職業(yè)本科線性代數(shù)課程教學設(shè)計與實踐

王燕

［摘 ? ? ? ? ? 要］ ?線性代數(shù)是面向本科二年級開設(shè)的公共基礎(chǔ)課，內(nèi)容高度抽象且應(yīng)用廣泛，在探索與實踐線性代數(shù)課程建設(shè)的過程中，分析課程開展思想政治建設(shè)的必要性，指出線性代數(shù)課程建設(shè)路徑，同時為教學設(shè)計提供素材，并提出設(shè)計原則及思路，給出具體的設(shè)計和教學策略及合適的教學案例。

［關(guān) ? ?鍵 ? 詞］ ?職業(yè)本科；線性代數(shù)；課程設(shè)計；教學案例

［中圖分類號］ ?G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文獻標志碼］ ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文章編號］ ?2096-0603（2023）19-0049-04

線性代數(shù)主要討論矩陣、行列式、線性方程組、向量空間、二次型等相關(guān)理論知識。旨在培養(yǎng)學生運用線性代數(shù)基本思想和方法解決問題，具備嚴謹?shù)臄?shù)學思維、較強的邏輯推理能力、較高的數(shù)學素養(yǎng)以及適應(yīng)社會發(fā)展的綜合素質(zhì)。近年來，職業(yè)本科教育被國家大力發(fā)展，學生掌握專業(yè)知識重要，但也要重視思想動態(tài)。當前課程德育設(shè)計工作還存在一些亟待解決的問題，教師對課程設(shè)計認識不清、理解不透，會錯誤地將上課與課程教學設(shè)計畫等號，將弘揚主旋律作為課程進行德育的唯一內(nèi)容，將在課堂上增加思想教育內(nèi)容作為實施課程德育設(shè)計的唯一方法。因此，職業(yè)本科教育體系應(yīng)將立德樹人作為基本，在上課過程中適當引入課程設(shè)計教學案例。在講好課堂內(nèi)容的同時，將學習、文化和實踐融為一體。通過在學習過程中講解知識點，讓學生理解線性代數(shù)知識體系中蘊含的哲理；通過講數(shù)學史、科學家故事等，使學生對線性代數(shù)感興趣，擁有學習的自信、文化自信；通過講解具體的例題和實際案例與實踐，讓學生達到學以致用、理論聯(lián)系實踐的效果。

一、課程教學設(shè)計原則

課程教學設(shè)計應(yīng)春風化雨、潤物無聲地融入課堂教學，要遵循以下原則。

1.教學德育設(shè)計元素和專業(yè)知識要融合得自然，無縫對接，契合度高，不能生搬硬套。

2.在完成專業(yè)任務(wù)教學基礎(chǔ)上，合理融入課程教學設(shè)計。

3.從學生關(guān)注的問題入手，激發(fā)學生興趣。

4.做好周密的教學設(shè)計，對于同一個知識點，可多個角度進行教學設(shè)計，但應(yīng)有主次之分。

二、課程設(shè)計相關(guān)元素挖掘

（一）從特殊數(shù)字出發(fā)

可以從一些特殊數(shù)字出發(fā)，比較巧妙地引出“國家意識”和“革命傳統(tǒng)”等相關(guān)的知識，可幫助當代大學生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。數(shù)字是組成數(shù)學的基本元素，教師在挖掘相關(guān)元素時，可利用這一特點，為學生的教育提供幫助。如教師在講授“矩陣定義”時，就可以構(gòu)建矩陣，在矩陣中融入“兩個百年”計劃，吸引學生，激發(fā)學生的學習興趣。

（二）從數(shù)學發(fā)展史出發(fā)

