構(gòu)建同構(gòu)式 感悟?qū)ΨQ美*

江蘇省揚州中學(xué) (225007) 褚玉霞

江蘇省揚州市教育科學(xué)研究院 (225009) 戚有建

數(shù)學(xué)中的同構(gòu)式指的是除了變量不同,而結(jié)構(gòu)完全相同的兩個式子,同構(gòu)式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美與和諧美．解題時若能從“同構(gòu)”入手,不僅可以另辟蹊徑、出奇制勝,起到事半功倍的效果,同時還能夠賞析數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)之美和獨特魅力．同構(gòu)式在求值、方程、不等式、數(shù)列、解幾等方面都有著很好的應(yīng)用,下結(jié)合幾道例題加以說明．

一、在求值中的應(yīng)用

例1 若2x2e2x+lnx=0,則2x+lnx=.

分析：本題是超越方程,不方便解出x0,可以從已知式的結(jié)構(gòu)入手,挖掘式子中隱含的特征,對其變形,改寫成同構(gòu)式,然后尋求解題思路.

二、在方程中的應(yīng)用

點評：一般地,若實數(shù)a,b分別滿足f(a)=0,f(b)=0,則它們呈現(xiàn)同構(gòu)特征,所以a,b可視為方程f(x)=0的兩個根,于是想到構(gòu)建方程或函數(shù),利用方程根的特征或函數(shù)的性質(zhì)來解決問題．

三、在不等式中的應(yīng)用

分析：本題如考慮分參則分不起來,若考慮構(gòu)建差函數(shù)則差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)會很繁雜.實際上,本題可以挖掘結(jié)構(gòu)特征、構(gòu)建同構(gòu)式,轉(zhuǎn)化為單調(diào)性來處理,難點是如何改寫成同構(gòu)式.

點評：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)的是同構(gòu)特征,則可由相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)建函數(shù),進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題,據(jù)此可用來比較變大小或解不等式．

四、在數(shù)列中的應(yīng)用

例4 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1,n∈N*．

(1)若λ=1,求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)求實數(shù)λ的值,使數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

(2)先由a1,a2,a3成等差數(shù)列得λ=0,代入已知,再證明此時數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

點評：兩小題都是通過變形,將遞推關(guān)系式改寫成“依序同構(gòu)”的特征,從而構(gòu)建“常數(shù)列”來解決問題.

五、在解幾中的應(yīng)用

例5如圖1,過拋物線y=x2上的點A作圓M:x2+(y-2)2=1的兩條切線,分別交拋物線于B,C兩點,證明:直線BC與圓相切.

圖1

分析：由于三個點A,B,C的地位等同,所以三條直線AB,AC,BC的方程結(jié)構(gòu)相同,所以可以構(gòu)建同構(gòu)式來處理.

點評：本例中三條直線AB,AC,BC方程的結(jié)構(gòu)相同,所以可以挖掘同構(gòu)式,構(gòu)建一元二次方程,利用韋達定理讓問題順利解決.在解析幾何中,善用“同理”,可以提升整體運算能力,極大減少解幾的繁瑣運算．

通過上面幾道例題可以發(fā)現(xiàn),利用同構(gòu)思想來處理問題,求解的關(guān)鍵在于深入剖析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,將代數(shù)式進行不斷的變形和轉(zhuǎn)化,直到出現(xiàn)結(jié)構(gòu)完全相同的兩個式子,然后抽象出一個函數(shù),借助該函數(shù)的單調(diào)性來尋求解題思路．利用同構(gòu)思想來處理問題有利于培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察能力、豐富的想象能力、靈活的構(gòu)造能力和高超的創(chuàng)造能力．同構(gòu)式體現(xiàn)了 “數(shù)學(xué)運算”與“數(shù)學(xué)抽象”兩大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的完美融合,彰顯了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和審美價值．