怎樣開展對數(shù)函數(shù)變式教學(xué)

陳萍萍

變式教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中比較常見的一種教學(xué)方法.所謂變式教學(xué)，是指教師有目的、有計劃地對命題中的非本質(zhì)特征進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，如變換問題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式；配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好問題中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性.開展變式教學(xué)，不僅能有效地激活學(xué)生的思維，激發(fā)他們的探究興趣，還能使其通過探究，掌握一類題的通性通法.對于對數(shù)函數(shù)，我們并不陌生，但很多學(xué)生仍無法掌握其本質(zhì)，將其靈活地應(yīng)用于解題當(dāng)中.對此，我們需通過變式教學(xué)來提升課堂教學(xué)的效率.

一、有關(guān)對數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用的變式教學(xué)

我們知道，對數(shù)函數(shù)y=logx 在01時，y 隨 x 的增大而減少，圖象是下降的.且其圖象與指數(shù)函數(shù) y=a?的圖象關(guān)于y=x 對稱.在引導(dǎo)學(xué)生探究對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用技巧時，教師可以運(yùn)用變式教學(xué)法開展教學(xué)，以一個典型題目為例，對題目中對數(shù)函數(shù)的形式、代數(shù)式的形式進(jìn)行變換，以使學(xué)生從中了解對數(shù)函數(shù)圖象的變化趨勢，以及真數(shù)、底數(shù)對函數(shù)圖象的影響，從而掌握應(yīng)用對數(shù)函數(shù)圖象解題的技巧.

例1.當(dāng)時，4

解

由于f（x）=4 和 g（x）=logx 均為基本初等函數(shù)，所以學(xué)生能快速畫出兩個函數(shù)的圖象，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象間的位置關(guān)系問題，采用圖象法可求得問題的答案.

變式1.

解：

因?yàn)槎魏瘮?shù)所表示的是開口向上的拋物線，所以對數(shù)函數(shù)必須是減函數(shù).通過數(shù)形結(jié)合，將不等式問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系問題，采用圖象法，便可使問題快速獲解.

變式2.

解：

本題將變式2中的二次函數(shù)變成了冪函數(shù)y=√x， 畫出冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象，便可采用圖象法，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定a 的取值范圍.

變式3.如圖4，函數(shù)f（x）的圖象為折線 ACB， 則不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（ ）.

A.{xl-1

C.{xl-1

解：

原不等式的左邊是分段函數(shù)，右邊是對數(shù)函數(shù)，將 y=log?x 的圖象向右平移一個單位就可得到 y=log?（x+1）的圖象.畫出函數(shù)的圖象，通過圖象法來解題.

由此，學(xué)生便可發(fā)現(xiàn)，只要能作出對數(shù)函數(shù)的圖象，或可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)函數(shù)問題，包括與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)或值域（最值）問題，都可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法來求解.甚至，對于一些與對數(shù)有關(guān)的方程或不等式問題，也可通過轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系問題，采用數(shù)形結(jié)合法來求解.而運(yùn)用對數(shù)函數(shù)圖象解題的關(guān)鍵，在明確底數(shù)a 是否大于1，據(jù)此確定出函數(shù)圖象變化的趨勢.

二、有關(guān)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用的變式教學(xué)

對數(shù)函數(shù) y=log，x 在01時單調(diào)遞增.在引導(dǎo)學(xué)生探究對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用技巧時，教師可以開展變式教學(xué)，以某一個典型題目為例，改變題目中對數(shù)函數(shù)的真數(shù)、底數(shù)、單調(diào)區(qū)間等，使學(xué)生學(xué)會運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解題.

例2.

解：

本題側(cè)重于考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.而函數(shù) f（x）= log，lxl 的單調(diào)性與底數(shù)a 有關(guān)，所以必須先確定底數(shù)a的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性比較出三個函數(shù)值的大小.

變式1.如果f（x）=1g（x?-2ax+1+a）? 在[-o，1]上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（ ）.

A.（1，2） B.[1，2] C.（1，+?） D.[2，+a]

解：

對于本題，學(xué)生需將 f（x）看作由對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，在定義域內(nèi)討論對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)"同增異減"的原則，列出不等式.

變式2.若函數(shù) f（x）=log 。（2x-a）在 上恒為正數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是

解：

當(dāng)對數(shù)函數(shù)y=log。x 的底數(shù)未知時，需分a>1和0

可見，在運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解題時，應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：

（1）要先判斷函數(shù)的底數(shù)是a∈（0，1），還是a∈（1+w）， 若無法確定其范圍，則需對其進(jìn)行分類討論；

（2）研究函數(shù)的單調(diào)性，必須先確定函數(shù)的定義域；

（3）靈活運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對對數(shù)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，這樣便可快速判斷出函數(shù)的單調(diào)性.

在日常教學(xué)中，教師必須對典型例題進(jìn)行變式，理順各類題目之間的關(guān)系，對其進(jìn)行再加工，引導(dǎo)學(xué)生對典型例題及其變式題目進(jìn)行探究，以幫助他們跳出"題海"，掌握各類題目的通性通法，培養(yǎng)其創(chuàng)造性思維能力，提升學(xué)習(xí)的效率.

（作者單位：江蘇省南京市大廠高級中學(xué)）