初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中逆向思維的應(yīng)用研究

劉奎

摘 要：逆向思維是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備的數(shù)學(xué)思維，不僅能幫助學(xué)生提升解題效率，還能以逆向思維帶動抽象思維、聯(lián)想思維、分析思維等高階思維的提升，幫助學(xué)生提升思維品質(zhì)，從而實現(xiàn)高質(zhì)量、全方位的發(fā)展.本文以初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中逆向思維的應(yīng)用研究為研究主題，分析了逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的重要性和逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的具體應(yīng)用，探索出了激發(fā)學(xué)生利用逆向思維解題的意識、設(shè)計逆向思維解題專題課和為學(xué)生提供逆向思維解題練習(xí)的教學(xué)措施.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；逆向思維；教學(xué)措施

逆向思維就是從反方向去思考問題的思維，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的必備思維.例如，當(dāng)學(xué)生們學(xué)到互為余角的兩個角度數(shù)相加為90度時，學(xué)生們將前提條件和結(jié)論互換，得出若兩角度數(shù)相加為90度，則這兩個角互為余角的定理，這便是一種逆向思維，在初中數(shù)學(xué)解題過程中，利用逆向思維解題對提升學(xué)生的解題效率和正確率有重要的意義，所以初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該重視逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用，不斷探索培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的教學(xué)策略.

1 逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的重要性

1.1 深化數(shù)學(xué)概念

初中數(shù)學(xué)概念類、定義類題目是初中數(shù)學(xué)題目的重要類型，學(xué)生在解決這部分題目時要借助逆向思維.例如學(xué)生在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的定義時，由“形如y=kx+b（k≠0，b為任意數(shù)）”作為判斷一次函數(shù)的依據(jù)，通過觀察題目所出示等式的形式、一次項系數(shù)和常數(shù)項數(shù)值來判斷題目所給等式是否為一次函數(shù).然而在實際的解題過程中，學(xué)生會面臨例如“已知y=（m-2）x^|m|-1+m+2是y關(guān)于x的函數(shù)，求m的值”的題目，此時學(xué)生需要利用逆向思維，將“形如y=kx+b（k≠0，b為任意數(shù)）的函數(shù)為一次函數(shù)”轉(zhuǎn)化為“一次函數(shù)的自變量指數(shù)為1，系數(shù)不為0”，從而解決上述問題，在這一過程中，學(xué)生對一次函數(shù)的概念認(rèn)識得更加充分，不僅有助于學(xué)生在解決一次函數(shù)題目時靈活選擇解題方式，還有利于學(xué)生減少因為忽略k≠0而出現(xiàn)的錯誤.

1.2 提升解題效率

在初中數(shù)學(xué)題目中，有些題目利用正向思維解題，其步驟可能會比較繁瑣，利用逆向思維解題則會比較簡單，例如學(xué)生在解答“若二次函數(shù)y=mx²+x+m-3的圖象與坐標(biāo)軸最多有2個交點，求m的取值范圍”這一題目時，若利用正向思維，分別討論二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有0個交點、1個交點和2個交點的情況，則要分三種情況計算，而當(dāng)學(xué)生利用逆向思維，計算二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸恰好有3個交點的情況，然后將計算得到的m的取值做逆向處理，解題效率會有效提升.

1.3 提升創(chuàng)新能力

初中數(shù)學(xué)題目根據(jù)題目難度、開放性等不同，可將題目劃分為簡單題、中等難度題和復(fù)雜題三類，其中復(fù)雜題對學(xué)生的基礎(chǔ)知識掌握程度、思維創(chuàng)新能力等有要求，學(xué)生只有基礎(chǔ)知識掌握扎實、具備一定的創(chuàng)新解題能力，才能順利解出復(fù)雜題.逆向思維是一種比較復(fù)雜的思維，學(xué)生在利用逆向思維解題的過程中，其抽象思維、類比思維、推理思維、創(chuàng)新思維等也得到發(fā)展，學(xué)生的解題創(chuàng)新能力得到提升.

