巧設(shè)數(shù)學(xué)變式 凸顯思維進(jìn)階

江蘇省宜興市丁蜀高級(jí)中學(xué) (214221) 吳湘蕓

高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).精心設(shè)計(jì)例題及變式,由表及里、由淺入深、由易到難,循序漸進(jìn).例題與習(xí)題是教材的重要組成部分,要準(zhǔn)確把握習(xí)題的容量、難度.提供具有不同層次要求的習(xí)題,關(guān)注知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,展示學(xué)生的思維過(guò)程,溝通知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系,促進(jìn)知識(shí)遷移,形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò),幫助學(xué)生掌握知識(shí),提高課堂效率,鍛煉學(xué)生思維.

一、變換條件,培養(yǎng)思維靈活性

題目看似不同,實(shí)則本質(zhì)相同.把握知識(shí)類型,分析水平層次.可以更改條件的不同表述,轉(zhuǎn)換問(wèn)題呈現(xiàn)形式,也可變換條件與結(jié)論,尋求不同之處.啟發(fā)學(xué)生比較異同點(diǎn),復(fù)習(xí)各類知識(shí)點(diǎn),挖掘深層含義,抓住問(wèn)題實(shí)質(zhì),掌握每種題型的相關(guān)解法.

例1 (1)若關(guān)于x的不等式4x2+ax+4>0的解集是R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,若不等式4x2+ax+4≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)若函數(shù)y=4x2+ax+4的圖像都在x軸的上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(4)若關(guān)于x的不等式ax2+4x+4>0的解集是φ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問(wèn)題,也是二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次不等式恒成立的問(wèn)題.如果二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù),不要忘記對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用.強(qiáng)化條件中字母的適用范圍,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維.啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生分析異同點(diǎn),能夠及時(shí)抓住問(wèn)題的本質(zhì),培養(yǎng)思維的靈活性.

例2 (1)對(duì)?x∈R,若關(guān)于x的不等式mx2-mx+m-6<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2)對(duì)?m∈[-2,2],不等式mx2-mx+m-6<0恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：第一問(wèn)根據(jù)m=0與m≠0兩種情況分類討論,結(jié)合兩次函數(shù)圖象及性質(zhì)求解;第二問(wèn)將y=mx2-mx+m-6看成以m為自變量的函數(shù),研究新函數(shù)在給定區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值符號(hào)即可.本題在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)滲透函數(shù)思想,根據(jù)變量合理構(gòu)造函數(shù).不等式中變換主元,函數(shù)發(fā)生改變,既呼應(yīng)例1中的恒成立問(wèn)題,又體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.

二、設(shè)置階梯,培養(yǎng)思維深刻性

變換問(wèn)題的思考角度,由淺入深、由易到難,層層鋪墊,在條件的難度進(jìn)階中總結(jié)題型方法以及分析思路,幫助學(xué)生,感悟數(shù)學(xué)思想,積累思維經(jīng)驗(yàn),逐步提高解題能力.

例3 (1)求函數(shù)f(x)=x2+2x+2的最小值.

(2)求函數(shù)f(x)=x2+2x+2(x>-2)最小值.

(3)求函數(shù)f(x)=x2+2x+2(x≥a)的最值.

(4)若函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[-1,1]上的最小值為-1,求實(shí)數(shù)a的值.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：第一、二小問(wèn)中將二次函數(shù)配方畫圖,屬于基礎(chǔ)題,學(xué)生求解并不困難.第三問(wèn)由定量改為變量,需要分類討論,考查定軸動(dòng)區(qū)間,難度進(jìn)階.第四問(wèn)已知最值,求參數(shù)范圍,考查動(dòng)軸定區(qū)間.問(wèn)題不斷轉(zhuǎn)換,從初中的二次函數(shù)求最值進(jìn)階為高中角度的分類求參數(shù),讓學(xué)生自己真正理解為何分類、如何分類.例題涵蓋高中二次函數(shù)求最值的各類解法,通過(guò)層層設(shè)計(jì)讓學(xué)生注意到解題方法上的差異.

三、由點(diǎn)及面,培養(yǎng)思維發(fā)散性

一題多變,由一道題目復(fù)習(xí)多個(gè)知識(shí)點(diǎn),尋找解題規(guī)律,將知識(shí)融會(huì)貫通.引導(dǎo)學(xué)生思維由淺顯引向縱深,獲得更高層次的認(rèn)識(shí).在變式的層層轉(zhuǎn)化下發(fā)現(xiàn)知識(shí)的共同性,解決一類問(wèn)題從而解決多種問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

例4 如圖1所示,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓O上的點(diǎn),Q是PA的中點(diǎn),G為ΔAOC的重心,AB是圓O的直徑,且AB=2AC=2.

