轉(zhuǎn)換后Carson-Laplace域內(nèi)的本構(gòu)關(guān)系變?yōu)?/p>

(2)

(3)

將Laplace域內(nèi)的關(guān)系代入到由Wang等[7]開發(fā)的細(xì)觀力學(xué)模型當(dāng)中,在Laplace-Carson域內(nèi)應(yīng)用周期邊界條件求解內(nèi)部位移和應(yīng)力場,并建立均勻化本構(gòu)方程:

(4)

式中vf和vm分別為纖維和基體的體積分?jǐn)?shù),并且有vf+vm=1。最后文獻(xiàn)中有很多方法可以實(shí)現(xiàn)從Laplace域到時(shí)域的逆轉(zhuǎn)換。本文選用了早期由Zakian提出的數(shù)值算法[18-19],通過以下步驟完成從Laplace域到時(shí)域解的轉(zhuǎn)換:1)將研究時(shí)間劃分為時(shí)間間隔增量:t=[t1,t2,t3,…,tN];2)賦值拉普拉斯變量為s(j)=αj/ti,αj取值見表1;3)每一次增量ti,將拉普拉斯變量s引入到當(dāng)前細(xì)觀力學(xué)模型當(dāng)中,得到拉普拉斯域中微元體邊界值問題的最終解和均勻化剛度矩陣的表達(dá)式;4)最后,采用Zakian公式進(jìn)行反演,即

(5)

式中Kj取值見表1。

2 考慮不完美界面的復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)模型

根據(jù)上節(jié)描述,本節(jié)回顧前期推導(dǎo)的考慮不完美界面的復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)模型,具體推導(dǎo)見文獻(xiàn)[7]。復(fù)合材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)可假設(shè)為在基體中呈周期性分布的纖維系統(tǒng),本文針對圖2所示的具有周期性分布的正方形代表性單胞進(jìn)行研究,該單胞符合周期性邊界條件約束。為了滿足約束本文采用了弱形式的變分原理:

圖2 考慮非完美界面的復(fù)合材料周期性晶胞

(6)

式中Ti和ui分別為微元體ST和Su邊界上的力和位移。

為了區(qū)分宏觀尺度和細(xì)觀尺度的影響,本文定義了兩個(gè)坐標(biāo)體系,即宏觀坐標(biāo)系統(tǒng)xi(i=1,2,3)和微元體坐標(biāo)系統(tǒng)yi(i=1,2,3),并將微元體內(nèi)部的位移分為平均位移和擾動(dòng)位移[20]:

(7)

(8)

根據(jù)式(8),以及應(yīng)變-位移和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,可得應(yīng)力分量的解析表達(dá):

(9)

為了精確滿足不完美界面條件,采用了彈簧模型[21]用于描述纖維基體之間的損傷情況:

(10)

式(10)表明由于已經(jīng)發(fā)生破壞,纖維基體之間的位移并不連續(xù),但是其差值與界面處仍保持連續(xù)的應(yīng)力分量具有一定的比例關(guān)系。其中kzr、krr、krθ分別為彈簧在不同方向上的剛度,大小在零到無窮之間。當(dāng)剛度為無窮大時(shí),式(10)可以退化到完美界面情況。

最后式(8)、(9)中的未知系數(shù)可以通過施加不完美界面條件(10)和周期性邊界條件(6)得到。對代表性單元求解后,可以有效還原材料內(nèi)部的應(yīng)力分布情況。最后通過對晶胞建立均勻化本構(gòu)模型式(4),可以得到材料在Laplace域內(nèi)的有效模量。

3 算例分析

本文所研究的聚合物基復(fù)合材料,基體表現(xiàn)出黏彈性特性,而纖維仍屬于彈性范圍[5]。本文首先研究了玻璃纖維/環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料的宏觀有效模量和微元體內(nèi)局部響應(yīng)。材料的彈性瞬時(shí)參數(shù)如表2所示。另外,為了更好地描述基體的黏彈性力學(xué)本構(gòu),本文采用由Maxwell和Kelvin模型串聯(lián)組成的四參數(shù)流變模型,如圖3所示,其蠕變?nèi)岫瓤杀硎緸?/p>

表2 玻璃纖維/環(huán)氧樹脂基的材料彈性參數(shù)[14]

圖3 描述黏彈性基體的四參數(shù)模型

S11(t)=1/E+1/E1·[1-exp(-E1/η1·t)]+t/η2

(11)

拉普拉斯域下的蠕變?nèi)岫瓤杀硎緸?/p>

1/(s2η2)

(12)

其中:E1=1.8 GPa,η1=300 GPa·h,η2=8 000 GPa·h[1]。

3.1 宏觀模量預(yù)測

如圖4所示,本節(jié)首先給出了纖維半徑為71 μm、體積分?jǐn)?shù)為vf=0.3的復(fù)合材料的有效松弛模量。另外,為了驗(yàn)證界面損傷對材料宏觀性能的影響,本節(jié)引入了不同的界面剛度,分別為k=3×1014MPa/m、3×107MPa/m、3 MPa/m,分別表示完美黏結(jié)、部分黏結(jié)以及完全脫黏。為了驗(yàn)證本方法的正確性,引入基于有限體積思想的FVDAM模型對完全黏結(jié)和完全破壞的復(fù)合材料系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證,并取得了較好的對比結(jié)果。另外,由圖4也可以看出界面損傷對材料的宏觀黏彈性特性影響較大。對于不完美界面情況,材料的有效松弛模量均小于完美黏結(jié)的情況;當(dāng)界面完全破壞時(shí),纖維不承擔(dān)任何荷載,只有基體承受外力作用,因此有效模量最小。

圖4 纖維半徑為71 μm、體積分?jǐn)?shù)為30%的玻璃纖維增強(qiáng)環(huán)氧復(fù)合材料的宏觀有效模量

3.2 局部應(yīng)力分布

圖5 不同界面剛度下纖維復(fù)合材料晶胞在初始時(shí)刻(t=0 h)以及t=600 h的應(yīng)力分量σ22(y2,y3)(MPa)分布情況

4 結(jié) 論

針對纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的黏彈性力學(xué)行為進(jìn)行研究,采用了彈性-黏彈性對應(yīng)性原理將細(xì)觀力學(xué)模型轉(zhuǎn)化到Laplace域內(nèi)進(jìn)行求解,然后將材料的宏/細(xì)觀響應(yīng)通過Zakian反演方法轉(zhuǎn)換回時(shí)域內(nèi)。同時(shí)為了模擬界面破壞對材料宏/細(xì)觀力學(xué)性能的影響,引入了前期開發(fā)的考慮界面損傷效應(yīng)的LEHT模型。該模型的優(yōu)勢在于精確求解代表性晶胞內(nèi)的位移和應(yīng)力表達(dá)式,進(jìn)而可以實(shí)現(xiàn)不完美界面在數(shù)學(xué)上的精確滿足,與FVDAM模型對完全黏結(jié)和完全破壞的復(fù)合材料系統(tǒng)預(yù)測的一致性驗(yàn)證了方法的正確性。由于該模型避免了其他數(shù)值計(jì)算方法中大規(guī)模的網(wǎng)格劃分和對時(shí)間增量的分步迭代,因此可以實(shí)現(xiàn)材料性能退化的高效預(yù)測。另外,本文不僅研究了界面效應(yīng)對材料宏觀黏彈性特性退化的影響,還從細(xì)觀結(jié)構(gòu)應(yīng)力重分布解釋了宏觀模量退化的影響,為評估具有不完美界面的聚合物基纖維復(fù)合材料的長期性能提供了一種有效的途徑。