“數(shù)”與“形”的融合，創(chuàng)新“一題多解”

房小記

摘 要：“一題多解”對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的養(yǎng)成有著非常重要的影響，教師應(yīng)重視將“一題多解”的意識(shí)巧妙滲透到數(shù)學(xué)課堂解題教學(xué)中去.以一道雙曲線中的離心率與方程的求解問題為例，借助解三角形思維、平面幾何思維等方面從不同視角進(jìn)行解法探究，讓學(xué)生在解題中感悟數(shù)學(xué)之美，培養(yǎng)思維的發(fā)散性，開拓視野，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：雙曲線；離心率；方程；解三角形；平面幾何

x23-y24=1.

解后反思：在第一空的基礎(chǔ)上，已知構(gòu)建參數(shù)a、b、c之間的關(guān)系，進(jìn)一步以雙曲線上的一條切線與其兩條漸近線所轉(zhuǎn)成的三角形的面積來巧妙創(chuàng)設(shè)，進(jìn)而求解雙曲線的方程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、思維與方法等方面的遞進(jìn)與提升.同時(shí)，問題的解決與應(yīng)用，也是雙曲線中的對(duì)應(yīng)性質(zhì)的歸納.

3 歸納拓展

在以上問題的解答第二空的雙曲線方程的求解時(shí)，其中解析過程中發(fā)現(xiàn)雙曲線有一個(gè)完美的性質(zhì)：

性質(zhì) 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）上的任意一條切線與其兩條漸近線所轉(zhuǎn)成的三角形的面積為定值ab.

具體的證明過程，可參照以上問題的解答第二空的過程，這里不多加以敘述.在解答以上小題時(shí)，如果掌握以上基本性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的“二級(jí)結(jié)論”，對(duì)于第二空中雙曲線方程的求解，就更加簡捷快速.

4 教學(xué)啟示

4.1 “數(shù)”與“形”的結(jié)合，代數(shù)幾何角度

在圓錐曲線的離心率及其相關(guān)問題的解決中，關(guān)鍵是抓住問題的內(nèi)涵本質(zhì)，合理構(gòu)建參數(shù)a、b、c之間的關(guān)系，經(jīng)?？梢詮膬蓚€(gè)層面來展開：（1） 代數(shù)視角，從“數(shù)”的角度切入，利用平面解析幾何中的代數(shù)元素，并結(jié)合相關(guān)的公式來構(gòu)建等量關(guān)系；（2） 幾何視角，從“形”的角度切入，利用平面幾何中的幾何元素，并結(jié)合相關(guān)的圖形特征來構(gòu)建等量關(guān)系.

經(jīng)常是同時(shí)綜合“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合，合理綜合“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系加以綜合應(yīng)用，創(chuàng)新解決.

4.2 倡導(dǎo)“一題多解”，實(shí)現(xiàn)“一題多得”

在數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究中，借助“一題多解”，可以很好地開闊學(xué)生的解題思路，發(fā)散學(xué)生的解題思維，使學(xué)生學(xué)會(huì)多層面、多角度分析和解決問題，真正達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)原理、基礎(chǔ)知識(shí)與“通性通法”的認(rèn)識(shí)，提高數(shù)學(xué)解題技巧與能力，靈活應(yīng)用，出神入化，達(dá)到“一題多得”的良好效果.