基于Sobol法的五軸工具磨床幾何誤差辨識

潘英廣 唐清春 袁秀坤 張晨陽 魏巍 王太子

摘 要：機床的加工精度受諸多方面的誤差影響，包括力、熱、幾何、運動等誤差，其中幾何誤差影響較大。本文以自主研發(fā)的五軸工具磨床為研究對象，研究該磨床存在的幾何誤差影響程度，為該磨床在后續(xù)使用過程中進行誤差補償提供理論依據(jù)。首先，基于多體系統(tǒng)理論建立磨床的拓撲結(jié)構(gòu)，確定了該磨床結(jié)構(gòu)空間存在的37項幾何誤差；其次，利用體間齊次坐標(biāo)變換矩陣?yán)碚摻⒘四ゴ簿C合誤差模型；最后，使用Sobol全局靈敏度分析法與準(zhǔn)蒙特卡羅估算法對磨床誤差模型進行分析，計算出各幾何誤差項對整體幾何誤差空間的影響程度。結(jié)果表明：在磨床的37項幾何誤差中，影響該磨床空間幾何誤差較大的誤差項為偏擺角誤差與滾轉(zhuǎn)角誤差，為后續(xù)的誤差補償提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：五軸工具磨床；幾何誤差；多體系統(tǒng)理論；全局靈敏度分析

中圖分類號：TG580.1 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2023.03.004

0 引言

數(shù)控機床被喻為“工業(yè)母機”，其加工精度已成為最重要的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)之一[1]，而機床的精度直接決定著零件的加工精度，故提升數(shù)控機床加工精度極為重要。對于零件來說，影響其加工精度的因素有很多，例如機床幾何誤差、裝配誤差、系統(tǒng)誤差、力學(xué)誤差、熱誤差等，對此，國內(nèi)外諸多學(xué)者進行了大量的研究。楊建國等[2]研究表明，機床的幾何誤差占機床總誤差的30%～45%，因此，研究機床的幾何誤差對機床的設(shè)計與精度提升具有重要的工程應(yīng)用價值與意義。Yao等[3]對某車削機床進行誤差分析，通過局部靈敏度分析，辨識出8項關(guān)鍵幾何誤差，并進行了試驗驗證。王勇等[4]基于多體系統(tǒng)理論對QMB125球籠溝道磨床建立幾何誤差模型，并對其進行靈敏度分析，辨識對該磨床影響較大的誤差項。范晉偉等[5]基于多體系統(tǒng)理論建立起某數(shù)控內(nèi)圓磨床的幾何誤差模型，并計算其各自靈敏度系數(shù)，為后期機床誤差補償提供了參考。

由以上文獻可知，目前在機床幾何誤差分析中采用的靈敏度分析方法均為局部靈敏度分析法，即只考慮單個誤差因素對模型的影響程度，而沒有考慮誤差項因素之間的耦合特性對整體模型的影響。全局靈敏度分析法則彌補了局部靈敏度分析法的缺陷，不僅考慮單個誤差項對整體模型的影響，而且考慮了不同參數(shù)之間耦合作用下對整體模型的影響。全局靈敏度分析法主要有基于方差的Sobol法、Morris法、Fast法等，其中Sobol法為一種全局的、定量的、無模型的分析方法，廣泛應(yīng)用于機械、水文、物理、城市規(guī)劃等領(lǐng)域[6]。楊德友等[7]利用Sobol法計算各參調(diào)發(fā)電機組的全局靈敏度，確定關(guān)鍵發(fā)電機組并進行優(yōu)化，實現(xiàn)在區(qū)間弱阻尼模式下阻尼的有效提升。周如意等[8]采用Sobol法篩選出輪地模型中的主導(dǎo)參數(shù)，用于反映底面承壓特性與剪切特性的變化。吳楊俊等[9]利用Sobol法對動力包隔振參數(shù)進行靈敏度分析，確定影響較大的參數(shù)，最后對主要影響參數(shù)進行優(yōu)化，使動力包系統(tǒng)隔振性能指標(biāo)得到改善。

由于五軸工具磨床有高速、高效、高精度的要求，采用局部靈敏度分析法分析幾何誤差難以精準(zhǔn)地預(yù)判幾何誤差各項對機床誤差整體的真實影響程度。本文以自主設(shè)計五軸工具磨床為對象，利用多體系統(tǒng)理論法對磨床整體幾何誤差建立空間模型，基于Sobol靈敏度分析法辨識影響磨床整體幾何誤差較大的主要誤差項，為機床誤差補償提供理論依據(jù)。

