高考數(shù)學試題綜合難度的比較研究

覃淋 彭甜甜 熊永君

［摘? 要］ 通過習題綜合難度測量模型，對2021年高考全國甲卷、乙卷理科數(shù)學的綜合難度進行比較研究，發(fā)現(xiàn)：①全國甲卷在“背景”“運算”“類型”三個因素的難度加權(quán)平均值高于全國乙卷，在“認知”“推理”“知識綜合”三個因素的難度加權(quán)平均值低于全國乙卷．②兩套試卷在“背景”“認知”“類型”“知識綜合”四個因素上具有較高的一致性．③全國甲卷的綜合難度略高于全國乙卷．

［關(guān)鍵詞］ 高考；數(shù)學試題；綜合難度；比較

高考是我國規(guī)模最大、最為重要的選拔性考試，也是世界各國認可度較高的考試形式，是高校選拔新生的主要途徑．自1977年高考恢復以來，我國高考伴隨著國家經(jīng)濟、教育、文化、社會的發(fā)展不斷改革與創(chuàng)新，其中不僅有命題形式、命題理念、技術(shù)、機制等方面的改進，也有試題本身在類型、數(shù)量、難易程度等方面的完善.尤其進入21世紀，實施基礎(chǔ)教育新課程改革以來，高考數(shù)學試題日益凸顯測評選拔、命題示范、知識延展、教學導向、立德樹人等功能［1］．

2014年，國務(wù)院印發(fā)《關(guān)于深化考試招生制度改革的實施意見》，標志新一輪考試招生制度改革正式啟動． 2019年，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》，指出：高考命題要以“普通高中課程標準和高校人才選拔要求為依據(jù)，優(yōu)化考試內(nèi)容，突出立德樹人導向，重點考查學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力……科學設(shè)置試題難度，命題要符合相應(yīng)學業(yè)質(zhì)量標準……建立命題評估制度，提高命題質(zhì)量．”［2］2020年是我國全面建立新高考制度的第一年，這年高考是在出臺新的課程標準，全面提出發(fā)展學生核心素養(yǎng)的背景下進行的．2021年更多地區(qū)加入了新高考行列，教育部教育考試院命制了6套試卷，分別為全國甲卷2套（文、理卷）、全國乙卷2套（文、理卷）、新高考Ⅰ卷1套、新高考Ⅱ卷1套． 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱《課程標準》）指出：“在高考數(shù)學的考試命題中，要關(guān)注內(nèi)容與難度的分布……努力提高試卷的信度、效度和公平性．”［3］試題難度作為衡量試題質(zhì)量的重要指標之一，高考數(shù)學試題的難度一直是教師、學生、家長和社會關(guān)注的焦點． 高考數(shù)學試題直接反映著中學數(shù)學課程內(nèi)容，對高中數(shù)學教學具有重要的引導作用，“引導教學”是高考的核心功能之一． 《課程標準》指出：“命題應(yīng)依據(jù)學業(yè)質(zhì)量標準和課程內(nèi)容……要充分考慮對教學的積極引導作用．”［3］《中國高考評價體系》明確指出“高考必須堅持引導教學”［4］，“以考促教、以考促學”是高考的主要目的之一． 因此，對于高考數(shù)學試題難度的比較分析，有利于優(yōu)化試卷內(nèi)容，提高命題質(zhì)量，實現(xiàn)“以考促教、以考促學”的目的，促進立德樹人根本任務(wù)落實，形成更高水平的全面培養(yǎng)體系．

全國甲卷使用地區(qū)主要集中在我國基礎(chǔ)教育發(fā)展相對落后的西南省份，全國乙卷使用地區(qū)較廣，主要集中在我國基礎(chǔ)教育比較發(fā)達的東部和中部省份，以及基礎(chǔ)教育發(fā)展相對落后的東北和西北省份． 所以，對這兩套高考數(shù)學試題的難度進行比較分析，對推進我國高中數(shù)學課程改革和教育公平有著十分重要的意義．本文利用習題綜合難度測量模型，對2021年高考全國甲卷、乙卷理科數(shù)學的綜合難度進行比較研究，發(fā)掘兩套高考數(shù)學試卷的特色與優(yōu)勢，期望對我國高考數(shù)學試卷在命題等方面提供一些參考．