(1)求證:QG∥平面PBC;

(2)求點(diǎn)G到平面PAC的距離．

變式1 求點(diǎn)A到平面PAC的距離．

變式2 求點(diǎn)G到平面PBC的距離.

變式3 取AC中點(diǎn)M,求MQ到平面PAC的距離.

變式4求平面MQO到平面PAC的距離.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：本題考查線面平行的判定、平面與平面平行的判定與性質(zhì)、點(diǎn)到平面距離的計(jì)算.第一問(wèn)由線線平行推出線面平行.變式1利用“G為ΔAOC的重心”這一條件,發(fā)現(xiàn)距離的關(guān)系轉(zhuǎn)變,是第二小問(wèn)的深化,可以直接作出距離,也可用等積法進(jìn)行轉(zhuǎn)換.變式2就可用等體積法求解距離.變式3利用MQ∥平面PAC,發(fā)現(xiàn)線面之間的距離其實(shí)就是點(diǎn)到面的距離.同樣,變式4中,若能發(fā)現(xiàn)平面MQO∥平面PAC,那么就能將面面之間的距離也轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面之間的距離了.通過(guò)不斷分解,持續(xù)探究,逐步遞進(jìn)就再追溯本源,最后引導(dǎo)思維從發(fā)散走向收斂,促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí),對(duì)復(fù)習(xí)的知識(shí)有全面而深刻的認(rèn)識(shí).

四、判別對(duì)錯(cuò),培養(yǎng)思維嚴(yán)謹(jǐn)性

古人云:“疑為思之始,學(xué)之端.”在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生提出質(zhì)疑,引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考,找出解法中的錯(cuò)誤,并剖析原因,改錯(cuò)后給出正解,通過(guò)判斷對(duì)錯(cuò)找出缺失,糾正錯(cuò)誤思維,養(yǎng)成科學(xué)思考習(xí)慣的同時(shí),讓學(xué)生在辨析中加深對(duì)知識(shí)的理解,向數(shù)學(xué)思維的更深處漫溯.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：例5中考查根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)的取值范圍.當(dāng)零點(diǎn)不滿足所在區(qū)間左右端點(diǎn)值異號(hào)時(shí),無(wú)法用零點(diǎn)存在性定理完成.方法一,首先要對(duì)字母a是否為0進(jìn)行討論,當(dāng)a不為0時(shí),容易遺漏端點(diǎn)值同號(hào)的情況;方法二,將參量變量分離,x=0時(shí)單獨(dú)討論,x≠0時(shí)轉(zhuǎn)化為y=a與新函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)交點(diǎn).

五、自選條件,培養(yǎng)思維開(kāi)闊性

特定設(shè)計(jì)的問(wèn)題(非常規(guī)問(wèn)題、開(kāi)放性問(wèn)題、結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題),問(wèn)題的條件或目標(biāo)不確定,需要探究.要嘗試引導(dǎo)學(xué)生展示數(shù)學(xué)理解力,從不同角度思考條件之間的關(guān)系,體會(huì)各種方法的適用特點(diǎn).對(duì)結(jié)論的有效性進(jìn)行預(yù)估,滿足學(xué)生自主探索的欲望,拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.

條件①,選用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到角A的大小;也可利用射影定理bcosA+acosB=c,從而求出角A.

條件②,選用余弦定理得到角A的大小;

本題的三個(gè)條件分別考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式,穿插向量及三角函數(shù)求解取值范圍,但三個(gè)條件得到的結(jié)論相同,都是為了求出角A的大小.

六、自主編題,培養(yǎng)思維創(chuàng)造性

自主出題,打破常規(guī),觸碰知識(shí)內(nèi)核,建構(gòu)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu).在編題過(guò)程中凸顯邏輯思維,體現(xiàn)創(chuàng)造性、敏捷性、多項(xiàng)性.題目千變?nèi)f化,要讓學(xué)生真正理解知識(shí),才能運(yùn)用自如.平時(shí)可讓學(xué)生根據(jù)自己的能力水平自己設(shè)計(jì)不同類型、不同層次的練習(xí),激活創(chuàng)新思維.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若BF⊥HF,且∠MOA≥∠MAO,求直線l的斜率的取值范圍.

本題涉及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角形中大角對(duì)大邊的運(yùn)用,體現(xiàn)了“整體運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合”的思想方法,考察運(yùn)算能力.

選擇題目時(shí)要關(guān)注情境和問(wèn)題的創(chuàng)設(shè),關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容主線之間的關(guān)聯(lián)以及六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間的協(xié)調(diào).設(shè)置題目時(shí)要對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深度分析,對(duì)學(xué)生可能想到的問(wèn)題充分預(yù)設(shè),利用題目的改變促進(jìn)學(xué)生的深度參與,逐漸培育學(xué)生的高階思維,以促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)為價(jià)值旨?xì)w.