小學數(shù)學教學中數(shù)學思想方法滲透思考

鄭文強

摘 要：本文將以人教版小學數(shù)學教材作為研究對象，闡述小學數(shù)學蘊含的數(shù)學思想方法，提出數(shù)學思想方法在小學數(shù)學教學過程中的滲透路徑，以此促進學生發(fā)散思維，養(yǎng)成良好的學習習慣，掌握邏輯推理與應(yīng)用數(shù)學知識的能力，使學生可以形成完整的知識認知結(jié)構(gòu)，能夠主動利用數(shù)學知識解決生活中的問題，提高其數(shù)學素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學素養(yǎng)；知識載體；數(shù)學模型；數(shù)學思想方法

【中圖分類號】G623.5 ? ? ? ? ?【文獻標識碼】A ? ? ? ? ? ? 【文章編號】2097-2539（2023）11-0192-04

數(shù)學思想方法是數(shù)學思想與數(shù)學方法的統(tǒng)稱，其中數(shù)學方法可以理解為用于解決數(shù)學問題的程序，而數(shù)學思想則是對數(shù)學知識本質(zhì)與規(guī)律的理性認知。將二者運用在小學數(shù)學教育過程中，可以幫助學生準確理解復(fù)雜、抽象的數(shù)學知識，有助于學生感受數(shù)學精髓，形成良好的數(shù)學素養(yǎng)。故研究此項課題，具有十分重要的意義。

1.小學數(shù)學蘊含的數(shù)學思想方法

小學數(shù)學教學中，通常將數(shù)學思想方法分為以下幾個層次：一是解決問題，需要掌握消元法、配方法等思想方法；二是邏輯層面的思想方法，如演繹法、類比法；三是普通數(shù)學思想方法，如模型思想方法等。雖然數(shù)學思想方法的內(nèi)容繁多，但就小學數(shù)學來說，教學中數(shù)學思想方法的應(yīng)用重點應(yīng)放在與數(shù)學知識緊密相連的，能夠?qū)W生提出問題和解決問題以及日后學習產(chǎn)生積極影響的部分，使學生能夠快速把握適合的思考途徑，感悟數(shù)學知識，深刻把握數(shù)學知識點，獲得良好教學效果。具體內(nèi)容包括：分類，是指概念延伸的邏輯方法，需要依照事物間的性質(zhì)與特點，進行對象類別的劃分，從而根據(jù)不同分類制定針對性的處理方法；歸納，是指將具體事實概況為普通原理的過程；演繹，是從普遍性結(jié)論出發(fā)，推導出特殊結(jié)論的過程；抽象，是指對客觀事物的屬性進行分析、比較，之后舍棄非本質(zhì)屬性，抽取本質(zhì)屬性的過程；數(shù)形結(jié)合，可以理解為將順序量的刻畫與空間形式的形象進行統(tǒng)一，從而解決問題的思想方法；轉(zhuǎn)化，是指對關(guān)系的轉(zhuǎn)換處理，將有待解決的問題歸結(jié)為容易解決的問題；模型，是針對某種事物特征進行分析、簡化，提煉本質(zhì)的數(shù)學結(jié)構(gòu)。

2.小學數(shù)學教學中數(shù)學思想方法滲透路徑分析

（1）分類思想

第一，要實現(xiàn)分類思想的“顯化”處理。即要求將數(shù)學知識作為載體，實現(xiàn)數(shù)學概念的構(gòu)建、規(guī)律的總結(jié)以及問題的分析。以人教版小學數(shù)學二年級上冊第三單元“分類與整理”為例，該章節(jié)內(nèi)容本身具備一定的分類思想，教材中的例題也是以學生日常生活中常見的貨架為主，用于幫助學生認識到同一類的物品應(yīng)當放在一起。比如，汽車模型、手工擺件等玩具類物品放在一起，自然科學、童話故事等書籍放在一起，這便是分類思想中依照事物性質(zhì)的差異性進行分類處理的表現(xiàn)。教師在教學中可以利用集合圈的形式將分類后的物品展現(xiàn)在學生眼前，使學生認識到若缺少事情處理得統(tǒng)一標準，可預(yù)先進行事情分類，以此簡化處理難度。