教師可以數(shù)學發(fā)展的歷史為出發(fā)點，從而引出相關(guān)文化，既幫助學生樹立民族自豪感，又建立文化自信。在講授Gauss消元法時，介紹《九章算術(shù)》中“方程術(shù)”的算法比Gauss消元法出現(xiàn)還要早，中國古代數(shù)學體系的形成以《九章算術(shù)》為標志，從此，我國數(shù)學取得了令人矚目的成就，如數(shù)學家祖沖之在劉徽的基礎(chǔ)上，將圓周率精確到小數(shù)點后第七位，這一劃時代的貢獻領(lǐng)先西方數(shù)學1000余年，在西方國家，直到17世紀，較完整的線性方程解決法則由萊布尼茨提出。李善蘭是我國近代著名的數(shù)學家，在1859年時，將“algebra”譯成“代數(shù)”。在那個條件艱苦、戰(zhàn)爭頻發(fā)的年代，堅持翻譯了《代數(shù)學》《幾何原本》《代微積拾級》等。通過數(shù)學史，可以增強學生學習線性代數(shù)的熱情，培養(yǎng)愛國意識，增強文化自信。這樣不僅能提升學生線性代數(shù)的成績，還能傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，激揚愛國情懷。

（三）從科學家故事出發(fā)

教師通過講解科學家的相關(guān)事跡，讓學生體會到科學家的精神和人格魅力，從而鼓勵學生樹立起面對失敗的信心，在平時的生活中勇于探索，在學習中刻苦鉆研，更代表著先進文化，是促進大學生全面發(fā)展的關(guān)鍵所在，要求教師利用科學家故事，讓學生也能感受到中國力量，提升大學生的思想政治素養(yǎng)。在講授線性方程組理論的發(fā)展歷程時，通過講述數(shù)學家伽羅瓦的故事，激勵學生勇于追求真理。伽羅瓦創(chuàng)立了伽羅瓦理論，開創(chuàng)了現(xiàn)代數(shù)學的先河。他將科學理想和社會信念相結(jié)合，始終保持著對真理的忠誠。華羅庚在外學有所成以后，回來為國培養(yǎng)新一代數(shù)學人才；佩雷爾曼癡迷數(shù)學，無心功名、潛心研究數(shù)學；華裔數(shù)學家陳省身、丘成桐、張益唐最終做出重大數(shù)學突破。

范德蒙行列式是一個重要的特殊行列式。介紹該行列式的時候自然而然會介紹法國數(shù)學家范德蒙的數(shù)學研究之路。堅持就有收獲。范德蒙出生于一個貴族家庭，他的父親希望他成為一名音樂家，所以從小就讓他學習音樂，但是范德蒙更喜歡數(shù)學，所以他業(yè)余偷偷自學數(shù)學。一開始在音樂主題的沙龍和數(shù)學主題的沙龍上他都成不了主講者，因為音樂沙龍上別人以為他是數(shù)學家、音樂愛好者；數(shù)學沙龍上別人以為他是音樂家、數(shù)學愛好者，但他并沒有在意，而是堅持參與、虛心學習，最終在兩個領(lǐng)域雙雙成功，借助一生僅有的四篇數(shù)學論文成了當時法國音樂家當中的法蘭西科學院院士。借此引導(dǎo)學生正確認識科研成功的艱辛之路，同時樹立起堅持不懈又必然成功的信心。講“矩陣乘法和逆矩陣”時，介紹王小云院士，講解矩陣在信息加密中的作用（密碼學）。

（四）從馬克思主義哲學思想出發(fā)

在課程中尋找“量變與質(zhì)變”“變與不變”等馬克思主義辯證觀念。在講授矩陣變換時，對矩陣進行初等變化，矩陣的秩不變；對矩陣進行相似變化，特征值不變；對矩陣進行合同變化，矩陣的正慣性指數(shù)和負慣性指數(shù)不會變，可引出“形變質(zhì)不變”的思想?！耙粤慷ㄙ|(zhì)”的哲學思想可在講解矩陣是否可逆及二次型是否正定時引用。矩陣的可逆性可以根據(jù)行列式的值來判斷；方程組是否有解可以根據(jù)方程組的系數(shù)矩陣以及增廣矩陣的秩來判斷；二次型是否正定可根據(jù)二次型矩陣的特征值來判斷的。在講線性方程組有解和無解、向量組相關(guān)與不相關(guān)這些概念時，可引入“對立和統(tǒng)一”的辯證思想。在講解到易混淆的知識點時，可引入“現(xiàn)象與本質(zhì)”的辯證關(guān)系，在學習線性代數(shù)時，相似對角化是很重要的知識點，計算煩瑣復(fù)雜，很多學生在計算時忽略了過程，只追求結(jié)果，所以，在講解的過程中，可以給學生強調(diào)“過程與結(jié)果”的哲學關(guān)系。實際上這一知識點的核心是運算過程，只有掌握了核心，才能將知識內(nèi)化，在工作、學習中，要善于抓住主要矛盾。

