例析平移坐標(biāo)系法求解函數(shù)問題

浙江省杭州第十四中學(xué) (310006) 樓思遠(yuǎn)

文[1]研究了平移坐標(biāo)系法在圓錐曲線中的應(yīng)用,實(shí)際上,平移坐標(biāo)系法對處理部分函數(shù)問題也有立竿見影的效果.我們知道,在平面內(nèi)對直角坐標(biāo)系任意進(jìn)行平移后,函數(shù)圖象的形狀、直線的斜率、線段的長度,多邊形的面積等均保持不變,特別的,只對直角坐標(biāo)系左右平移時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)也保持不變,我們把這些不變的量統(tǒng)稱為“運(yùn)動不變量”,基于這些不變量以及函數(shù)本身的性質(zhì),通過適當(dāng)?shù)钠揭谱鴺?biāo)系來對解題思路作出調(diào)整,可起到化繁為簡的效果,并揭示出問題的本質(zhì).

一、實(shí)例分析

例1 若對任意的a,b∈R,不等式|x2+ax+b|≤1在區(qū)間[m,n]上恒成立,則n-m的最大值為________.

分析：原函數(shù)含有兩個(gè)參數(shù),比較復(fù)雜,現(xiàn)將直角坐標(biāo)系平移使得原點(diǎn)O與二次函數(shù)y=x2+ax+b的頂點(diǎn)重合,則二次函數(shù)解析式變?yōu)閥=x2,如圖1所示,注意到平移過程中函數(shù)的形狀保持不變,因此可以將原問題轉(zhuǎn)化為在圖1的基礎(chǔ)上求解.

圖1

圖2

圖3

分析：在圖3中,函數(shù)過點(diǎn)(0,1),現(xiàn)將直角坐標(biāo)系往上平移使得原點(diǎn)O與(0,1)重合,如圖4所示,此時(shí)函數(shù)解析式變?yōu)閥=x3+x,是一個(gè)奇函數(shù),由于平移過程中直線l的斜率與線段AB與BC的長度均保持不變,故根據(jù)對稱性知點(diǎn)B必然與原點(diǎn)O重合,在這種情況下,利用奇函數(shù)的性質(zhì)可對問題快速求解.

圖4

例3 如圖5所示,已知A,B,C,D為三次函數(shù)y=x3+ax2+bx+c圖象上不同的四點(diǎn),A,C為兩個(gè)極值點(diǎn)且CD//AB,若A,B,C,D四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形,試求SABCD的值.

圖5

分析：原函數(shù)含有三個(gè)參數(shù),比較復(fù)雜,現(xiàn)將直角坐標(biāo)系平移使得原點(diǎn)O與點(diǎn)C重合,如圖6所示,根據(jù)零點(diǎn)位置可設(shè)三次函數(shù)解析式為y=(x-0)2(x-t),注意到平移過程中函數(shù)的形狀與SABCD面積大小均保持不變,因此可以在圖6情形下求解.

圖6

分析：將函數(shù)圖象左右平移不改變函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),通過觀察和嘗試,發(fā)現(xiàn)將直角坐標(biāo)系向右平移一個(gè)單位,可以使函數(shù)y=f(x-1)+f(1-x)變?yōu)閥=f(x)+f(-x),為一個(gè)偶函數(shù),根據(jù)對稱性,題目等價(jià)于y=f(x)+f(-x)=0當(dāng)x>0時(shí)有兩個(gè)解.

通過求導(dǎo)求得到函數(shù)的極值,并作出大致圖象如圖7所示,易知a>2時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn).故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>2.

圖7

二．幾點(diǎn)思考

對上述幾個(gè)問題而言,直接求解將十分繁瑣,作為對照,通過平移坐標(biāo)系這一操作,可以直指問題的本質(zhì),以簡馭繁快速解答.這其中,結(jié)合題意進(jìn)行觀察與嘗試,發(fā)現(xiàn)并抽象出“運(yùn)動不變量”是解題思路(平移直角坐標(biāo)系)的關(guān)鍵,因此,數(shù)學(xué)抽象能力是根本所在.文[2]指出:“數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成內(nèi)容,在新的教學(xué)改革中,數(shù)學(xué)抽象位于核心素養(yǎng)首位,意在通過對學(xué)生抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)引導(dǎo)學(xué)生利用推理、運(yùn)算、建模等數(shù)學(xué)活動方式揭示世界中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律”.在平時(shí)的教學(xué)過程中,教師應(yīng)重視學(xué)生抽象思維能力的培養(yǎng),及時(shí)調(diào)整教學(xué)手段和教學(xué)方法,從情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)等維度開展數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的教學(xué),另外,可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合直觀想象與數(shù)據(jù)分析等思維方式,從相似問題中抽象出一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律與解題技巧.

本文僅就平面直角坐標(biāo)系的平移展開了討論.實(shí)際上,從橫向角度而言,對空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行平移,可以簡化立體幾何問題的坐標(biāo)運(yùn)算;從縱向角度而言,除了平移外,對直角坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)與伸縮等變換,可以解決其各種類型的問題,例如通過旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系可以將等軸雙曲線轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)的圖象,從而簡化運(yùn)算過程,等等,此類問題待讀者進(jìn)一步研究.