一類絕對(duì)值雙重最值問題的追根溯源*

浙江省寧波市北侖區(qū)明港高級(jí)中學(xué) (315800) 賀 旭

一、題引

(2)(2018年浙江競(jìng)賽12)設(shè)a∈R,x∈[0,1],且對(duì)任意實(shí)數(shù)b均有max|x2+ax+b|≥1,求a的取值范圍.

上述三個(gè)題都是絕對(duì)值函數(shù)問題.含絕對(duì)值的最值問題一直是高考考查的熱點(diǎn)和難點(diǎn),這類問題常常靈活多變、撲朔迷離,那么它是否高不可攀、令人望而生畏呢?當(dāng)我們將這三個(gè)問題放在一起尋找它們的共性時(shí),可以抽象得到它的基本形式是|f(x)-ax-b|,找到統(tǒng)一形式后,就方便我們深入研究.

二、追根溯源

例1 函數(shù)f(x)=|x-1|,x∈[-1,1]的最大值為________.

圖1

變式1 函數(shù)f(x)=|x-b|,x∈[-1,1],其中b∈R.記f(x)的最大值為g(b),當(dāng)b變化時(shí),g(b)的最小值為________.

圖2

圖3

變式2 已知函數(shù)f(x)=|x2-b|,x∈[-1,1],其中b∈R.記f(x)的最大值為g(b),則g(b)的最小值為________.

圖4

圖5

變式3 設(shè)函數(shù)f(x)=|x2-ax-b|,x∈[-1,1],其中a,b∈R.記f(x)的最大值為M(a,b),則M(a,b)的最小值為________.

變式4 設(shè)函數(shù)f(x)=|x2-ax-b|,x∈[0,1],其中a,b∈R.記f(x)的最大值為M(a,b),則M(a,b)的最小值為________.

圖6

圖7 圖8

對(duì)于以上4個(gè)變式,我們采用了統(tǒng)一的方法,利用絕對(duì)值的幾何意義,將最值問題轉(zhuǎn)化為圖形的距離問題.那么對(duì)于這類最大值的最小值問題,它是否能推廣到更一般的情形,這類問題背后的理論支撐又是什么呢?

三、理論基礎(chǔ)

絕對(duì)值雙重最值的實(shí)質(zhì)是求最大值的最小值,將絕對(duì)值里的代數(shù)式看成兩個(gè)函數(shù)的差,數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的縱向距離,通過移動(dòng)其中一條直線,尋找縱向距離的最值.

本文提供的三個(gè)題引中,參數(shù)有一個(gè)也有二個(gè),有正向提問,也有反向提問,但本質(zhì)都不變,考查的是minmax|f(x)-g(x)|.主要目的是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力,及理性思維能力.

本文從“絕對(duì)值”的幾何意義出發(fā),設(shè)計(jì)了環(huán)環(huán)相扣的問題鏈,從不含參的絕對(duì)值問題到含有一個(gè)參數(shù)的絕對(duì)值問題,再到含兩個(gè)參數(shù)的絕對(duì)值問題,從對(duì)稱曲線到不對(duì)稱曲線,最后提升到切比雪夫最佳逼近直線理論.整個(gè)過程自然、生動(dòng)、明晰,挖掘問題的各個(gè)方面,一個(gè)完整的理論分析.