（五）從數(shù)學知識點出發(fā)

從各個章節(jié)的知識點出發(fā)，矩陣和行列式比較相似，行數(shù)和列數(shù)必須相同，是一個數(shù)，兩個豎線段表示行列式；行數(shù)和列數(shù)不一定相同，一個圓括號或中括號用來表示矩陣，其實質(zhì)是一個數(shù)表。教師應(yīng)重點強調(diào)這兩者的差異，使學生認真觀察，認真總結(jié)，注重細節(jié)，從本質(zhì)出發(fā)，培養(yǎng)學生認真踏實、科學求真的態(tài)度及能力。

二次型包括二次型的性質(zhì)、分類和應(yīng)用，是線性代數(shù)課程的重要章節(jié)，是高等代數(shù)的基礎(chǔ)。在其悠久的研究歷史中，四川大學著名校友、前輩——柯召院士被譽為“二次型研究的開拓者”。根據(jù)柯召院士在二次型領(lǐng)域的研究進行相關(guān)教學課程設(shè)計，學習先生的愛國主義精神。1938年，先生婉拒了其導(dǎo)師英國曼徹斯特大學教授莫德爾的再三挽留，毅然決然地離開當時相對安全的英國，回到正遭受日寇摧殘而戰(zhàn)火紛飛的祖國，來到四川大學，肩負起教育救國之重任。矩陣的初等變換在解線性方程組時用到，增廣矩陣進行初等行變換時計算量很大，過程煩瑣，特別容易出現(xiàn)錯誤，最終導(dǎo)致結(jié)果出錯。我們可引出“勿以善小而不為，勿以惡小而為之”，提醒學生在今后的學習、生活中，要時刻保持謹慎，防微杜漸。

（六）從實際案例的背景出發(fā)

講解線性方程組有解的條件時，可以山東洪水物資配備為案例，配上相應(yīng)圖片，既形象生動，又能激發(fā)學生的學習興趣，直觀了然。講矩陣乘法時，從“5·12汶川地震”或者鄭州特大暴雨洪災(zāi)等案例出發(fā)，體現(xiàn)一方有難、八方支援的良好品德，激發(fā)學生的愛國熱情。也可以用中國高鐵線路圖制作課件，看著我國高鐵迅速發(fā)展的情景，學生也會感到無比自豪，擁有熱情與激情。講向量組的線性相關(guān)性時，可以中醫(yī)藥治療疾病時相關(guān)藥材比例問題為例，介紹不同藥材的作用，不同比例產(chǎn)生的不同效果，激發(fā)學生的大愛及對傳統(tǒng)醫(yī)學的信心。

（七）從交叉學科知識點出發(fā)

材料科學和數(shù)學雖然是兩個學科，一個側(cè)重實驗，一個側(cè)重計算。但是，材料科學涉及的很多定性、定量計算及表征部分就用到了數(shù)學。線性空間基變換與坐標變換在材料學科晶胞表示中有相關(guān)應(yīng)用。在學習材料力學應(yīng)力狀態(tài)這一知識時，主應(yīng)力的方位可以和線性代數(shù)中的特征值和特征向量結(jié)合，同時可以利用坐標變換來計算材料力學中任意方向上的應(yīng)力。通過材料力學和線性代數(shù)知識的交叉，使學生對相關(guān)定義及計算有更深刻的了解，同時提高學生的學習興趣，培養(yǎng)學生解決工程問題的能力。

三、教學目標

1.掌握基本概念、定理、方法及相關(guān)運算技能；培養(yǎng)學生的實踐及團結(jié)協(xié)作精神，增強社會責任感。

2.樹立馬克思主義認識論“實踐—認識—再實踐—再認識”的基本觀點，培養(yǎng)學生尋找、探索、發(fā)現(xiàn)真理的觀念和意識，激發(fā)學生對國家、社會發(fā)展的責任擔當意識。