第二，分類思想融入數(shù)學概念的構(gòu)建環(huán)節(jié)。小學數(shù)學的概念知識較多，教材對概念的解釋往往不夠詳細，為此，教師可適當滲透數(shù)學思想方法，幫助學生理解數(shù)學概念。以人教版小學數(shù)學二年級下冊第三單元“圖形的運動”為例，教師可利用長方形事物完成平移、旋轉(zhuǎn)的運動演示，之后總結(jié)平移與旋轉(zhuǎn)的運動規(guī)律，利用實物展示的方式解釋圖形運動的基本概念。最后，可以要求學生闡述生活中看到的圖形運動現(xiàn)象，并讓學生進行分類歸納，以此加深知識記憶。

第三，注重分類思想的階段性滲透。數(shù)學知識的形成與理解屬于一個循序漸進的過程，同理，數(shù)學思想方法的運用也并非一蹴而就，需要結(jié)合小學生的認知水平、思維抽象能力，將數(shù)學思想方法的滲透劃分為由模糊至清晰、由抽象至具體的過程。因此，在教學時，教師要保證數(shù)學思想方法在不同階段與內(nèi)容中以多種形式交替和階段性滲透的方式出現(xiàn)。同樣，以人教版小學數(shù)學一年級下冊第三單元“分類與整理”為例，教師可預(yù)先向?qū)W生提出問題：假如有9片葉子，依照顏色與形狀都可均勻分為三類，此時若加入一片紫色的葉子，同學們知道如何分配嗎？經(jīng)分析探究后發(fā)現(xiàn)，若依照顏色劃分則可分為四類，若依照形狀劃分則仍可保持三類。之后教師要引導學生分析分類過程中元素增多的情況，這種適時進行問題要求變化的方式，可以更好地提高學生對分類思想方法的感悟水平。最后，教師可進行問題的延伸，比如，班級中有20名學生，依照怎樣的分類標準能夠?qū)崿F(xiàn)均勻分配？這樣學生便可學習到不同的分類標準，進而更好地理解分類與整理相關(guān)知識。

（2）數(shù)形結(jié)合思想

在滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法時，需要充分突出數(shù)與形兩個基本研究對象，其中數(shù)主要用于組成抽象化符號，而形則用于組成直觀化圖形，兩者各具優(yōu)勢，在結(jié)合之后可以達到以形助教、以數(shù)解形的目的，實現(xiàn)數(shù)量刻畫與空間形象的完美融合，確保問題得到有效解決。將數(shù)形結(jié)合運用在小學數(shù)學教學中，需要充分結(jié)合幾何背景，使抽象內(nèi)容更加直觀，并從量的角度進行論證，利用數(shù)量關(guān)系與圖形關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)換，簡化復(fù)雜知識點。以人教版小學數(shù)學四年級下冊第四單元“小數(shù)的意義與性質(zhì)”教學為例，教師可設(shè)計一把無刻度的米尺，并告知學生在測量時不可用整數(shù)表示，只可用小數(shù)表示，以此明確學生的學習要求。之后，教師可將米尺進行等分處理，建構(gòu)0.1～0.9米的刻度線。由學生觀察，使學生認識到小數(shù)對應(yīng)的分數(shù)分母均為10，同時發(fā)現(xiàn)，米尺上的小數(shù)均在0～1之間，若測量距離不足，可再添加一把米尺，而新加的米尺小數(shù)則從0～1轉(zhuǎn)變?yōu)?～2。此時，教師要進一步引導學生理清整數(shù)部分是什么，小數(shù)在整數(shù)部分的具體所在區(qū)域，以此為后續(xù)的數(shù)軸教學打下基礎(chǔ)。比如，教師要將純小數(shù)與帶小數(shù)劃分為兩部分完成教學，利用轉(zhuǎn)化為整數(shù)部分為0的小數(shù)與轉(zhuǎn)化為整數(shù)部分并非0的小數(shù)對比，借助數(shù)軸實現(xiàn)知識的貫穿，這樣不僅可以將抽象的小數(shù)知識進行直觀化轉(zhuǎn)變，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的目的，也能幫助學生認清小數(shù)數(shù)值的大小劃分。即便在上述教學中，并非直接教學數(shù)軸，也可利用兩個米尺幫助學生感悟數(shù)軸的概念。

（3）抽象思想

數(shù)學本質(zhì)上是對模式化的個體抽象過程進行研究，通常來說，數(shù)學抽象知識單純保留了數(shù)量關(guān)系與空間形式，人們能夠從現(xiàn)實生活中抽象新的概念與運算法則，也能借助邏輯推理得到新的數(shù)學。不僅數(shù)學本身具有抽象性的特點，研究方法、語言的形式化同樣是抽象的，若想保證該思想能夠充分滲透在小學數(shù)學教學中，便需要將抽象進一步還原成直觀觀點，具體方法為以下兩方面。

