例析軌跡方程的幾種求法

常建偉　常海波

動點的軌跡問題常與直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等知識相結(jié)合，具有較強(qiáng)的綜合性.這類問題的命題形式多變，解題時的計算量大，很容易出現(xiàn)半途而廢的情況.對此，同學(xué)們在日常學(xué)習(xí)中，要熟悉并掌握一些常規(guī)題型的通性通法，以便在考試時能輕松應(yīng)對此類問題.本文主要介紹軌跡方程的幾種求法：直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法等.

一、直接法

直接法是根據(jù)動點滿足的幾何條件直接列出等量關(guān)系式的方法.常涉及的幾何條件有向量關(guān)系、線段之間的比例關(guān)系、角之間的數(shù)量關(guān)系、點之間的位置關(guān)系.運用直接法求動點的軌跡方程，需根據(jù)動點所滿足的幾何關(guān)系，靈活運用點到直線的距離公式、直線的斜率公式、夾角公式等建立關(guān)于動點的方程或關(guān)系式.

例1.已知點 P（-3， 0），點 A 在 y 軸上，點Q 在 x 軸跡 C 的方程.

解：

二、定義法

若動點的軌跡與直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線相吻合，則可采用定義法，根據(jù)直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義建立關(guān)系式，從而求得動點的軌跡方程.

例2.如圖2，已知兩個定圓 O1：（x+2）2+y2=1和 O2：（x-2）2+y2=4的半徑分別是1和2，動圓 M 與圓 O1內(nèi)切，與圓 O2外切，求動圓圓心M 的軌跡方程.

解：

解答本題的關(guān)鍵是明確三個圓的位置關(guān)系：動圓M 與圓 O1內(nèi)切，與圓 O2外切，據(jù)此建立三個圓半徑之間的關(guān)系：MO2-MO1=3.然后將 O1、O2視為定點， M 視為動點，根據(jù)雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線，將 M 的軌跡視為雙曲線的左支，進(jìn)而求得 M 的軌跡方程.

三、參數(shù)法

如果動點所滿足的條件中涉及了參數(shù)，或者在運動的過程中受到某個變量的制約，那么就可以運用參數(shù)法，以此變量為參數(shù)，建立關(guān)于該參數(shù)的方程，再設(shè)法消去參數(shù)，即可得到動點的軌跡方程.在選參數(shù)時，要考慮到制約變量的條件對動點坐標(biāo)的范圍的影響.另外，選取的參數(shù)不同，解題中的運算量也會不同，需選取合適的參數(shù)，以減少運算量.

例3.已知點 A，B 分別是射線 l1：y = xx≥0， l2：y =-xx≥0上的動點，O 為坐標(biāo)原點，且ΔOAB 的面積為2，求線段 AB 中點 M 的軌跡方程.

解：

因為 M 為 AB的中點，隨著 A、B 兩動點的運動而運動，因此要求 M 的軌跡方程，需采用參數(shù)法，設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)，根據(jù) AB 滿足的幾何條件，建立關(guān)系式，間接求出M 的軌跡方程.

四、相關(guān)點法

若動點隨著另一個或多個相關(guān)點的運動而運動，且已知相關(guān)點的運動軌跡，此時很難直接根據(jù)動點所滿足的條件列出關(guān)系式，需采用相關(guān)點法，建立動點與相關(guān)點的坐標(biāo)的關(guān)系式，通過代換求得動點的軌跡方程.

運用相關(guān)點法解題的步驟為：

1.設(shè)出動點的坐標(biāo)以及相關(guān)點的坐標(biāo)；

2.建立動點與相關(guān)點的坐標(biāo)之間關(guān)系，并用動點的坐標(biāo)表示相關(guān)點的坐標(biāo)；

3.把相關(guān)點的坐標(biāo)代入所滿足的條件或方程；

3.消去相關(guān)點的坐標(biāo)，即可得到動點的方程.

例4.

解：

仔細(xì)分析題目，不難發(fā)現(xiàn)點 C、D、P 與 M 為相關(guān)點，而點C、D為拋物線的切點，既滿足切線的方程，又滿足拋物線的方程，點P在圓上，據(jù)此可建立方程，這為運用相關(guān)點法解題創(chuàng)造了條件.于是分別設(shè)出幾個點的坐標(biāo)，再根據(jù)方程消去C、D、P三點的坐標(biāo)，即可得出點M的軌跡方程.另外，在求動點的軌跡方程后要注意對所求的結(jié)果進(jìn)行檢驗.

總而言之，求動點的軌跡方程，實質(zhì)上是將“形” 轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過研究等量關(guān)系式、方程來明確動點的軌跡和曲線之間的位置關(guān)系.同學(xué)們在求動點的軌跡方程時，要注意靈活運用數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想來輔助解題.