3.使學生能夠運用所學知識分析和解決問題，培養(yǎng)學生具備較強的運算能力、抽象思維能力、綜合運用數(shù)學工具處理實際問題的能力，善于抓住主要矛盾，利用科學思維解決生活問題。

4.使學生認識到自己的歷史使命及社會責任，為實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興而刻苦努力奮斗。

教學總體要求：在完成教學大綱中課程內(nèi)容教學的前提下，進行深入教育，達到育人的目的。

四、線性代數(shù)課程教學案例

（一）線性方程組有解的條件

1.創(chuàng)設(shè)情境（案例引入）：教師講授這節(jié)課的時候，可在多媒體課件中為學生展示2023年5月5日晚江西撫州特大暴雨的相關(guān)圖片，從情感上引發(fā)學生對課堂內(nèi)容的關(guān)注。

2.提出問題：若遭遇特大暴雨，江西撫州需要物資支援，所需物資：救生衣4220件，應(yīng)急帳篷800頂，急救箱1600個。一輛車可配備物資：

問：如何運輸更合理？

3.分析問題

解：設(shè)河北、河南、內(nèi)蒙古、甘肅分別派出車輛為x1，x2，x3，x4，從而有：

4.解決問題

問題：如何判定線性方程組解的情況？講解對應(yīng)知識：

通過布置相關(guān)課后作業(yè)，實現(xiàn)課程設(shè)計的課后強化，同時也可讓學生在閑暇時間通過騰訊會議在線平臺相互交流學習，發(fā)表自己的見解和想法，加深對課堂學習的認識。每個學生可根據(jù)自己的生活實際，尋找相關(guān)的課程設(shè)計內(nèi)容，互相分享，強化學習效果。

六、教學評價

通過教學評價可完善和提高課程設(shè)計及建設(shè)教學效果。學生評價和督導(dǎo)評價都尤為重要。通過教學評價，教師可以發(fā)現(xiàn)優(yōu)點和缺點，在今后的教學中做出相應(yīng)的調(diào)整和改進，提高教學質(zhì)量。

七、任課教師的關(guān)鍵作用

線性代數(shù)課程內(nèi)容比較抽象，學生學習起來比較費勁，尤其一些抽象的概念、定理。想要做好課程設(shè)計、建設(shè)，就得認真設(shè)計每一節(jié)課，要達到良好的效果，就得認真貫徹落實?；橄鬄榫唧w，在教學設(shè)計中融入具有時效性、應(yīng)用性的相關(guān)教學案例，激起學生的學習興趣。整個過程中，教師發(fā)揮著主導(dǎo)作用：第一，教師自己要有相關(guān)課程課堂意識和理念，通過個人品質(zhì)和狀態(tài)潛移默化影響、帶動學生樹立正確的“三觀”。第二，在講授每個知識點之前，深入挖掘相關(guān)的故事、新聞，培養(yǎng)學生的學習興趣，增強愛國熱情及艱苦奮斗、堅持不懈的精神。第三，在備課時，深入挖掘課程中所蘊含的哲學思想，課堂中傳授給學生，使其樹立正確的“三觀”。

八、結(jié)束語

課堂是實施課程設(shè)計及建設(shè)的場所，我們需要重視起來，設(shè)計好每一節(jié)課，重點突出，有的放矢，統(tǒng)攬全局，課堂及課外學習相結(jié)合，以求達到良好的效果。通過閱讀數(shù)學史、數(shù)學文化、科學家故事、哲學思想等方法，提高素養(yǎng)。

通過“課程設(shè)計入課堂、育人育德于無形”的探索與實踐，學生掌握了線性代數(shù)的整體框架和基本理論知識，獲得了運用線性代數(shù)的基本思想和方法分析、解決問題的能力，提高了學習興趣，培養(yǎng)了數(shù)學思維，激發(fā)了創(chuàng)新精神、奮斗精神以及愛國情懷，基本達成了課程教學目標。

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◎編輯 馬燕萍