研究對象及研究工具

1. 研究對象

2021年全國甲卷理科數(shù)學，共有23道試題，其中單選題12道，60分；填空題4道，20分；解答題7道，80分. 乙卷理科數(shù)學共有23道試題，其中單選題12道，60分；填空題4道，20分；解答題7道，80分． 兩套試卷結(jié)構(gòu)完全一致．

2. 研究工具

鮑建生在美國學者D.A.Nohara提出的數(shù)學習題綜合難度模型的基礎(chǔ)上提出了包含“探究”“背景”“運算”“推理”“知識含量”五個難度因素的習題綜合難度測量模型． 習題綜合難度測量模型在教材例題難度、習題難度的研究中應(yīng)用廣泛． 本研究參考相應(yīng)文獻［5-8］，結(jié)合高考標準化考試數(shù)學試題的特征，對已有習題綜合難度測量模型進行改進，構(gòu)建了一個包含六個因素的習題綜合難度測量模型，并對各因素的水平作詳細界定和劃分，使得模型更加適合高考數(shù)學試題的特征．

先對各難度因素的內(nèi)涵及水平的劃分進行說明：

背景因素分為四個水平：無背景、個人生活、公共生活、科學情境． 其中，“無背景”是指無任何實際背景，直接考查數(shù)學知識的試題，這類試題在高考數(shù)學試題中大量存在． “個人生活”是指與學生個人生活息息相關(guān)的背景，即在個人生活中經(jīng)常接觸到的一些生活情境． “公共生活”包括學生沒有親身經(jīng)歷的，屬于某些專業(yè)領(lǐng)域的情境；或公共常識的一類． “科學情境”這類試題常常以一定的科學知識為背景，如地理、天文、環(huán)境、自然資源、災(zāi)害、氣象、生物學、醫(yī)學、農(nóng)業(yè)、健康、食品、物理、化學、計算機、工業(yè)技術(shù)等．

在運算因素方面，由于高考數(shù)學試題大部分都涉及運算，主要是數(shù)值運算與符號運算兩種類型，故將運算因素分為五個水平：無運算、簡單數(shù)值運算、復雜數(shù)值運算、簡單符號運算、復雜符號運算． “簡單數(shù)值運算”是指簡單的加、減、乘、除及混合運算．“復雜數(shù)值運算”是指涉及指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等的運算，運算步驟超過三步． “簡單符號運算”是指運算過程涉及簡單的符號推導，如向量、二項式、三角函數(shù)的證明等． “復雜符號運算”是指運算過程涉及邏輯推理、證明、復雜的軌跡問題、參數(shù)方程等．這五個水平的難度依次上升．

在認知因素方面，認知心理學家將認知過程分為六個層次：記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價、創(chuàng)造． 結(jié)合高考數(shù)學試題的特征，本文將認知因素分為四個水平：記憶、理解、應(yīng)用、探究． “記憶”是指對一些數(shù)學概念、公式、法則、性質(zhì)等的記憶．表現(xiàn)特點為記憶性、機械性，主要是對陳述性知識的記憶，或是機械地實施數(shù)學常規(guī)解題程序，不需要解釋． “理解”是指對數(shù)學知識、方法、過程的理解，會用自己的語言來闡述或解釋數(shù)學概念，或?qū)Χ鄠€概念進行比較分析，建立知識間的聯(lián)系． “應(yīng)用”是指能夠運用知識去解決一些數(shù)學問題，是對程序性知識的應(yīng)用，需要數(shù)學問題解決者在某種程度上認知努力，要求學生有一定的運用數(shù)學知識去解決問題的能力． “探究”是指根據(jù)已有數(shù)學知識，能對問題進行深入分析和探究，能綜合運用試題的各個條件解決問題，這類問題具有開放性、探究性等特點，解題思路一般不確定，方法不唯一．

