類比中獲新知　應(yīng)用中顯能力

耿廣基

摘 要：類比法是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的重要數(shù)學(xué)思想方法，契合了義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，將其應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，可促使學(xué)生在類比中通過歸納、知識(shí)遷移、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、挖掘題目中隱藏的條件，最終打開解題思維，順利找到解題的“突破口”.本文結(jié)合一定的例題，針對(duì)類比思想在數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)地探究，具備一定的參考價(jià)值.

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；初中數(shù)學(xué)；類比思想；解題教學(xué)

在最新的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程提出了更高的要求：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察—實(shí)驗(yàn)—猜想—證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，逐漸形成一定的推理能力.在這一背景下，類比法作為一種全新的教學(xué)思想、解題模式應(yīng)運(yùn)而生.顧名思義，類比法就是基于兩個(gè)特征相同、相似的對(duì)象，使得學(xué)生通過推斷的方式進(jìn)行解答.鑒于數(shù)學(xué)知識(shí)的漸進(jìn)性、綜合性、邏輯性，知識(shí)結(jié)構(gòu)環(huán)環(huán)相扣，唯有融入類比思想，才能促使學(xué)生在類比的過程中，將新舊知識(shí)融為一體，逐漸建構(gòu)起系統(tǒng)化的知識(shí)體系.另外，類比思想還是一種非常重要的解題工具，基于類比思想，可促進(jìn)復(fù)雜數(shù)學(xué)問題簡單化、未知問題已知化，可促使學(xué)生快速找到解題的“突破口”，順利形成解題思路.

1 圖形性質(zhì)類比

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，圖形性質(zhì)類比往往是解題過程中的重要突破點(diǎn).在這一類比解題中，以圖形類比為主，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形之間的相同之處、相似之處進(jìn)行分析，精準(zhǔn)把握?qǐng)D形之間的內(nèi)在聯(lián)系，并據(jù)此得出具體的解題方法.

例1 如圖1所示，等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，現(xiàn)底邊BC上存在一點(diǎn)P（P不與B、C兩點(diǎn)重合），連接AP，做PM與DC相交于M點(diǎn)，使得∠APM=∠B=60°.

求：（1） 等腰梯形腰長AB的長度？（2） 在底邊BC上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使得DM∶MC=5∶3，若存在，求線段BP的長度？若不存在，請(qǐng)說明理由？

解析：這一題目以等腰梯形作為背景，第一小問相對(duì)比較簡單.在解決這一問題時(shí)，只需要將梯形的高作出來，然后運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)即可求出答案，即：從A、D兩點(diǎn)分別做梯形的高，AE、DF.則結(jié)合題目中已知條件，得出BE=CF=2cm.在Rt△ABE中，因?yàn)椤螧=60°，直接得出AB=2BE=4cm；但是在解決第二小問的時(shí)候，難度有所增加.并且學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)中，針對(duì)等腰梯形的性質(zhì)不甚了解，難以在短時(shí)間內(nèi)形成明確的解題思路.此時(shí)，

就可引導(dǎo)學(xué)生借助類比思維，從等腰三角形性質(zhì)入手，通過性質(zhì)類比進(jìn)行解答.因此，在解決這一問題時(shí)，就引導(dǎo)學(xué)生畫出等腰三角形（如圖2所示），

2 運(yùn)算原理類比

從數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)上來說，具備漸進(jìn)性、綜合性、邏輯性，知識(shí)環(huán)環(huán)相扣.在數(shù)學(xué)解題的過程中，融入類比思想，可將新舊知識(shí)結(jié)合到一起，使得學(xué)生在類比、轉(zhuǎn)化中，形成系統(tǒng)化的知識(shí)體系.同時(shí)，在這一過程中，還可幫助學(xué)生快速找到新題目的“突破口”，順利解決新問題.

例2 李銘手中一共有12張紙幣，其面值分別是1元、2元、5元.已知這些紙幣的總面額為22元，其中1元紙幣的數(shù)量為2元紙幣數(shù)量的4倍，求：建立方程并求出1元、2元、5元三種紙幣的數(shù)量各為多少？

3 問題類型類比

在初中數(shù)學(xué)解題中，有些問題常?？此撇煌?、千變?nèi)f化，但實(shí)則相同.尤其是在初中幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生只要在善于觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)可將問題中的相關(guān)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化之后，題目信息雖然稍有轉(zhuǎn)變，但并不會(huì)對(duì)題目中原有的結(jié)論產(chǎn)生影響.鑒于此，教師在引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，就可基于類比思想進(jìn)行解答.