1 五軸工具磨床及其誤差分析

1.1 五軸工具磨床結(jié)構(gòu)

本文研究對象為自主研發(fā)五軸工具磨床，如圖1所示，其外觀尺寸為1 487 mm×1 571 mm×1 925 mm。該磨床主要由床身、立柱、XZ軸組件與Y軸組件等構(gòu)成，共有5個運動軸，其中X、Y、Z為3條平動軸，A、B為旋轉(zhuǎn)軸。采用被加工件軸線臥式布局，工件安裝在XZ軸組件上，加工時工件可實現(xiàn)X、Z軸方向移動與A軸回轉(zhuǎn)運動。砂輪主軸箱與B軸組件設(shè)置在立柱（Y軸）上，可沿Y軸上下運動和B軸回轉(zhuǎn)運動。為保持磨床高精度的優(yōu)良特性，設(shè)計各軸誤差范圍如表1所示。

1.2 磨床幾何誤差項分析

磨床中的每個構(gòu)件都具有6個自由度，由于磨床裝配誤差及定位誤差等因素的影響，每個自由度在空間中形成磨床的幾何誤差。6個自由度誤差可歸為移動副誤差與轉(zhuǎn)動副誤差，分別用[δ]、[ε]表示。當(dāng)X軸做平移運動時，X軸的6個自由度誤差分別為：1個定位誤差[δx（X）]，2個直線度誤差[δy（X）、δz（X）]，滾轉(zhuǎn)角誤差[εx（X）]，偏擺角誤差[εy（X）]和俯仰角誤差[εz（X）]，其磨床誤差如圖2所示。運動件之間除了上述6個誤差之外還有平行度誤差與垂直度誤差，其中，將兩軸夾角大于90°的方向定義為垂直度誤差的正方向。通過分析磨床結(jié)構(gòu)與運動件之間的關(guān)系可知磨床存在37項空間幾何誤差項，所有誤差項如表2所示。

2 五軸工具磨床幾何誤差建模

2.1 磨床拓撲結(jié)構(gòu)

根據(jù)多體系統(tǒng)理論，可利用低序體陣列來描述機床拓撲結(jié)構(gòu)，引入齊次坐標(biāo)變換矩陣，再結(jié)合各個體之間的位姿狀態(tài)關(guān)系精確地描述出個體實際情況的位姿狀態(tài)表達式[10-11]。拓撲結(jié)構(gòu)即是描述一個多體系統(tǒng)中各個體之間的關(guān)系，在多體系統(tǒng)中，每一個構(gòu)成拓撲結(jié)構(gòu)的剛體即為一個單元體，而低序體陣列是對該系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)進行描述時利用最多的一種方法，其做法為：將五軸工具磨床視為一個多體串聯(lián)系統(tǒng)，建立2條運動鏈，其中床身作為慣性體標(biāo)記為0，與其相連且逐漸遠離的標(biāo)記為1、2、3甚至更多，則運動鏈可表示為①床身→工件（0-1-3-4-5），②床身→刀具（0-2-6-7）；同時建立各組件坐標(biāo)系，靜止時磨床主軸方向為Z軸，其余XY軸采用右手笛卡爾坐標(biāo)系確定，設(shè)定磨床坐標(biāo)系與床身坐標(biāo)系重合，磨床各坐標(biāo)系設(shè)定如表3所示，簡圖如圖3所示，拓撲結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

3.3 磨床幾何誤差項靈敏度分析

由于磨床的精度受到各個幾何誤差項的影響程度不同，因此利用Sobol全局靈敏度分析法對該五軸工具磨床綜合空間誤差模型進行分析，便于識別關(guān)鍵幾何誤差項。

磨床空間幾何誤差模型中有37項幾何誤差參數(shù)，模型樣本取值數(shù)量越多估算精度值越精確。為保持磨床的精度，模型估算采樣數(shù)量N設(shè)為N=30 000，各個幾何誤差項范圍通過控制壓縮系數(shù)來保證磨床的設(shè)計精度，所采取的各個幾何誤差項均為標(biāo)準(zhǔn)值的2倍，線誤差取0～0.015 mm，角誤差取0～0.015°，垂直度誤差取0～0.01°，磨床誤差項取值范圍如表6所示。

除上述幾何誤差項取值范圍外，還需確定各體之間的相對位置坐標(biāo)以及A、B旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)角度。為簡化計算模型，A、B軸旋轉(zhuǎn)角設(shè)為非0恒定值，設(shè)置磨床Z軸坐標(biāo)系與A軸坐標(biāo)系重合，最后通過Matlab軟件編制Sobol靈敏度分析程序，每個誤差項依次編號1—37，計算磨床幾何誤差模型靈敏度系數(shù)，結(jié)果如圖6所示，[Si]表示一階靈敏度系數(shù)，[STi]表示總靈敏度系數(shù)。

