基于領(lǐng)航跟隨者的固定時(shí)間車輛編隊(duì)控制

張意豪 葉洪濤 羅文廣 文家燕

摘 要：隨著無人車技術(shù)的發(fā)展，對(duì)控制的要求更高，對(duì)系統(tǒng)收斂的時(shí)間也有一定的要求。為了解決傳統(tǒng)多車輛協(xié)同編隊(duì)控制系統(tǒng)無法預(yù)測(cè)系統(tǒng)收斂時(shí)間的問題，提出一種固定時(shí)間控制的車輛編隊(duì)控制策略。首先，采用領(lǐng)航者-跟隨者模式建立了領(lǐng)航車與跟隨車之間的誤差模型，將跟隨車跟隨領(lǐng)航車之間的跟蹤問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)的控制問題；其次，根據(jù)固定時(shí)間理論來設(shè)計(jì)跟隨車的線速度控制器和角速度控制器，使編隊(duì)系統(tǒng)的跟蹤誤差在一定時(shí)間內(nèi)趨于0，保證車輛編隊(duì)能在一個(gè)固定時(shí)間內(nèi)收斂并穩(wěn)步形成所期望的編隊(duì)隊(duì)形；然后，把車輛編隊(duì)系統(tǒng)分為位置誤差系統(tǒng)和角度誤差系統(tǒng)，運(yùn)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分別證明位置誤差系統(tǒng)和角度誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并推導(dǎo)出位置誤差系統(tǒng)收斂時(shí)間的最上界；最后，通過MATLAB軟件仿真，驗(yàn)證所提出的固定時(shí)間編隊(duì)控制器的有效性。仿真結(jié)果表明，所提出的方法可以保證車輛編隊(duì)誤差系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)收斂，形成期望編隊(duì)陣型，且系統(tǒng)收斂時(shí)間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)。

關(guān)鍵詞：車輛編隊(duì)；協(xié)同控制；固定時(shí)間；編隊(duì)控制；領(lǐng)航跟隨法

中圖分類號(hào)：TP273；U463.675 ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2023.03.010

0 引言

隨著汽車聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，智能無人車為許多行業(yè)提供了諸多便利和更多的選擇方案，例如軍用無人探測(cè)智能車編隊(duì)和快遞行業(yè)的智能卡車編隊(duì)等[1]。最早是以多智能體為對(duì)象研究編隊(duì)系統(tǒng)，研究多智能體編隊(duì)系統(tǒng)的相關(guān)理論較為成熟，而智能車作為多智能體的延伸之一，研究車輛編隊(duì)控制問題可以借鑒多智能體編隊(duì)控制策略。目前，車輛編隊(duì)控制方法主要有領(lǐng)航-跟隨法、虛擬結(jié)構(gòu)法、行為控制法、人工勢(shì)場(chǎng)法等[2-5]。領(lǐng)航-跟隨法是目前最為成熟的編隊(duì)控制方法[6-10]，該方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)化了多智能體系統(tǒng)的控制復(fù)雜度，層級(jí)明確，擴(kuò)展性好。而有關(guān)車輛建模的研究方法主要有2種，一種是基于領(lǐng)航跟隨者模式的車輛誤差模型[11]，另一種是以車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型[12]。

在編隊(duì)控制中，為了得到較好的響應(yīng)特性和收斂速度，Oh等[13]通過運(yùn)用漸進(jìn)收斂算法來提高系統(tǒng)的性能，但使用該算法時(shí)不可預(yù)測(cè)系統(tǒng)的收斂時(shí)間。因此，引入有限時(shí)間收斂算法和固定時(shí)間收斂算法，這2種時(shí)間算法與通常意義下的算法截然不同，注重研究的是系統(tǒng)穩(wěn)定收斂時(shí)間，可以通過一些條件提前計(jì)算出系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的收斂時(shí)間。Polyakov[14]提出了系統(tǒng)收斂到平衡狀態(tài)的時(shí)間與初始條件無關(guān)的固定時(shí)間控制，并且給出了固定時(shí)間穩(wěn)定理論的定義和計(jì)算收斂時(shí)間上界的公式。之后，開始有學(xué)者將固定時(shí)間理論應(yīng)用于編隊(duì)控制。Guo等[15]針對(duì)輪式移動(dòng)機(jī)器人的固定時(shí)間軌跡跟蹤控制問題，設(shè)計(jì)了固定時(shí)間自適應(yīng)軌跡跟蹤控制律，使實(shí)際系統(tǒng)能夠在固定時(shí)間內(nèi)跟蹤上參考軌跡。郭戈等[16]將有限時(shí)間算法應(yīng)用于車輛編隊(duì)，提出一種考慮預(yù)設(shè)瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能約束的有限時(shí)間車輛編隊(duì)控制方法，解決了車輛編隊(duì)能提前預(yù)知系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間的問題，但這個(gè)穩(wěn)定時(shí)間與系統(tǒng)初始狀態(tài)有關(guān)。

