圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派

龐軍霞

摘 要：圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派創(chuàng)立于19世紀(jì)下半葉，該學(xué)派是俄羅斯在數(shù)學(xué)領(lǐng)域創(chuàng)建最早、實(shí)力最強(qiáng)、影響最大的學(xué)派，是推動(dòng)19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的一支重要生力軍，不僅在許多領(lǐng)域作出了巨大的貢獻(xiàn)，還培養(yǎng)了多位著名的數(shù)學(xué)家.通過對(duì)文獻(xiàn)的分析，本文將對(duì)圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的成因及具有代表性的歷史偉人作些梳理分析.

關(guān)鍵詞：圣彼得堡；圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派；切比雪夫

1 圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的崛起

俄羅斯跨歐亞兩個(gè)大州，其地理位置決定了科學(xué)文化，勢(shì)必將東方理性與西方想象兩個(gè)最主要的文化元素結(jié)合起來，甚至把整個(gè)地球上的人類文化融入其文明之中.［1］18世紀(jì)初，俄羅斯在科學(xué)、政治、經(jīng)濟(jì)和文化等方面的發(fā)達(dá)遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于其他西歐國家，即便是一個(gè)幅員遼闊的大國.由于東正教會(huì)對(duì)俄羅斯的巨大影響，導(dǎo)致俄羅斯在文學(xué)、數(shù)學(xué)等自然學(xué)科方面，沒有任何的進(jìn)展，甚至沒有大學(xué)，沒有初等數(shù)學(xué)教科書，直至1682年，《買賣物品的簡便計(jì)算手冊(cè)》第一部算求書才出版.1687年左右，俄羅斯科學(xué)事業(yè)幾乎一片空白，而同時(shí)代的西歐文學(xué)和科學(xué)事業(yè)卻在蓬勃發(fā)展.馬格尼茨基渴望祖國擺脫愚昧落后的狀態(tài)，在《算術(shù)》的扉頁醒目寫道：讓所有俄羅斯人都得到智慧和地位，真正屬于自己而不是外國的.［1］

1689年，彼得大帝于親政后，在諸多方面做出了改革，目的是改變俄羅斯落后的經(jīng)濟(jì)狀況.1700年，彼得大帝開始了對(duì)瑞典的21年北方戰(zhàn)爭(zhēng)，奪取了英約爾曼蘭，為俄羅斯?fàn)帄Z面向西歐的出?？?1703年，修建新城市——圣彼得堡，此城由該域第一座建筑物-扼守涅瓦河河口的圣彼得堡羅要塞命名.圣彼得堡的建造是俄羅斯融入歐洲社會(huì)的起點(diǎn)，躋身于歐洲強(qiáng)國，成為俄羅斯瞭望歐洲之窗口.由此，俄羅斯進(jìn)入繁榮時(shí)期.

1725年，圣彼得堡科學(xué)院建成，為了更好地發(fā)展基礎(chǔ)科學(xué)，彼得大帝引進(jìn)世界上許多著名的科學(xué)家來彼得堡科學(xué)院擔(dān)任職務(wù).其中有歐拉（L. Euler，1707—1783），也有德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫（C. Goldbach， 1690—1764），荷蘭數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli， 1700—1782）等等.成立之初，只設(shè)立數(shù)學(xué)、物理學(xué)和社會(huì)科學(xué)三大學(xué)科，其科學(xué)院院士大多都是外國人，尤其是德國人最多，形成了“彼得大帝的城市，德國人的科學(xué)院”之局面.［1］據(jù)記載其名稱不斷地更改，但依舊動(dòng)搖不了其地位.直到1917年，圣彼得堡科學(xué)院仍是俄羅斯的最高學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu).

建校初期，圣彼得堡大學(xué)設(shè)有3個(gè)系：哲學(xué)-法學(xué)系，歷史-語文系和物理-數(shù)學(xué)系.物理-數(shù)學(xué)系的目標(biāo)是培養(yǎng)4個(gè)專業(yè)方向的專家：數(shù)學(xué)家，計(jì)算數(shù)學(xué)家，力學(xué)家和天文學(xué)家，［2］其培養(yǎng)方式是把學(xué)生訓(xùn)練成知識(shí)淵博，專業(yè)精深的專業(yè)人才.圣彼得堡大學(xué)的建立為我們開啟了眾多數(shù)學(xué)學(xué)派，如切比雪夫創(chuàng)建的圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派.