例3 如圖3所示，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，現(xiàn)作正方形外角∠DCG的角平分線CF，CF與EF相交于點(diǎn)F，求證：AE=EF.

如圖4所示，如果將上述題目中條件進(jìn)行改變：點(diǎn)E是BC上任意一點(diǎn)，那么：AE=EF是否依然成立？

該問題證明：

在AB上取一點(diǎn)M.AM=CE①.連接ME.所以BM=BE.后同下方證明.

解析：在證明這一題目的時(shí)候，原有的條件下，可取AB的中點(diǎn)M，并將ME連接起來.則結(jié)合題目中已有條件得出：AM=EC、BM=BE；∴根據(jù)題目已知條件，得出三角形MBE為等腰直角三角形，即：∠BME=45°.又∵∠AME+∠BME=∠ECF+∠FCG=180°，且∠BME=45°∠FCG=∠BME=45°，∴∠AME=∠ECF；在Rt△ABE中，因?yàn)椤螧AE+∠BEA=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°，∴∠FEC=∠BAE，最終結(jié)合三角形全等判定定理，得出△AME≌△FCE，最終證明出：AE=EF.

第二個(gè)問題對(duì)題目中的條件稍有改變，學(xué)生在解答的時(shí)候，依然可通過類比思想，只是將M點(diǎn)作為AB上任意一點(diǎn)，使得AM=EC即可.此時(shí)雖然M點(diǎn)不再是特殊點(diǎn)，隨之特殊的線段關(guān)系也逐漸消失.在這種情況下，依然可借助類比思想，證明出△AME≌△FCE，依然可得到AE=EF.在這一過程中，就是借助類比的思想順利找到解題的“突破口”，同時(shí)也在類比的過程中，對(duì)理論知識(shí)形成了更加深刻地理解，并形成了系統(tǒng)化的知識(shí)體系.

4 數(shù)和形類比

鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本研究對(duì)象.且“數(shù)”和“形”之間相輔相成、密切相關(guān).因此，在數(shù)學(xué)解題中，常常要立足于數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系，借助類比思想，在數(shù)形之間進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，才能從中找到解題思路，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的高效解決.

解析：這是一道常見的題目，單純地依靠代數(shù)方法進(jìn)行解答，常常需要復(fù)雜的運(yùn)算，給學(xué)生的解題帶來了極大的難度.鑒于此，在優(yōu)化解題教學(xué)時(shí)，由于算式中涉及到的兩個(gè)數(shù)值均為根號(hào)，可借助線段、三角形的方法進(jìn)行表示，并將其轉(zhuǎn)化為直觀的圖形（如圖5所示）

5 性質(zhì)類比

在初中數(shù)學(xué)解題中，有些問題看似不同，但其本質(zhì)規(guī)律卻相同.教師在開展課堂教學(xué)時(shí)，常常針對(duì)同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，為學(xué)生設(shè)計(jì)多樣化的題目，旨在幫助學(xué)生理解該知識(shí)點(diǎn)在不同題目中的運(yùn)用.鑒于此，在借助類比思想進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，可由此出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生圍繞性質(zhì)進(jìn)行類比.

6 對(duì)同類題型進(jìn)行類比

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)以及專題復(fù)習(xí)時(shí)，為了幫助學(xué)生深化某一知識(shí)點(diǎn)，或者掌握某一種具體的解題方法，常常會(huì)圍繞某一知識(shí)點(diǎn)，為學(xué)生設(shè)置同一類型的題目.鑒于此，在對(duì)這一類數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答時(shí)，也可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法進(jìn)行.