3.4 仿真結(jié)果分析

由上述靈敏度分析結(jié)果可知，一階靈敏度系數(shù)[Si]與總體靈敏度系數(shù)[STi]幾乎相等，說明磨床中某一幾何誤差項不受其他誤差項影響，即誤差項之間耦合作用較小，在研究誤差補償時可考慮單個誤差。關(guān)鍵幾何誤差項如表7所示。

由圖6（a）與表7可知，X方向影響較大的幾何誤差項第11項即Y軸的偏擺角誤差[εyY]，占X方向總誤差約66%；其次是第6項即X軸的俯仰角誤差[εzX]，占X方向總誤差約21%，其余項均可忽略不計。

由圖6（b）與表7可知，Y方向影響較大的幾何誤差項為第10項、第32項、第6項，即Y軸的滾轉(zhuǎn)角誤差、Y軸的垂直度誤差以及X軸的俯仰角誤差[εxY、VZY、εzX]，分別占Y方向總誤差的45%、20%、17%，其余項均可忽略不計。

由圖6（c）與表7可知，Z方向受幾何誤差項影響較大的為第5項、第4項、第17項，即X軸的偏擺角誤差、X軸的滾轉(zhuǎn)角誤差以及Z軸的偏擺角誤差[εyX、εxX、εyZ]，分別占Z方向總誤差的30%、25%、12%，其余項均可忽略不計。

綜上，在后續(xù)精度設(shè)計與誤差補償時應(yīng)當(dāng)注意影響較大的誤差項，同時在磨床零件加工或裝配階段應(yīng)保證工件精度及各構(gòu)件間的位置度，以減小偏擺角誤差等重要誤差因素。

4 結(jié)論

以五軸工具磨床為研究對象，對磨床進行誤差分析，得出影響磨床的37項誤差，并基于多體系統(tǒng)理論，通過低序體陣列來描述磨床的拓撲結(jié)構(gòu)，建立其空間幾何誤差模型；采用Sobol全局靈敏度分析方法，通過準(zhǔn)蒙特卡羅采樣方法以磨床幾何誤差項作為輸入變量，最后估算磨床靈敏度系數(shù)，得出以下結(jié)論：

1）Sobol全局靈敏度分析法能精確地分析出磨床各項誤差的靈敏度系數(shù)，有利于對影響加工精度的因素進行篩選，對后續(xù)的磨床誤差補償提供理論支撐。

2）在37項磨床幾何誤差元素中，影響磨床幾何誤差較大的誤差項均表現(xiàn)為偏擺角誤差，占空間總誤差30%～66%；其次是滾轉(zhuǎn)角誤差，占總誤差的45%。

3）通過分析結(jié)果可知，該方法也可用于同類其他磨床的誤差分析，有利于磨床后續(xù)的精度設(shè)計及裝配，為合理、經(jīng)濟地提高磨床精度設(shè)計提供理論參考。

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Geometric error identification of five-axis tool grinder

based on Sobol method

PAN Yingguang1， TANG Qingchun*1， YUAN Xiukun2， ZHANG Chenyang1， WEI Wei1， WANG Taizi1

（1.School of Mechanical and Automotive Engineering， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China; 2. Department of Transportation Engineering， Sichuan Vocational and Technical College of

Engineering， Deyang 618000， China）

Abstract： The machining accuracy of machine tools is affected by the force， heat， geometry， motion and other errors， among which the geometric error plays a vital role. In this paper， the independently developed five-axis tool grinder is taken as the research object to study the influence of geometric errors of the machine tool， so as to provide a theoretical basis for error compensation in the subsequent use of the machine tool. Firstly， the topological structure of the grinder is established based on the multi-body system theory， and 37 geometric errors in the structure space of the grinder are determined; Secondly， the comprehensive error model of grinder is established by using homogeneous coordinate transformation matrix theory between bodies; Finally， Sobol global sensitivity analysis method and quasi Monte Carlo estimation are used to analyze the grinder error model， and the influence degree of each geometric error item on the overall geometric error space is calculated. The results show that among the 37 geometric errors of the grinder， the error items that affect the grinder's spatial geometric error are deflection angle error and roll angle error， which provides a theoretical basis for the subsequent error compensation.

Key words： five-axis tool grinder; geometric error; multi body system theory; global sensitivity analysis

（責(zé)任編輯：黎 婭）