“學(xué)派”術(shù)語源于希臘文σχολη［skhole］，其最初含義為空閑時(shí)間及其利用，主要包括學(xué)習(xí)和探索知識(shí)的各種活動(dòng).［2］因此，圍繞著同一個(gè)數(shù)學(xué)主題，數(shù)學(xué)家們運(yùn)用不同或者同一種數(shù)學(xué)思維在就近的范圍內(nèi)進(jìn)行相關(guān)的研究，彼此之間相互溝通，相互探討，慢慢地就形成了一個(gè)團(tuán)體，稱之為數(shù)學(xué)學(xué)派.

數(shù)學(xué)史家李文林先生將數(shù)學(xué)學(xué)派定義為：數(shù)學(xué)學(xué)派是指數(shù)學(xué)本質(zhì)、原理和方法有共同的群體定義的數(shù)學(xué)家集合.［1］“共同的群體定義”——這是李文林老師給出的關(guān)于學(xué)派這一概念的一個(gè)核心，即由某個(gè)共同的數(shù)學(xué)思維或思想把不同的數(shù)學(xué)家個(gè)體聯(lián)系在一起.據(jù)記載，數(shù)學(xué)學(xué)派可被分為兩類：一類是聚集在某“數(shù)學(xué)大師”周圍的研究團(tuán)體，簡稱為“M”型；另一類是因相同的數(shù)學(xué)思想而聯(lián)系在一起的數(shù)學(xué)研究團(tuán)體，簡稱為“I”型.

圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的奠基人是切比雪夫，因此有時(shí)該學(xué)派也稱“切比雪夫?qū)W派”.切比雪夫1821年生于奧卡多沃，其父親是一名退役軍官，母親出身名門，是一位不茍言笑的女人.在他十一歲那年，父母帶領(lǐng)全家遷居莫斯科.1837年，年僅十六歲的切比雪夫成為莫斯科大學(xué)哲學(xué)系-物理數(shù)學(xué)專業(yè)的一名學(xué)生；1841年畢業(yè)于莫斯科大學(xué)，開始了碩士學(xué)習(xí)生涯；1847年，切比雪夫被選為彼得堡大學(xué)副教授，直到1882年退休為止.李雅普諾夫和馬爾科夫是他最優(yōu)秀的兩名學(xué)生，他們分別于1880年和1878年畢業(yè)于圣彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系，李雅普諾夫以研究微分方程的穩(wěn)定性理論著稱于世；馬爾科夫以馬爾科夫過程理論揚(yáng)名世界.切比雪夫研究的領(lǐng)域很廣泛，如經(jīng)典分析到概率論；歐拉選集和數(shù)論；瓦特連桿和函數(shù)逼近論等.與此同時(shí)，切比雪夫也是一個(gè)杰出的教育家，他曾講授過十余門課程，分別是高等代數(shù)、數(shù)論課程、積分運(yùn)算、分析力學(xué)、傅里葉級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)、有限差分、概率論、機(jī)械工程等.他的授課模式深受學(xué)生們的歡迎，他總是能用最精辟的語言描述基本概念和有關(guān)的背景知識(shí)，學(xué)識(shí)淵博的切比雪夫具有超群的感染力，大家把他的課比作“數(shù)學(xué)思想課的實(shí)驗(yàn)室”.他的一生不僅僅重視純數(shù)學(xué)，而且非?？粗乩碚撀?lián)系實(shí)際，即非常重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用.他的學(xué)生也很好地繼承了他的優(yōu)良傳統(tǒng).

圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派涉及的研究領(lǐng)域復(fù)雜而廣泛，科學(xué)研究的學(xué)者、繼承者也大量的涌現(xiàn)出來，日復(fù)一日地科研工作并沒有使他們的研究軌道發(fā)生偏離，反而圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的所有成員都按照切比雪夫的學(xué)術(shù)風(fēng)格進(jìn)行科學(xué)研究活動(dòng).其主要的學(xué)術(shù)風(fēng)格可歸納為以下幾點(diǎn)：（1） 經(jīng)典與基礎(chǔ)相互發(fā)展；（2） 簡潔與高深相互推演；（3） 精確與近似相互轉(zhuǎn)化；（4） 理論與實(shí)踐相互轉(zhuǎn)化；（5） 科研與教學(xué)相互促進(jìn).

金無赤足，任何事物都會(huì)有不足之處.圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派也不例外，存在一些遺憾：（1） 懷疑幾何語言的科學(xué)性；（2） 排斥統(tǒng)計(jì)理論的應(yīng)用性；（3） 忽略陳述的規(guī)范性；（4） 忽視某些數(shù)學(xué)領(lǐng)域.