2 逆向思維的具體應(yīng)用

2.1 利用逆向思維揣摩解題思路

在實際解題教學(xué)中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維揣摩解題思路，主要可從以下三方面入手，一是利用逆向思維分析重點知識，例如在幾何章節(jié)中，等腰三角形的“三線合一”是重點知識，也是幾何題目中的“?？汀?，教師利用逆向思維將“等腰三角形底邊上的高線、中線和頂角的角平分線重合”轉(zhuǎn)化為“若三角形同一條邊上的高線和中線重合，則該三角形為等腰三角形”等結(jié)論，進(jìn)而推理出“當(dāng)題目中出現(xiàn)等腰三角形、高線、中線、角平分線四個量的其中兩個時，則應(yīng)考慮利用等腰三角形的‘三線合一結(jié)論解題”的解題策略；二是利用逆向思維解決復(fù)雜的幾何證明題，例如當(dāng)某一幾何證明題需要證明兩線段相等時，學(xué)生可以通過觀察兩線段之間的位置關(guān)系倒推證明方式，當(dāng)兩線段位于同一直線且有共同端點時，考慮通過證中點的方式證明線段相等；當(dāng)兩線段有共同端點但不在同一條直線上時，考慮通過“等角對等邊”證明線段相等；當(dāng)兩線段無共同端點時，考慮通過證全等的方式證線段相等；三是利用逆向思維解決具有多個小問的復(fù)雜類題目，例如當(dāng)某一復(fù)雜題目共3小問時，當(dāng)學(xué)生做第2小問時，應(yīng)該思考上一問得出了什么結(jié)論及衍生結(jié)論和上一問的結(jié)論與本小題題干內(nèi)容有何聯(lián)系，從而確定解題思路，同理，當(dāng)學(xué)生做第3小問時，也應(yīng)考慮第2小問的結(jié)論或解題方法是否能應(yīng)用于第3小問，從而獲得解題靈感，順利完成解題過程.

2.2 利用逆向思維簡便運算

2.3 利用逆向思維驗證題目答案

3 促進(jìn)學(xué)生利用逆向思維解題的教學(xué)措施

3.1 激發(fā)學(xué)生利用逆向思維解題的意識

初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在日常教學(xué)中激發(fā)學(xué)生利用逆向思維思考問題、解答問題的意識，從而令學(xué)生認(rèn)識到抽象思維對數(shù)學(xué)解題的重要性，從而主動自覺地參與逆向思維訓(xùn)練過程，提升個人逆向思維能力.

首先，教師可以從教材入手，利用教材內(nèi)容為學(xué)生講解逆向思維的具體內(nèi)涵和應(yīng)用意義.例如教師在講解數(shù)學(xué)定義時從正、逆兩方面幫助學(xué)生理解思考，教師在講解絕對值的概念和性質(zhì)時，除了要求學(xué)生記住“正數(shù)的絕對值是它本身，0的絕對值是0，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)”，還要向?qū)W生提供例如“已知|m|=-m，求m取值范圍”的題目，引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維解題，令學(xué)生初步理解逆向思維的內(nèi)涵并明確逆向思維的使用場景.

其次，教師在講解數(shù)學(xué)解題方法時滲透逆向思維的具體應(yīng)用，幫助學(xué)生進(jìn)一步提升對逆向思維的認(rèn)識，令學(xué)生更直觀地感受逆向思維對數(shù)學(xué)解題的促進(jìn)作用.例如教師在講解幾何證明題目時，除了幫助學(xué)生利用已知條件和幾何定理推理結(jié)論，還要指導(dǎo)學(xué)生分析待證明結(jié)論，掌握反向推理證明方法；例如教師講解“求作一個方程，使它的根為-2和3”這一數(shù)學(xué)題目時，教師引導(dǎo)學(xué)生思考哪個知識點與一元二次方程的根有關(guān)，在教師的引導(dǎo)暗示下，學(xué)生聯(lián)想到因式分解法能夠直接顯示一元二次方程的兩個根，學(xué)生便可以利用因式分解法解題，即將方程設(shè)為a（x+2）（x-3）=0，學(xué)生可以取a為除0以外的任意值，進(jìn)而得出答案.

最后，教師可以通過向?qū)W生提供已知條件和結(jié)論恰好互逆的題目，幫助學(xué)生更深刻的理解逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題過程中的妙用，例如教師為學(xué)生出示如下兩道題目：

（1） 二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象向左平移三個單位，再向上平移2個單位，得二次函數(shù)y=x²-2x+1的圖象，求b、c的值.

（2） 將拋物線y=-（x-1）²+6先向下平移1個單位，再向左平移4個單位，求平移后的拋物線解析式.

這兩道題目的題設(shè)和結(jié)論是互逆的，題目（1）除了利用正向思維解題，即直接利用“上加下減常數(shù)項，左加右減自變量”的解題知識，將y=x²+bx+c處理為y=（x+3）²+b（x+3）+c+2，然后令（x+3）²+b（x+3）+c+2=x²-2x+1，解出b、c的值.還可以利用逆向思維解題，即將二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象看做是二次函數(shù)y=x²-2x+1的圖象下移2個單位，右移三個單位得到的.題目（2）除了利用正向思維直接解題，還可以設(shè)平移后的拋物線解析式為y=-x²+bx+c，然后將拋物線y=-（x-1）²+6的圖象看做是拋物線y=-x²+bx+c的圖象上移1個單位，右移4個單位得到的.教師指導(dǎo)學(xué)生利用不同的解題方法完成解題后，要求學(xué)生仔細(xì)觀察兩個題目的解題過程，體會逆向思維的具體應(yīng)用，令學(xué)生知其然然后知其所以然.