以上有關(guān)領(lǐng)航跟隨者模式車輛編隊(duì)控制的研究集中在解決編隊(duì)形成及編隊(duì)快速穩(wěn)定的問題，而對(duì)提前預(yù)知系統(tǒng)收斂時(shí)間方面的研究成果較少，且研究不夠深入。在現(xiàn)實(shí)中，車輛編隊(duì)在進(jìn)行某些特定任務(wù)時(shí)，如果可以提前計(jì)算出編隊(duì)系統(tǒng)從初始化到編隊(duì)穩(wěn)定形成所需的時(shí)間，且該時(shí)間不受系統(tǒng)初始狀態(tài)的影響，那么在制定特定任務(wù)時(shí)有較強(qiáng)的指導(dǎo)作用?；诖耍疚膶㈩I(lǐng)航跟隨者模式的車輛誤差模型與固定時(shí)間相結(jié)合，提出基于固定時(shí)間理論的車輛編隊(duì)控制。采用領(lǐng)航跟隨法建立車輛誤差模型，根據(jù)固定時(shí)間理論設(shè)計(jì)相應(yīng)的系統(tǒng)控制器，實(shí)現(xiàn)編隊(duì)的快速形成，收斂速度更快，且可以提前計(jì)算出系統(tǒng)收斂時(shí)間。與現(xiàn)有研究不同的是，本文采用領(lǐng)航跟隨方式將車輛編隊(duì)問題轉(zhuǎn)化為跟隨車跟隨領(lǐng)航車之間的特定誤差系統(tǒng)的控制問題，并使用距離誤差函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型；然后，基于建立的誤差模型，使用固定時(shí)間理論與李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計(jì)出跟隨車的線速度和角速度控制器，將誤差模型分為2個(gè)系統(tǒng)，分別證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和漸進(jìn)收斂性；最后，使用軟件對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 模型建立與預(yù)備知識(shí)

1.1 模型建立

基于領(lǐng)航跟隨者模式的車輛誤差模型[17]如圖1所示，其中，[（xli， yli）]與[（xfi， yfi）]分別為第[i]輛領(lǐng)航車和第[i]輛跟隨車的質(zhì)心坐標(biāo)；[υli]和[υfi]分別為第[i]輛領(lǐng)航車和第[i]輛跟隨車的線速度；[ωli]和[ωfi]分別為第[i]輛領(lǐng)航車和第[i]輛跟隨車的角速度。領(lǐng)航車與跟隨車的直線距離為[Ri（t）]，[φi（t）]表示領(lǐng)航車中心軸線與直線距離[Ri（t）]的夾角，[θli（t）]與[θf(wàn)i（t）]表示領(lǐng)航車、跟隨車相對(duì)于[x]軸方向的夾角，[φl(shuí)i（t）]和[φfi（t）]表示領(lǐng)航車、跟隨車前進(jìn)方向與前輪方向的夾角。

直接對(duì)車輛模型進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比較復(fù)雜。因此可做直線分解，將領(lǐng)航車與跟隨車的直線距離[Ri（t）]分解為2個(gè)相互垂直的方向。如圖1所示，將[Ri（t）]分解為與跟隨車行車方向相同的[Riy（t）]和垂直于[Riy（t）]方向的[Rix（t）]。其中角度[α]為直線距離[Ri（t）]與坐標(biāo)軸[x]的夾角，角度[β]為直線距離[Ri（t）]與[Rix（t）]的夾角。為更直觀地體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型，以下公式推導(dǎo)以其中一輛跟隨車跟隨一輛領(lǐng)航車為例，同時(shí)省去所有公式中的[x]和[i]。

3 仿真分析

本節(jié)在MATLAB軟件中對(duì)多車輛進(jìn)行編程仿真以驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器的有效性。仿真使用的MATLAB版本為2021B，筆記本電腦的相關(guān)參數(shù)為：Intel（R） Core（TM） i5-4200H CPU @ 2.80GHz系統(tǒng)處理器。

考慮含有5輛跟隨車和一輛領(lǐng)航車組成的編隊(duì)系統(tǒng)，設(shè)置每輛車的車身長(zhǎng)度h=2.00 m，領(lǐng)航車的角速度為0，線速度以1.22 m/s做加速運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)仿真時(shí)間為10 s。設(shè)置的跟隨車的控制器參數(shù)（k、α、β）如表1所示。