盡管如此，愈發(fā)凸顯出了圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的獨(dú)具一格.

圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的崛起以及整個(gè)成長過程可謂是俄羅斯數(shù)學(xué)發(fā)展的標(biāo)志，進(jìn)入鼎盛時(shí)期的圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派，人才輩出，碩果累累，成為舉世矚目的綜合數(shù)學(xué)研究中心.

2 圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的代表性人物

龐加萊曾認(rèn)為：“如果我們希望預(yù)知數(shù)學(xué)的將來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀”.徐傳勝教授曾說：“當(dāng)我們遨游在數(shù)學(xué)歷史的長河中，我們將會(huì)被深深地被艱難曲折的歷史所震撼，被一個(gè)個(gè)里程碑似的定理所振奮，被一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)大師的磨礪所感動(dòng).”［1］縱觀圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派，俄羅斯的數(shù)學(xué)發(fā)展尤為讓人振奮和震撼.十九世紀(jì)末至二十世紀(jì)初，圣彼得堡不斷涌現(xiàn)一位又一位著名數(shù)學(xué)家，為俄羅斯這座城市閃發(fā)光芒.本文將簡單概括幾位具有代表性的偉人來凸顯圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派魅力.

2.1 圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的元宿——奧斯特羅格拉茨基

1801年9月24日，奧斯特羅格拉茨基出生于帕先納亞（現(xiàn)屬于波爾塔瓦）.他兒時(shí)就刻苦好學(xué)，具有強(qiáng)烈的求知欲，僅用三年就完成了中學(xué)課程.1816年，他考入哈爾科夫大學(xué)物理數(shù)學(xué)系；于1820年以優(yōu)異的成績通過畢業(yè)考試，就在其討論學(xué)位授予問題時(shí)，由于杜特洛維奇的極力反對(duì)最終奧斯特洛夫斯基未能獲得哈爾科夫大學(xué)的畢業(yè)證書和學(xué)位.

為了繼續(xù)深造學(xué)習(xí)，于1822年奧斯特洛夫斯基奔赴巴黎，先后分別在巴黎合理工學(xué)院、巴黎索邦大學(xué)和法蘭西學(xué)院等學(xué)校學(xué)習(xí)，當(dāng)時(shí)他選修大量的數(shù)學(xué)和物理等課程.1824—1827年，他寫了關(guān)于數(shù)學(xué)物理和微積分的論文，其中一些科研成果深得柯西的認(rèn)可.

巴黎自由的學(xué)術(shù)氛圍深得奧斯特洛夫斯基的喜歡，促使他沉浸在數(shù)學(xué)物理的海洋中，但他依舊想報(bào)效自己的祖國，并于1928年春回到圣彼得堡，一到圣彼得堡就受到警方的嚴(yán)密監(jiān)視.他利用自己的研究成果使其發(fā)生了改變，1928年得到了圣彼得堡科學(xué)院的認(rèn)可，并被評(píng)選為應(yīng)用數(shù)學(xué)部助理院士.

據(jù)記載，奧斯特羅格拉茨基為俄羅斯理論力學(xué)學(xué)派開創(chuàng)了原創(chuàng)性著作，被稱為其創(chuàng)始者.他主要集中于研究概率論，但也有涉及其他領(lǐng)域，如數(shù)學(xué)物理、數(shù)論和代數(shù)學(xué)等諸多方面.可他最值得其重視的研究就是在1828年研究熱傳導(dǎo)理論的過程，并證明了關(guān)于三重積分和曲面積分之間的關(guān)系公式，即著名的奧斯特羅格拉茨基高斯公式［1］.奧斯特羅格拉茨基不僅是偉大的研究學(xué)者，同時(shí)也是位卓越的數(shù)學(xué)教育家，深刻揭示了數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性，對(duì)數(shù)學(xué)教育的研究傾注了他畢生的心血，為俄羅斯的數(shù)學(xué)教學(xué)改革作出了巨大的貢獻(xiàn).與此同時(shí)，他的教育觀點(diǎn)在許多方面也是超前的，為教育教學(xué)提供了新穎的理念，為此孕育了俄羅斯幾代教育學(xué)者，被稱為是俄羅斯數(shù)學(xué)教育界的一代宗師.