在類型因素方面，數(shù)學試題是一個系統(tǒng)，包括四個要素：Y，O，P，Z （Y，O，P，Z分別指試題條件、解題依據(jù)、解題方法、試題結(jié)論［9］）． 分析試題中四個要素的多少，可以將試題分為四類：標準性試題，這類試題中四個要素都是已知的；訓練性試題，這類試題有三個要素已知，只有一個要素未知——一般來說是結(jié)論未知，其余三個要素已知，計算題一般都屬于此類試題，高考數(shù)學試卷中這類試題較多；探索性試題，這類試題已知其中的兩個要素，其余兩個要素未知，有部分試題屬于結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題；問題性試題，這類試題只有一個要素已知，其他三個要素未知，其難度較大，屬于結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題，高考數(shù)學試卷中這類試題較少． 《課程標準》指出：要注意“開發(fā)一些具有應(yīng)用性、開放性、探究性的問題”．結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題具有較高的育人價值：①可以很好地發(fā)揮高考的選拔功能，幫助高校選拔符合要求的新生；②可以促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成和能力的提升．曾風靡一時的數(shù)學開放題就屬于結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題．從問題解決的角度來看，結(jié)構(gòu)良好問題的初始狀態(tài)、解決模式、目標狀態(tài)都比較明確，結(jié)構(gòu)不良問題這三個要素中至少有一個不明確［10］． 近年來，高考命題堅持素養(yǎng)導向與能力并重，出現(xiàn)了較多結(jié)構(gòu)不良數(shù)學試題，例如2019年全國Ⅰ卷（理科）第4題、2020年新高考全國Ⅰ卷第17題、2020年全國Ⅰ卷（理科）第12題、2021年全國甲卷（理科）第18題、2021年新高考全國Ⅱ卷第22題．高考中的結(jié)構(gòu)不良試題的主要特征有：①問題條件或數(shù)據(jù)部分缺失或冗余；②問題目標界定不明確；③具有多種解決方法或途徑；④具有多種評價解決方法的標準；⑤所涉及的概念、規(guī)則和原理等不確定［11］． 這類問題具有以下育人價值：①可以激活學生的知識網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)了學生在問題解決中的中心地位；②對培養(yǎng)學生的元認知監(jiān)控具有重要作用；③有利于培養(yǎng)學生數(shù)學思維的嚴謹性、靈活性和創(chuàng)新性；④對培養(yǎng)學生的非認知因素有重要意義［12］．

在推理因素方面，借鑒鮑建生的劃分，將推理因素分為“簡單推理”和“復雜推理”兩個水平． 知識綜合因素分為“1個知識點”“2個知識點”“3個及以上知識點”三個水平．

習題綜合難度測量模型見表1． 對習題綜合難度各因素的水平進行劃分后，利用加權(quán)平均的方法計算每一個因素的難度，具體步驟如下：

第一步，根據(jù)上述綜合難度測量模型，對每一道試題相應(yīng)進行賦值．如一道試題屬于公共生活、簡單數(shù)值運算、理解、訓練性題、簡單推理、2個知識點的水平，在六個因素中分別賦值：3，2，2，2，1，2．

第二步，計算． 根據(jù)上述賦值，分因素統(tǒng)計樣本試卷中各因素處于不同水平的試題的數(shù)量，采用如下公式計算各難度因素的難度加權(quán)平均值：

統(tǒng)計結(jié)果及分析

依據(jù)習題綜合難度測量模型、難度加權(quán)平均值計算公式，得到表2．

根據(jù)表2的結(jié)果，先對兩套試卷在“背景”“運算”“認知”“類型”“推理”“知識綜合”六個難度因素上進行比較分析，再從綜合難度對兩套試卷進行整體比較．

1. 背景因素

兩套試卷在背景因素上的統(tǒng)計結(jié)果如圖1所示．

由圖1可知，兩套試卷在背景因素方面的水平高低一致，“無背景”水平的試題占比最高，都以純數(shù)學知識為條件進行考查. 甲卷以“個人生活”“公共生活”為背景的試題都只有1道，占試題總量的4.35%；乙卷沒有以“個人生活”為背景的試題，以“公共生活”為背景的試題只有1道. 兩套試卷具有“科學情境”的試題較少，甲卷占比8.70%，乙卷占比4.35%． 這說明兩套試卷還是都注重基礎(chǔ)知識的考查，而體現(xiàn)數(shù)學應(yīng)用價值的具有生活情境、科學情境的試題不夠．

