運(yùn)用坐標(biāo)法解答平面向量問題的幾個(gè)步驟

殷麗娟

坐標(biāo)法是解答向量問題的重要方法，常用于求向量的模、向量夾角的大小、向量的數(shù)量積及其最值等.當(dāng)遇到一些與規(guī)則幾何圖形有關(guān)的平面向量問題時(shí)，可靈活運(yùn)用坐標(biāo)法求解.其步驟為：

第一步，結(jié)合題意和幾何圖形的特征建立平面直角坐標(biāo)系.一般可以以矩形、直角梯形、直角三角形的某個(gè)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以等邊三角形、等腰三角形的中線和底邊為坐標(biāo)軸，以幾個(gè)向量的交點(diǎn)為原點(diǎn)，等等，來建立平面直角坐標(biāo)系；

第二步，給各個(gè)點(diǎn)賦予坐標(biāo)、各個(gè)向量賦予方向，并求出題目中相關(guān)向量的坐標(biāo)；

第三步，靈活運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，如向量坐標(biāo)的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，向量的模以及數(shù)量積公式來進(jìn)行運(yùn)算，求得問題的答案.

下面舉例加以說明.

例1.

解：

根據(jù)正方形的特點(diǎn)：相鄰的兩條邊互相垂直，以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，便可通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得問題的答案.建立平面直角坐標(biāo)系后，建立關(guān)系式，即可將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)解題，這樣可以起到事半功倍的效果.

例2

解：

運(yùn)用坐標(biāo)法解題，可將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來求解，但需先根據(jù)題設(shè)條件建立平面直角坐標(biāo)系.這就要求我們抓住幾何圖形的特征，根據(jù)角之間的關(guān)系，構(gòu)造垂直關(guān)系，并據(jù)此構(gòu)建坐標(biāo)軸和坐標(biāo)系.

例3

解：

我們根據(jù)梯形的特征，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB 為 x 軸、垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.當(dāng)問題中涉及矩形、直角梯形、直角三角形、等邊三角形、等腰三角形等規(guī)則幾何圖形時(shí)，可選擇相互垂直的邊，或作出垂線，并將其視為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，這樣可以使更多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，便于快速求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)

例4

解：

建立平面直角坐標(biāo)系后，標(biāo)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，便可根據(jù)平面向量的數(shù)乘法則和數(shù)量積公式進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可使問題迎刃而解.

例5

解：

我們根據(jù)正六邊形的特征建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可利用平面向量的數(shù)量積公式得出AP·AB 的表達(dá)式，再根據(jù)P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍求得問題的答案.

例6

解：

由于P點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，所以我們無法確定P點(diǎn)的位置. 本題若用基底法求解，其過程較為復(fù)雜，于是利用坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，將其視為定點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算，即可減少計(jì)算量，輕松得出答案.

例7

解：

本題中的已知條件較少，為了便于解題，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得 |c - a - b| 的表達(dá)式.再通過三角換元，利用三角函數(shù)的有界性求得 |c| 的取值范圍.

當(dāng)題目中給出的條件較少，或涉及規(guī)則幾何圖形時(shí)，就要采用坐標(biāo)法，通過建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何條件、幾何關(guān)系用坐標(biāo)、方向向量表示出來，將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用函數(shù)、方程、不等式等的性質(zhì)來解答問題，這樣能避開復(fù)雜的邏輯推理，降低解題的難度，提高解題的速度和準(zhǔn)確率.