2.2 圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的宿儒——布尼亞科夫斯基

布尼亞科夫斯基于1804年12月16日出生于巴爾（現(xiàn)屬于文尼察地區(qū)）.布尼亞科夫斯基從小就勤奮好學(xué)，刻苦努力，對(duì)自然科學(xué)有著濃厚的興趣，16歲時(shí)就開始?xì)W洲留學(xué)，幸遇良師德維利.德維利很賞識(shí)布尼亞科夫斯基的能力，1828年在他的極力推薦下布尼亞科夫斯基成功當(dāng)選為圣彼得堡科學(xué)院助理院士.

1823—1825年，布尼亞科夫斯基在巴黎綜合理工學(xué)院學(xué)習(xí)，并獲得博士學(xué)位.1826年，在圣彼得堡拉開了其科學(xué)研究和教學(xué)研究的帷幕.1830年當(dāng)選為通訊院士，1841年當(dāng)選為院士，1864年至1889年任圣彼得堡科學(xué)院副院長，其研究范圍較為廣泛，主要涉及有數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、力學(xué)、流體學(xué)和概率論及其應(yīng)用等等，共發(fā)表了168篇論文.切比雪夫的成功歸功于布尼亞科夫斯基的發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)，他們一起整理了歐拉選集的編輯工作數(shù)論部分，為歐拉數(shù)學(xué)思想的傳播作了巨大貢獻(xiàn).他對(duì)疊加理論和二次互反律進(jìn)行了研究，在高斯的基礎(chǔ)上證明了二次互反律，［1］并在其1859年的論文中，給出了重要的積分不等式，那就是著名的施瓦茨不等式.

2.3 圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的中堅(jiān)——馬爾科夫

馬爾科夫于1856年6月14日出生于梁贊省.年幼時(shí)，他的腿部患上骨結(jié)核，膝蓋腫得像面包一樣，整條腿完全不能彎曲，但是倔強(qiáng)的他堅(jiān)持鍛煉，強(qiáng)忍疼痛活動(dòng)，不公平的命運(yùn)萌發(fā)了他向命運(yùn)發(fā)出的挑戰(zhàn).直到10歲時(shí)，經(jīng)過不斷地手術(shù)治療逐漸好轉(zhuǎn)，但依舊留下了后遺癥，給他的童年留下了陰影.馬爾科夫在圣彼得堡第五中學(xué)完成中學(xué)全部課程，但由于這是一所東正教習(xí)俗管理的學(xué)校，要求學(xué)生每天死記硬背，舉行各種懺悔儀式和祈禱活動(dòng)，完全限制了學(xué)生的自由，禁錮了學(xué)生的創(chuàng)新思維.馬爾科夫很是厭倦這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境，因而就流露出了許多不滿的情緒，自此導(dǎo)致老師認(rèn)為他是個(gè)壞學(xué)生.然而，馬爾科夫非常熱愛學(xué)習(xí)，自學(xué)了許多課外知識(shí)，并數(shù)學(xué)成績很好，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了一般的學(xué)生水平.

1874年，馬爾科夫以優(yōu)異的成績進(jìn)入圣彼得堡大學(xué)物理數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，開啟他的數(shù)學(xué)之旅.1878年，《以連分?jǐn)?shù)求解微分方程》這篇出自馬爾科夫的優(yōu)秀畢業(yè)論文獲得系金質(zhì)獎(jiǎng)，馬爾科夫因此留校任教.兩年后開始正式任教并完成其碩士論文《論雙正定二次型》.1883年，馬爾科夫與瓦爾瓦切葉夫婭結(jié)婚.1884年，馬爾科夫用《連分?jǐn)?shù)的若干應(yīng)用》論文，順利通過畢業(yè)，同時(shí)，獲得物理-數(shù)學(xué)博士學(xué)位.

馬爾科夫在圣彼得堡大學(xué)任教期間開設(shè)多門數(shù)學(xué)課程，為祖國培養(yǎng)出大量優(yōu)秀、出色的數(shù)學(xué)人才，其中課程設(shè)有微積分、數(shù)論、函數(shù)論、矩論、計(jì)算方法、微分方程、概率論等.1886年當(dāng)選為副教授，4年后升為副院士，1893年晉升為教授，1896年成為正院士，1905年退休并獲得“終生榮譽(yù)教授”稱號(hào).退休后的他仍在教育行業(yè)發(fā)光發(fā)熱，他以院士身份在圣彼得堡開設(shè)概率論課程，并修訂其概率論講義-《概率演算》.在馬爾科夫教學(xué)的23年中，對(duì)于學(xué)術(shù)方面的知識(shí)，他有著極其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，“忘我”可以說是對(duì)馬爾科夫最貼切的一個(gè)形容詞.對(duì)于教學(xué)，他既能做到因材施教，又能注重學(xué)生的思維培養(yǎng)，能夠有創(chuàng)新的邏輯與思維.