圖2和圖3分別為每輛跟隨車與領(lǐng)航車之間的橫軸誤差（[e1]）和縱軸誤差（[e2]）的變化曲線。由圖2和圖3可以看出，仿真時(shí)間在3 s內(nèi)，系統(tǒng)的橫、縱軸誤差快速收斂到0，可認(rèn)為在車輛編隊(duì)中的每輛跟隨車的橫軸和縱軸都平穩(wěn)地行駛在預(yù)定的軌跡中，因此驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器（20）可以使編隊(duì)系統(tǒng)在一個(gè)提前預(yù)知的固定時(shí)間范圍內(nèi)收斂，實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制目標(biāo)。每輛跟隨車與領(lǐng)航車之間的角度誤差（[e3]）曲線圖如圖4所示，每輛跟隨車的航向角雖有翻轉(zhuǎn)，但最終都在3 s內(nèi)收斂到0，可認(rèn)為系統(tǒng)在穩(wěn)定后，跟隨車的航向角與領(lǐng)航車的航向角趨于一致。圖5和圖6分別為5輛跟隨車和1輛領(lǐng)航車的線速度和角速度的變化曲線。由圖5和圖6可知，在固定時(shí)間控制算法的作用下，每輛跟隨車的線速度和角速度在3 s內(nèi)穩(wěn)定跟蹤到領(lǐng)航車的線速度和角速度。由圖7可知，車輛編隊(duì)在仿真時(shí)間為10 s內(nèi)由初始位置到完成預(yù)期的編隊(duì)隊(duì)形的過程較為穩(wěn)定，呈正五角圖。從所有的仿真圖來看，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間不超過3 s。通過以上相關(guān)參數(shù)，根據(jù)式（28）可以計(jì)算出系統(tǒng)最小收斂時(shí)間為[4.38] s，小于系統(tǒng)仿真收斂時(shí)間，從而驗(yàn)證了定理1中的結(jié)論，證明了算法的有效性。

4 結(jié)論

由于傳統(tǒng)的車輛編隊(duì)控制具有無法預(yù)知系統(tǒng)收斂時(shí)間的局限性，本文提出一種基于固定時(shí)間理論的車輛編隊(duì)控制算法，使系統(tǒng)收斂時(shí)間更短，并且可以提前計(jì)算出收斂時(shí)間，且不受系統(tǒng)初始狀態(tài)的影響。首先采用領(lǐng)航跟隨者方法建立起車輛誤差模型，根據(jù)固定時(shí)間理論設(shè)計(jì)相應(yīng)的系統(tǒng)控制器，然后運(yùn)用經(jīng)典控制理論知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)推導(dǎo)出系統(tǒng)收斂時(shí)間的最小下界。有限時(shí)間理論的車輛編隊(duì)控制也可以提前推算出系統(tǒng)收斂時(shí)間，但其收斂時(shí)間不僅與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，還與系統(tǒng)初始值有關(guān)，而本文的基于固定時(shí)間理論的車輛編隊(duì)控制算法不僅可以提前計(jì)算出收斂時(shí)間，且不受系統(tǒng)初始狀態(tài)的影響。本文未設(shè)置對(duì)照組與有限時(shí)間理論相比較，無法體現(xiàn)固定時(shí)間理論的優(yōu)越性，故今后將進(jìn)一步深入研究。

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Fixed-time vehicle formation control based on leader-follower

ZHANG Yihao1， YE Hongtao*1， 2， 3， LUO Wenguang3， WEN Jiayan3

（1.School of Automation， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China; 2. Guangxi Key Laboratory of Automatic Detecting Technology and Instruments（Guilin University of Electronic Technology）， Guilin 541004， China; 3. Guangxi Key Laboratory of Automobile Components and Vehicle Technology（Guangxi University of Science and Technology）， Liuzhou 545616， China）

Abstract： To solve the problem that the traditional multi-vehicle cooperative formation control system cannot predict the convergence time of the system， a vehicle formation control strategy with fixed time control is proposed. Firstly， the error model between the lead vehicle and the following vehicle is established by using the leader-follower mode， and the tracking problem between the following vehicle and lead vehicle is transformed into the control problem of the error system. Secondly， the linear velocity controller and angular velocity controller are designed according to the fixed time theory， so that the tracking error of the formation system tends to 0 in a certain period of time， and the vehicle formation can converge in a fixed time and form the desired formation steadily. Then， the vehicle formation system is divided into position error system and angle error system. The stability of position error system and angle error system is proved respectively by using Lyapunov stability theory， and the uppermost limit of the convergence time of position error system is derived. Finally， the effectiveness of the proposed fixed-time formation controller is verified by MATLAB software simulation. The simulation results show that the proposed method can ensure that the vehicle formation error system converges within a fixed time to form the desired formation， and the convergence time is independent of the initial state of the system.

Key words： vehicle formation; cooperative control; fixed time; formation control; leader-follower method

（責(zé)任編輯：羅小芬）