2. 運算因素

兩套試卷在運算因素上的統(tǒng)計結(jié)果如圖2所示．

由圖2可知，兩套試卷對學生的運算素養(yǎng)的考查很全面，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性與綜合性的考查要求． 實際上，數(shù)學運算素養(yǎng)歷來都是高考數(shù)學的考查重點［13］． 兩套試卷中屬于“無運算”水平的試題都較少，乙卷中體現(xiàn)“簡單數(shù)值運算”和“復雜符號運算”水平的試題所占比例均高于甲卷，其中“簡單數(shù)值運算”水平的試題高出8.7%，體現(xiàn)“復雜數(shù)值運算”和“簡單符號運算”水平的試題所占比例均低于甲卷． 從運算因素的加權(quán)平均值來看，雖然乙卷中體現(xiàn)“復雜符號運算”水平的試題所占比例高于甲卷，但在運算難度上低于甲卷．

3. 認知因素

兩套試卷在認知因素上的統(tǒng)計結(jié)果如圖3所示．

圖3表明，兩套試卷中都沒有直接體現(xiàn)“記憶”水平的試題，這和高考的核心功能有關(guān)——高考的核心功能之一是“服務(wù)選才”，高考要立足服務(wù)國家、服務(wù)高校選才的基本點，為國家和高校選拔出符合要求的新生［4］． 從整體來看，甲卷在認知因素方面的“應(yīng)用”水平高于乙卷，“探究”水平低于乙卷，但差距不大；兩套試卷在認知因素方面的“理解”水平一致，“應(yīng)用”與“探究”水平恰好相反，就認知因素而言，乙卷的難度高于甲卷．

4. 類型因素

兩套試卷在類型因素上的統(tǒng)計結(jié)果如圖4所示．

由圖4可知，兩套試卷中的“標準性題”和“問題性題”一樣，都只有1道，占試題總量的4.35%． 甲卷中的“訓練性題”所占比例低于乙卷，而“探索性題”所占比例高于乙卷． 這表明，兩套試卷在試題類型因素方面相差不大．兩套試卷中的試題主要集中在“訓練性”和“探索性”水平． “訓練性題”一般強調(diào)學生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握，是一些常規(guī)的數(shù)學題．這類試題對一般學生而言，只要弄懂教材中的知識點與例題，就可以解決．試卷中體現(xiàn)“探索性”水平的試題和體現(xiàn)“訓練性”水平的試題相當，這說明高考重視學生對基礎(chǔ)知識掌握的同時，要求學生具有一定的運用所學知識解決問題的能力． 兩套試卷全面體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性的考查要求．

5. 推理因素

兩套試卷在推理因素上的統(tǒng)計結(jié)果如圖5所示．

由圖5可知，兩套試卷在推理因素上差異較大，甲卷中“簡單推理”水平的試題所占比例高于乙卷，乙卷中“復雜推理”水平的試題所占比例高于甲卷． 這表明，乙卷在推理因素方面的難度高于甲卷．

6. 知識綜合因素

兩套試卷在知識綜合因素上的統(tǒng)計結(jié)果如圖6所示.

由圖6可知，甲卷中有95.65%以上的試題考查2個及以上知識點，乙卷中所有試題考查的知識點均為2個及以上．具體而言，甲卷中考查1個知識點的試題所占比例為4.35%，乙卷中考查2個知識點的試題所占比例高于甲卷，考查3個及以上知識點的試題所占比例一樣． 這說明我國高考數(shù)學試卷具有一定程度的綜合性，體現(xiàn)了綜合性的考查要求． 這為高中數(shù)學教學指明了方向：教師在教學中應(yīng)關(guān)注學生對不同知識點的整合，引導學生建立知識網(wǎng)絡(luò)．