1917年，查拉伊斯科縣城迎來了一位特別的老人，已到花甲之年的馬爾科夫帶著14歲的兒子來此無償擔(dān)任中學(xué)課程教學(xué)任務(wù).1918年，馬爾科夫因患上眼疾離開講臺(tái)回到圣彼得堡治療，術(shù)后又在母校繼續(xù)開設(shè)概率論課程講座.1921年秋，馬爾科夫正式離開他熱衷的講臺(tái)，告別心愛的母校.1922年7月20日，馬爾科夫辭別了人世，遺體安葬在圣彼得堡的米特羅方耶夫斯基公墓.

2.4 圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的砥柱——李雅普諾夫

亞歷山大·米哈伊洛維奇·李雅普諾夫于1857年6月6日出生在俄羅斯亞羅斯拉夫爾，在諾夫哥羅德，李雅普諾夫接受了中學(xué)教育，于1876年從體育館畢業(yè)，并獲得了一枚金牌.同年，他成為圣彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系的一名學(xué)生，受到了切比雪夫教授的演講的影響.1880年，李雅普諾夫大學(xué)畢業(yè)，因一篇關(guān)于流體靜力學(xué)的論文再次獲得金牌.［3］他繼續(xù)留在大學(xué)力學(xué)系，撰寫了1884年他為之辯護(hù)的碩士論文《旋轉(zhuǎn)流體橢球平衡形式的穩(wěn)定性》.這部作品于1904年翻譯成法語，在歐洲確立了他的名字.

1885年秋天，李雅普諾夫晉升為哈爾科夫大學(xué)的講師.在哈爾科夫大學(xué)的工作中，李雅普諾夫首先不得不花費(fèi)大量時(shí)間為學(xué)生準(zhǔn)備力學(xué)講座和筆記，1888年，他陸續(xù)開始發(fā)表關(guān)于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的論文.［3］這項(xiàng)工作激發(fā)了他最大的熱情，進(jìn)而他于1892年發(fā)表了著名的博士論文，題目是《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問題》.同年，他在莫斯科大學(xué)為這篇論文辯護(hù)，茹可夫斯基（俗稱Joukowski，“俄羅斯航空之父”）是他的“對(duì)手”之一；這篇論文于1908年和1949年以法語、1935年以俄語和英語重新發(fā)表.1893年，李雅普諾夫晉升為哈爾科夫大學(xué)的教授，直到1902年才開始研究穩(wěn)定性問題.并于1899年至1902年擔(dān)任哈爾科夫大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的主席和通訊編輯.

1902年，李雅普諾夫搬回圣彼得堡，在那里，他被任命為院士，并成為1894年去世的前老師切比雪夫的繼任者，他全身心地投入研究，研究牛頓引力作用下勻速旋轉(zhuǎn)流體粒子的平衡形式問題.李雅普諾夫特別指出，梨形旋轉(zhuǎn)流體是不穩(wěn)定的.這一結(jié)果在天文學(xué)上有著重要的影響，因?yàn)樗品四壳瓣P(guān)于旋轉(zhuǎn)流體（如地月系）形成衛(wèi)星的理論.劍橋大學(xué)的H.達(dá)爾文（著名博物學(xué)家查爾斯·達(dá)爾文的兒子）當(dāng)時(shí)提出了這樣一種機(jī)制，自然要求梨形身體穩(wěn)定的.1917年，簡斯在劍橋大學(xué)的亞當(dāng)斯獎(jiǎng)?wù)撐闹写_認(rèn)了李雅普諾夫的結(jié)果是正確的，因此達(dá)爾文的理論是錯(cuò)誤的.

后來，革命的悲慘事件、伏爾加河上的家庭莊園被燒毀，包括他父親和祖父修建的一座大圖書館，以及他妻子的疾病使李雅普諾夫非常沮喪.在他妻子去世的那天，李雅普諾夫用手槍向自己胸膛開槍，于1918年11月3日，即他妻子葬禮的當(dāng)天去世.在一封自殺信中，他要求和她一起下葬.墓碑上的銘文寫道：運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論、旋轉(zhuǎn)液團(tuán)平衡形狀理論，微分方程定性理論的方法，概率論中心極限定理以及力學(xué)和數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的其他深入研究的探索者.［3］