3.2 設(shè)計逆向思維解題專題課

為了提升學(xué)生對逆向思維的重視和深化學(xué)生對逆向思維的理解，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該設(shè)計專門的逆向思維解題專題課，為學(xué)生提供提升逆向思維水平的機(jī)會.教師在設(shè)計逆向思維解題專題課時，要堅持重點突出、學(xué)生主體和有效總結(jié)的原則，提升專題課效率.

首先，教師要堅持重點突出的設(shè)計原則，即教師提前選擇適合利用逆向思維解題的題目，并通過題目對比為學(xué)生呈現(xiàn)逆向思維的使用過程.例如教師欲讓學(xué)生認(rèn)識到逆向思維對數(shù)學(xué)解題的促進(jìn)作用，則教師應(yīng)該選擇利用正向思維比較難解或無法利用正向思維解題的題目，令學(xué)生比較利用正向思維解題和利用逆向思維解題在解題過程、解題難度上的區(qū)別.

其次，教師要堅持學(xué)生主體的教學(xué)原則，因為逆向思維是策略性教學(xué)內(nèi)容，逆向思維培養(yǎng)的重點不在于教師為學(xué)生灌輸多少有關(guān)逆向思維的觀念或技巧知識，而是教師引導(dǎo)學(xué)生在實際解題過程中，自覺利用逆向思維探索解題方案，從而完成解題任務(wù).所以教師在設(shè)計逆向思維解題專題課時，應(yīng)該為學(xué)生留出足夠的思考空間和小組討論時間，令學(xué)生在實踐中真正掌握利用逆向思維解題的方法.

最后，教師要堅持有效總結(jié)的教學(xué)原則，即教師在教學(xué)過程中和教學(xué)結(jié)束之前，要利用科學(xué)有效的教學(xué)評價幫助學(xué)生深化知識和提升能力.逆向思維的培養(yǎng)效果很難通過默寫、提問等方式考核，必須通過觀察學(xué)生的實踐情況才能有效把握，所以教師要針對學(xué)生的實踐過程做出有針對性、導(dǎo)向性的評價，幫助學(xué)生認(rèn)清自身存在的問題和把握未來能力提升的方向.

3.3 為學(xué)生提供逆向思維解題練習(xí)

解題練習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的環(huán)節(jié)，教師應(yīng)該為學(xué)生提供逆向思維解題練習(xí)，幫助學(xué)生積累足夠的感性經(jīng)驗，從而方便學(xué)生在合適的時機(jī)下迸發(fā)解題靈感.一方面，教師可以利用周末作業(yè)為學(xué)生提供專題性質(zhì)的逆向思維解題練習(xí)，例如教師在完成二次函數(shù)章節(jié)的教學(xué)后，收集有關(guān)二次函數(shù)的、適合利用逆向思維解題的題目，作為學(xué)生的周末作業(yè)，要求學(xué)生認(rèn)真完成；另一方面，教師可以在周中作業(yè)中增加逆向思維解題練習(xí).需要注意，并不是所有的初中數(shù)學(xué)題目都適用于逆向思維解題，有些題目利用正向思維解題更為簡單，所以教師在講解逆向思維解題方法時，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)根據(jù)題目特點選擇解題方法，不可生搬硬套使用逆向思維解題.

4 結(jié) 語

逆向思維在數(shù)學(xué)解題中具有深化數(shù)學(xué)概念、提升解題效率和提高創(chuàng)新能力的重要意義，逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題過程中具有利用逆向思維揣摩解題思路、簡便運算和驗證題目答案的應(yīng)用，基于此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在解題教學(xué)中有意識的滲透逆向思維，培養(yǎng)學(xué)生形成逆向思維，促進(jìn)學(xué)生提升解題效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 馬子健.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用探究［J］.科學(xué)咨詢（教育科研），2022（10）：210-212.

［2］ 龔愛峰.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中逆向思維的應(yīng)用［J］.讀寫算，2021（28）：155-156.

［3］ 項赟蔣.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用分析［J］.數(shù)理化解題研究，2021（14）：4-5.

［4］ 王余太.逆向思維應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的對策探究［J］.理科愛好者（教育教學(xué)），2019（6）：123-124.

［5］ 毛曉敏.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)大世界（中旬），2019（8）：75.