7. 綜合難度

利用前面給出的公式，得到兩套試卷六個因素的難度加權(quán)平均值雷達圖（如圖7所示），以及兩套試卷的綜合難度（如表3所示）．

從圖7可以發(fā)現(xiàn)：（1）在背景因素與運算因素方面，甲卷的難度明顯高于乙卷；在試題類型方面，甲卷的難度略高于乙卷；在推理因素方面，乙卷的難度明顯高于甲卷；在認知因素與知識綜合因素方面，乙卷的難度略高于甲卷． （2）兩套試卷的背景因素與推理因素的難度加權(quán)平均值比其他四個因素小很多，運算因素與認知因素的難度加權(quán)平均值比其他四個因素大很多，說明兩套試卷都特別注重運算與認知方面的考查． （3）兩套試卷在背景、運算與推理三個因素的難度加權(quán)平均值的差距均在0.1以上，在認知、類型與知識綜合三個因素的難度加權(quán)平均值差異不大，表現(xiàn)出了較強的一致性． （4）通過對兩套試卷六個因素的難度加權(quán)平均值的計算，發(fā)現(xiàn)甲卷各因素的難度加權(quán)平均值的極差為2.22，乙卷各因素的難度加權(quán)平均值的極差為2.26，說明兩套試卷都沒有較好地保持六個難度因素的平衡性，乙卷各因素的難度加權(quán)平均值雷達圖傾斜程度高于甲卷．（5）甲卷的綜合難度為L=2.4334，乙卷的綜合難度為L=2.4327，依據(jù)習題綜合難度測量模型，可以認為甲卷試題綜合難度高于乙卷． 但兩者難度相差不大，僅僅0.0007．

研究結(jié)論與啟示

1. 研究結(jié)論

（1）在背景因素方面，兩套試卷都以“無背景”水平的試題為主，體現(xiàn)“個人生活”“公共生活”與“科學情境”水平的試題所占比例較?。?其中，乙卷中“無背景”水平的試題所占比例超過90%，甲卷中“無背景”水平的試題所占比例超過80%，這說明兩套試卷體現(xiàn)數(shù)學應(yīng)用價值的具有具體情境的試題不夠，這需要在問題情境的設(shè)計上更加自然與合理．

（2）在運算因素方面，甲卷中考查“復雜數(shù)值運算”與“簡單符號運算”水平的試題所占比例最高，乙卷中考查“復雜符號運算”水平的試題所占比例最高． 此外，乙卷中考查“簡單數(shù)值運算”水平的試題所占比例比甲卷高出許多，甲卷中考查“復雜數(shù)值運算”與“簡單符號運算”水平的試題所占比例均高于乙卷． 可見，兩套試卷都比較注重“簡單符號運算”水平的考查，其中，甲卷更注重適中水平運算的考查，乙卷更強調(diào)高水平運算的考查．

（3）在認知因素方面，兩套試卷都沒有考查“記憶”水平的試題，這說明兩套試卷都比較注重考查學生分析和解決問題的能力． 甲卷考查“應(yīng)用”水平的試題所占比例高于乙卷，乙卷考查“探究”水平的試題所占比例高于甲卷．

（4）在類型因素方面，兩套試卷中的試題主要集中在“訓練性”與“探索性”水平，這兩類水平的試題所占比例都超過90%，處于“標準性”水平的試題均只有1道，對學生的要求非常高的處于“問題性”水平的試題也只有1道． 這一方面體現(xiàn)了《課程標準》的命題要求“聚焦學生對重要概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用”，強調(diào)基礎(chǔ)性；另一方面，通過設(shè)置結(jié)構(gòu)不良問題，考查學生的實踐能力和創(chuàng)新意識的同時，充分發(fā)揮高考數(shù)學的選拔功能．

（5）在推理因素方面，兩套試卷差異較大，其中，甲卷中體現(xiàn)“簡單推理”水平的試題所占比例超過70%，體現(xiàn)“復雜推理”水平的試題所占比例僅有26%；乙卷中體現(xiàn)“簡單推理”水平的試題所占比例遠低于甲卷，體現(xiàn)“復雜推理”水平的試題所占比例遠高于甲卷，達到了43.48%．這說明“邏輯推理”素養(yǎng)是高考考查的重點［13］，充分體現(xiàn)了《課程標準》對“邏輯推理”素養(yǎng)的要求．

（6）在知識綜合因素方面，兩套試卷在各水平的變化趨勢一致——呈上升趨勢． 兩套試卷均以體現(xiàn)“3個及以上知識點”的試題為主，體現(xiàn)了高考數(shù)學考查內(nèi)容和高考數(shù)學命題的綜合性，在考查內(nèi)容上既關(guān)注全體，又突出重點． 體現(xiàn)了綜合性的考查要求．

2. 啟示

基于上述對2021年高考全國甲卷、乙卷理科數(shù)學試卷綜合難度的比較分析，結(jié)合我國高中數(shù)學課程改革的最新趨勢，可以得到我國高考數(shù)學試題在命題等方面的幾點啟示．