2.5 圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的新秀——伯恩斯坦

塞爾吉·納塔諾維奇·伯恩斯坦1880年3月6日出生于敖德薩，1898年高中畢業(yè).之后，他前往巴黎，在巴黎大學(xué)和巴黎綜合工科學(xué)校學(xué)習(xí).伯恩斯坦在巴黎學(xué)習(xí)期間，即1902至1903年在哥廷根度過.伯恩斯坦提交給巴黎大學(xué)的博士論文是解決希爾伯特第十九個(gè)問題的一篇優(yōu)秀作品.這個(gè)問題是在1900年的大會(huì)上提出，是關(guān)于橢圓微分方程的解.1904年，伯恩斯坦在巴黎大學(xué)獲得博士學(xué)位，年僅24歲的伯恩斯坦在博士論文中做了出色的工作，但當(dāng)1905年回到俄羅斯時(shí)，他不得不重新開始他的博士課程，因?yàn)槎砹_斯不承認(rèn)外國大學(xué)學(xué)位的資格.他在哈爾科夫大學(xué)攻讀碩士學(xué)位，通過求解一系列非線性橢圓方程邊界條件問題的解析解，繼續(xù)研究希爾伯特問題.

1908年，伯恩斯坦被授予碩士學(xué)位；1913年，他獲得了第二個(gè)博士學(xué)位，這一次來自哈爾科夫大學(xué).從1907年開始，他在哈爾科夫大學(xué)持續(xù)了25年的教學(xué)工作.1933年起，他在列寧格勒大學(xué)（圣彼得堡大學(xué)）任教，也在工業(yè)學(xué)院授課.在此期間，他也在蘇聯(lián)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所工作.1943年，伯恩斯坦轉(zhuǎn)到莫斯科大學(xué)，在接下來的七年里，他致力于編輯切比雪夫的全集.伯恩斯坦研究函數(shù)的最佳逼近理論.他大大擴(kuò)展了切比雪夫在1854年開始的工作.1911年，他引入了稱為伯恩斯坦多項(xiàng)式的方法，對(duì)魏爾斯特拉斯定理給出了一個(gè)構(gòu)造性的證明，即在實(shí)線有限子區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以用多項(xiàng)式盡可能接近一致逼近.［1］伯恩斯坦后期也有談到這項(xiàng)工作，是于1912年劍橋舉行國際會(huì)議上.然后，他繼續(xù)發(fā)展這些思想，解決插值理論和機(jī)械積分方法中的問題，并在1914年引入了一類新的擬解析函數(shù).

伯恩斯坦最重要的工作之一就是概率論.1917年，他試圖將概率論公理化.他推廣了李雅普諾夫中心極限定理的條件，研究了大數(shù)定律的推廣、馬爾可夫過程和隨機(jī)過程.伯恩斯坦還研究了概率在遺傳學(xué)方面的應(yīng)用.

翻閱文獻(xiàn)，瀏覽圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的初建——形成——一舉成名，我們發(fā)現(xiàn)畢生投身在數(shù)學(xué)科學(xué)事業(yè)中的科學(xué)巨人擁有與常人不同的表現(xiàn)，如高瞻遠(yuǎn)矚的求真遠(yuǎn)見、堅(jiān)定不移的科學(xué)信念、勇于開拓的非凡魄力、爐火純真的研究藝術(shù).其科學(xué)思想博大精深、胸懷坦蕩，為俄羅斯甚至世界科學(xué)發(fā)展建立了不朽功勛.

曲徑通幽處，禪房花木深.筆者在有限時(shí)間內(nèi)嘗試打開圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的一層朦朧面紗.

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 蘇淳，劉純.彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的健將——念紀(jì)A. M. 李雅普諾夫誕生一百三十周年［J］.自然辯證法通訊，1987（2）：5968.

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［5］ 趙曄.莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)派的概率思想研究［D］.西北大學(xué)，2012.

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［8］ 蘇淳，劉純.彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的中堅(jiān)——紀(jì)念A(yù). A. 馬爾科夫誕生一百三十周年［J］.自然辯證法通訊，1986（4）：4658.

［9］ 李曉霞，姚遠(yuǎn).問道俄羅斯：《圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派研究》［J］.臨沂大學(xué)學(xué)報(bào)，2019（2）：141144.

［10］ 劉鈍，蘇淳.彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的奠基人——紀(jì)念П. Л. 切比雪夫逝世九十周年［J］.自然辯證法通訊，1984（6）：6274.

［11］ 李文林.數(shù)學(xué)史概論［M］.北京：高等教育出版社，2000.