例7 如圖6所示，已知A、B兩點(diǎn)位于直線l的同側(cè)，且A、B兩點(diǎn)到直線l的距離分別為1、3，現(xiàn)在直線l上尋找一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最??？

例8 如圖7所示，已知：正方形ABCD中，AB=5，E是AB的中點(diǎn)，P是線段AC上的一點(diǎn)，求△PBE周長的最小值？

解析：只要對(duì)這兩道題目稍加分析即可得出：兩道題目考察的知識(shí)點(diǎn)相同，都是最短距離的問題.在例7解答中，就可通過直線l作A、B兩點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，分別為A′、B′，之后連接AB′或BA′，進(jìn)而得出P點(diǎn)的位置，最終得出PA+PB的最小值；在例8題目解答中，由于該題目與上一題目相同，就可借助類比思想，結(jié)合正方形的性質(zhì)，以AC為對(duì)稱軸，在AD邊上作出E點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)E′，進(jìn)而確定出P點(diǎn)的位置，最終得出△PBE周長的最小值.由此可見，在本題目解答中，就是借助了類比思想，在同類問題的類比中進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到問題的解決方法^［4］.

7 初中數(shù)學(xué)類比法注意事項(xiàng)分析

類比屬于一種平行思維，主要是在同一思維下，對(duì)事物進(jìn)行相同、相似地對(duì)比.在具體的數(shù)學(xué)解題中，通過類比解題法的應(yīng)用，徹底打開了學(xué)生的解題思維，使得學(xué)生在類比中對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)形成深刻地認(rèn)知，真正提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率.另外，鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)類比解題的過程中，也逐漸形成了系統(tǒng)化的知識(shí)體系，進(jìn)一步提升了初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果.鑒于此，初中數(shù)學(xué)教師在開展解題教學(xué)時(shí)，不僅要注重類比解題教學(xué)，還應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：

第一、積極開展新舊知識(shí)類比，使得學(xué)生在所學(xué)知識(shí)題目中，通過新舊知識(shí)類比，逐漸發(fā)掘新問題的解題規(guī)律，并在解題中促進(jìn)新舊知識(shí)聯(lián)系，逐漸形成系統(tǒng)化的知識(shí)體系.

第二、對(duì)類比解題結(jié)果進(jìn)行辯證處理.因?yàn)轭惐染邆洹盎蛉恍浴保浔举|(zhì)屬于一種合情推理.因此，在推理的過程中，可能是正確，也可能是不正確的，甚至是不完全正確的.因此，在開展類比解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)明確告知學(xué)生類比解解題具備失敗的可能性.

第三、還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)方面進(jìn)行類比.鑒于類比思想的內(nèi)涵，在實(shí)施類比教學(xué)時(shí)不能局限于幾種固定的形式.因此，初中數(shù)學(xué)教師在開展類比解題教學(xué)時(shí)，可借助多種類比、多方位類比、多角度類比等，旨在幫助學(xué)生在多方面類比中，順利找到解題的“突破口”，完成題目的高效解答.

第四、引導(dǎo)學(xué)生積極開展類比歸納.在初中數(shù)學(xué)類比解題教學(xué)中，為了幫助學(xué)生深化這一解題技巧，教師在引導(dǎo)學(xué)生通過類比解題之后，還應(yīng)對(duì)其進(jìn)行歸納和總結(jié).長此以往，學(xué)生在類比解題、綜合和歸納的過程中，逐漸完成這一解題模式的內(nèi)化，熟練掌握了這一解題方法^［5］.

8 結(jié)束語

綜上所述，類比解題法契合了新課程改革的要求，不僅有助于打開學(xué)生的解題思路，提升學(xué)生的解題效率，還可促使學(xué)生在類比的過程中，完成知識(shí)的遷移、內(nèi)化，逐漸形成了系統(tǒng)化的知識(shí)體系.鑒于此，作為一名優(yōu)秀的初中數(shù)學(xué)教師，唯有重視類比解題教學(xué)內(nèi)涵，并將其科學(xué)、合理地融入到日常解題教學(xué)中，不斷提升初中生的數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 鄭天順.類比法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（18）：21-23.

［2］ 高鈺良.淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比法對(duì)解題思維的促進(jìn)作用［J］.讀寫算，2021（3）：57-58.

［3］ 陳兆緒.類比中獲新知 應(yīng)用中顯能力——從初中數(shù)學(xué)類比法解題談起［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（8）：68-70.

［4］ 查書平.類比法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用——一道中考試題引發(fā)的探究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（8）：79-80.

［5］ 張玉良.初中數(shù)學(xué)中類比法對(duì)解題思維的促進(jìn)作用［J］.知識(shí)窗（教師版），2019（10）：90.