求解三角形最值問題的兩種路徑

張恒

三角形最值問題主要有：（1）求三角形面積的最值；（2）求三角形周長的最值；（3）求三角形某個角的最值；（4）求三角形某條邊長的最值.這類問題具有較強的綜合性，通常要靈活運用勾股定理、正余弦定理、三角形的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象等來解題.下面主要談一談求解三角形最值問題的兩種路徑.

一、利用三角函數(shù)的性質(zhì)

在求解三角形最值問題時，我們可以根據(jù)勾股定理、正余弦定理，將三角形的邊、角、周長、面積用三角函數(shù)表示出來，這樣就可以將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性、周期性快速求得最值.

例1.已知ΔABC 的內(nèi)角 A，B， C 所對的邊分別為 a， b， c ，若 c=1，cosB sin C +a - sin BcosA + B=0．

（1）求角 C 的大小；（2）求ΔABC 面積的最大值．

解：（1） C = ；（過程略）

（2）由（1）可知 c =1， C = ，

∴2R = = = = ，得 sin C = ，∴ S ΔABC = ab sin C = ab

=?2R sin A?2R sinB = sin A sinB

=? sin A sinπ+ A=1 sin A cos A +1 sin2 A

= sin 2A - cos 2A + = sinè（?）2A - ?（?）+ ，∵ C = ，∴ A + B = ，∴0< A <，∴- <2A - <，

由正弦函數(shù)的單調(diào)性和圖象可知- < sinè（?）2A - ?（?）≤1，

∴0

∴ΔABC 面積的最大值為+ ．

我們先根據(jù)正弦定理求得sinC的值，即可根據(jù)三角形的面積公式求得ΔABC 面積的表達式；然后通過三角恒等變換將目標(biāo)式變形為只含有一個角 A 和正弦函數(shù)的式子，即可根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性、圖象，以及角A 的取值范圍求得三角形面積的最值.在求得目標(biāo)式后，往往要利用三角函數(shù)的基本公式對目標(biāo)式進行三角恒等變換，使其化為最簡形式：只含有一個角和一種三角函數(shù)名稱的式子，這樣便于直接運用三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象求最值.

例2.已知ΔABC 的內(nèi)角 A，B， C 的對邊分別為a， b， c ，且 a sin = b sin A ．

（1）求 B ；（2）若△ABC 為銳角三角形，c =1，求△ABC 面積的取值范圍．

我們運用正弦定理和三角形的面積公式，就可以快速求得ΔABC 面積的表達式.該式中含有，需根據(jù)正切函數(shù)的有界性和單調(diào)性，以及角 C 的取值范圍求得最值.這就要求我們熟記正弦、余弦、正切函數(shù)的單調(diào)性，以及一些特殊角的三角函數(shù)值.

例3.已知在△ABC 中，sin2 A - sin2 B - sin2 C = sin B sin C.

在利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得目標(biāo)式的最值時，往往要仔細研究目標(biāo)式中角的取值范圍.可根據(jù)已知條件、隱含條件，以及有關(guān)三角形的定理，如三角形內(nèi)角和為 180o ，盡可能地縮小角的范圍，這樣才能得到正確的答案.

二、利用基本不等式

若 a、b > 0 ，則 a + b ≥ 2 ab ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時等號成立，該式稱為基本不等式.基本不等式是解答最值問題的重要工具.在解答三角形最值問題時，往往可以將目標(biāo)式進行適當(dāng)?shù)淖冃危沟迷撌綖閮墒降暮突蚍e，并使其中之一為定值，便可運用基本不等式求得目標(biāo)式的最大值或最小值.

我們根據(jù)余弦定理可得 1 = a2 + b 2 - 2 ab ，該式中含有兩式的和 a2 + b 2 與兩式的積 ab ，根據(jù)基本不等式的變形式 a2 + b 2 ≥ 2ab ，即可求得 ab 以及 ΔABC 面積的最值.

在運用基本不等式求最值時，要仔細觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，尤其要關(guān)注兩式的和、積，對其進行合理的拆分、變形，可通過添項、湊分子、湊系數(shù)、常數(shù)代換等方式，配湊出兩式的和或積.

先根據(jù)余弦定理將已知的邊角關(guān)系化為邊的關(guān)系，求得三角形的周長的表達式；然后根據(jù)關(guān)系式 9 = b 2 + c 2 + bc的特征，運用基本不等式求得 b + c 的取值范圍，進而求得三角形周長的最值.

總之，解答三角形最值問題，既可以從角的關(guān)系入手，靈活運用三角函數(shù)的基本公式、定義、性質(zhì)、圖象求解；也可以從邊的關(guān)系入手，根據(jù)代數(shù)式的特征，配湊出兩式的和或積，運用基本不等式求得最值. 相比較而言，運用基本不等式求三角形最值問題較為便捷.