（1）高考數(shù)學試題應(yīng)注重設(shè)置合適的問題情境考查學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)．

數(shù)學概念、運算法則等最初都來自現(xiàn)實世界，是人類對現(xiàn)實世界的抽象反映． 問題情境可以幫助學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程，有助于學生將數(shù)學知識應(yīng)用于現(xiàn)實． 命題時，選擇合適的問題情境對考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng)具有重要的導向作用，還可以引導高中數(shù)學教學． 設(shè)置具有現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境等不同情境的問題，可以考查不同層次的學生、不同專業(yè)的學生各自的“數(shù)學現(xiàn)實”，幫助他們進一步理解“數(shù)學源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，并且應(yīng)用于現(xiàn)實”這個深刻的價值內(nèi)涵，體會數(shù)學與現(xiàn)實世界不同領(lǐng)域的聯(lián)系，幫助他們通過自己的認知活動，構(gòu)建屬于自己的數(shù)學觀，促進數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化． 鑒于此，高考命題應(yīng)適當增加情境類試題，注重考查有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的多元問題情境分析及解決的能力．

（2）在數(shù)學運算方面，兩套高考數(shù)學試卷都很注重多層級運算水平的考查．

數(shù)學運算作為解決數(shù)學問題的基本手段，每一個人終身都會與數(shù)學運算打交道． 通過前述分析，可以發(fā)現(xiàn)兩套高考數(shù)學試卷對“簡單數(shù)值運算”“復雜數(shù)值運算”“簡單符號運算”“復雜符號運算”等多層級運算水平都有所考查． 甲卷體現(xiàn)數(shù)學運算水平的試題主要集中在“復雜數(shù)值運算”與“簡單符號運算”等適中運算水平的考查，乙卷對學生“數(shù)學運算”水平的考查呈遞增趨勢，占比最多的是高水平的“復雜符號運算”，高達26.09%．多層級運算訓練對學生數(shù)學運算素養(yǎng)的提升、數(shù)學思維品質(zhì)的發(fā)展等具有重要意義，但過分追求高水平運算而忽視整個運算水平的平衡性，可能導致“雙基”異化，使得一些學校以學生在高考中取得高分為出發(fā)點，進行大量機械重復的解題訓練，大搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，將中學數(shù)學教學異化為數(shù)學解題技巧訓練．

（3）適當增加結(jié)構(gòu)不良數(shù)學試題.

結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題具有非常重要的教育價值，深刻體現(xiàn)著高考命題的原則——素養(yǎng)導向、能力為重．

首先，就立德樹人來說，解決結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題需要學生運用已有知識和經(jīng)驗構(gòu)建解題認知體系，需要學生對問題不斷分析、重構(gòu)、表征、轉(zhuǎn)化、監(jiān)控、調(diào)整，直至問題被解決．在解決結(jié)構(gòu)不良問題的過程中，學生數(shù)學思維的敏捷性、靈活性、深刻性、批判性、廣闊性與創(chuàng)造性等都能得到進一步發(fā)展，學生的數(shù)學核心素養(yǎng)也能得到提升． 同時，由于結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題具有解決方法的開放性、結(jié)論的不唯一性，能夠幫助學生養(yǎng)成客觀、全面認識問題的意識，樹立辯證唯物主義世界觀，成為德智體美勞全面發(fā)展的社會主義事業(yè)的建設(shè)者和接班人．

其次，測評選拔是高考的核心功能之一，結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題能很好地體現(xiàn)高考數(shù)學的選拔功能． 結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題具有較高的難度，對學生直觀想象能力、推理能力、運算能力、抽象能力與創(chuàng)新能力要求較高． 結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題立意于素養(yǎng)導向，考查學生的必備知識和關(guān)鍵能力，能很好地體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、開放性與創(chuàng)新性的統(tǒng)一［14］．

最后，“高考作為大規(guī)模高利害考試，對高中教學有著重要的引導作用”，高考數(shù)學試題是命題專家精心命制的，展現(xiàn)了命題專家的集體智慧，結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題更是其中璀璨的“明星”． 結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題適度開放，“有益于學生在不同層面發(fā)揮自己的數(shù)學能力，對中學數(shù)學教學有著積極的引導作用，可以引導高中數(shù)學在數(shù)學概念與數(shù)學方法上重視培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．”［11］通過對高考數(shù)學試題題源的分析，可以發(fā)現(xiàn)很多試題的命題素材源于教材，甚至直接取材于教材上的習題以及公式或定理的證明［15］，在一定程度上能夠引導高中數(shù)學教學回歸教材、回歸數(shù)學本質(zhì)，使師生重視數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展、完善的過程．對促進高中育人方式的改革，健全立德樹人落實機制，完善德智體美勞全面培養(yǎng)的育人體系，扭轉(zhuǎn)高中教育的功利化傾向有著積極的導向作用．

（4）高考數(shù)學試題應(yīng)考慮各難度因素的平衡性．

兩套試卷都沒有保持好六個難度因素的平衡性，背景因素與推理因素的難度加權(quán)值比其他四個難度因素小很多，運算因素與認知因素的難度加權(quán)值比其他四個難度因素大很多． 對高考數(shù)學試題難度的影響，除了上述六個難度因素外，還有一些影響較小的難度因素，因此想要編制一套既能保持試題各難度因素平衡又可以科學考察不同層次、不同專業(yè)的學生的真實水平的試卷是一件極其困難的事情．

命制高考數(shù)學試題時，應(yīng)綜合考慮《課程標準》中的目標要求，學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，對學生的必備知識、數(shù)學思維、數(shù)學能力、創(chuàng)新意識的考查，對學生學習過程的評價，對高中數(shù)學教學的導向，以及社會發(fā)展對現(xiàn)代合格公民的要求等，應(yīng)從每一個試題難度因素的科學性、綜合性、有效性、可測性等方面綜合考慮試題難度因素的平衡．

參考文獻：

［1］ 余小芬，劉成龍． 高考數(shù)學試題功能的分析［J］． 內(nèi)江師范學院學報，2018，33（10）：17-22．

［2］ 國務(wù)院． 國務(wù)院辦公廳關(guān)于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見［EB/OL］． http：//www.gov.cn/zhengce/content/2019-06/19/content_5401568.htm，2019-06-19/2022-03-07．

［3］ 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］． 北京：人民教育出版社，2020．

［4］ 教育部考試中心． 中國高考評價體系［M］． 北京：人民教育出版社，2019．

［5］ 蔡慶有，鄺慶秀，宋乃慶． 小學數(shù)學教材難度模型研究［J］． 教育學報，2013，9（05）：97-105．

［6］ 王建磐，鮑建生． 高中數(shù)學教材中例題的綜合難度的國際比較［Ｊ］． 全球教育展望，２０１４，４３（０８）：１０１－１１０．

［7］ 許團，李秀萍，覃淋． 大陸和臺灣高中數(shù)學教材統(tǒng)計習題難度比較［J］．中學數(shù)學月刊，2020（01）：51-55．

［8］ 武小鵬，張怡． 中國與韓國高考數(shù)學試題綜合難度比較研究［J］． 數(shù)學教育學報，2018，27（03）：19-24．

［9］ 戴再平． 數(shù)學習題理論［M］． 上海：上海教育出版社，1996．

［10］ 任子朝，趙軒． 數(shù)學考試中的結(jié)構(gòu)不良問題研究［J］． 數(shù)學通報，2020，59（02）：27-32．

［11］ 教育部考試中心．聚焦核心素養(yǎng) 考查關(guān)鍵能力［J］． 中國考試，2021（07）：70-76．

［12］ 馬淑杰，張景斌，陳福?。?數(shù)學結(jié)構(gòu)不良問題的育人價值——以高中結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題專題復習課為例［J］． 數(shù)學通報，2020，59（10）：40-45．

［13］ 覃淋，楊琴． 基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的高考數(shù)學試題測評分析——以2020年全國卷Ⅱ高考數(shù)學試題為例［J］． 課程教學研究，2020（11）：27-36．

［14］ 劉海龍，徐輝，傅海倫． 結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題的特征、應(yīng)用及教學邏輯［J］． 教學與管理，2021（07）：59-62．

［15］ 覃淋． 2019年高考數(shù)學史試題分類評析與教學建議［J］． 中學數(shù)學研究（華南師大版），2021（01）：6-9．