第一，充分結(jié)合現(xiàn)實情境。數(shù)學的方程、不等式都是以現(xiàn)實世界的變化規(guī)律為基礎(chǔ)，因此模型的構(gòu)建需要以現(xiàn)實情境為依托，指引學生經(jīng)歷數(shù)學模型的抽象過程，以此感悟抽象思想。以人教版小學數(shù)學二年級下冊第七單元“萬以內(nèi)數(shù)的認識”為例，教材內(nèi)共闡述3種數(shù)的模型，即直觀型、半直觀型、抽象型。教師在教學過程中，需要充分利用、計數(shù)器、數(shù)軸以及幾何方塊等模型完成課堂教學設(shè)計，幫助學生積累活動經(jīng)驗，使學生形成抽象思維。在此過程中，要注意教育過程的深入淺出，并要貼合學生實際生活，使學生能夠掌握抽象的數(shù)與生活中數(shù)量間的關(guān)系，更好地理解十進制關(guān)系等數(shù)之間的進率。

第二，要注意抽象滲透的階段性。由于小學生思維更多地表現(xiàn)為形象直觀，因此若單純依靠抽象化定義，往往難以想象數(shù)學知識的初始狀態(tài)，為此教師需要加深學生的體悟，使其在腦海中形成定性的模型。以人教版小學數(shù)學二年級上冊第三單元“角的初步認識”為例，學生對角的概念理解相對困難，此時教師可引導學生認識生活中常見的角，如桌角、衣角等，使學生感受到角的特點是直的、尖的，再引導學生制作角，如用硬紙與鉚釘制作活動角，這樣學生可以通過觸摸更好地感受什么是角，以此達到抽象概念具象化的目的。

（4）模型思想

數(shù)學模型是指利用內(nèi)在規(guī)律進行簡化假設(shè)，結(jié)合數(shù)學工具將其轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學結(jié)構(gòu)，進而用于解決現(xiàn)實問題，通過數(shù)學語言講述現(xiàn)實事件。而數(shù)學模型思想則是用于使學生能夠理解數(shù)學與外界聯(lián)系的重要途徑，將其滲透在小學數(shù)學的教學過程中，可以使學生在建模的過程中自主完成知識吸收，了解公式、法則的原理，進而使學生養(yǎng)成良好的數(shù)學素養(yǎng)。在實際應(yīng)用時，要充分遵從情境設(shè)立、模型創(chuàng)建以及模型解釋的數(shù)學建模模式，具體內(nèi)容為以下幾方面。

第一，精選問題。教師要將問題作為載體，幫助學生在建模時接觸多層次的現(xiàn)實問題，其中，要保證選擇的問題能夠充分調(diào)動學生建模的積極性。比如，在開展四則運算的教學時，為了更好地凸顯運算順序的重要性，為后續(xù)的分數(shù)混合運算打下基礎(chǔ)，教師可結(jié)合實際生活情境，引導學生充分利用已經(jīng)掌握的兩步運算知識，將問題設(shè)計成：一盒羽毛球13元，一副軍旗15元，那么購買一盒羽毛球、四副軍旗需要多少元？

第二，模型創(chuàng)建。教師要組織學生感知材料，豐富數(shù)學活動經(jīng)驗，利用觀察、比對，找尋不同問題的共性，進而從表象中抽象出本質(zhì)特征，構(gòu)建數(shù)學模型。同樣以四則運算為例，可以將問題設(shè)計為：一盒羽毛球13元，一副軍旗15元，則購買4盒羽毛球與5副軍旗需要多少錢。將解題步驟列為13×4+15×5，利用情境進行公式解釋，即：羽毛球總價+軍旗總價=支付費用。之后抽象不涵蓋括號的算式，依照先乘法、后加法的計算原則，完成計算。但這樣還無法解釋乘法可在兩側(cè)同時計算的原因，因此還要進行進一步說明，即前后兩次的乘法算式屬于同一級運算，因此可以實現(xiàn)同時計算。這樣學生便可在學習過程中更好地完成四則運算本質(zhì)的抽離。

第三，建模的延展。在完成模型建立后，學生還要充分運用材料，在問題情境中實現(xiàn)數(shù)學模型的抽象。比如，教師可設(shè)置問題情境，使學生能夠更好地將數(shù)學模型運用在實際生活中，以此豐富模型內(nèi)涵，實現(xiàn)模型的外延。同樣以上述提出的小學數(shù)學四則運算教學案例為例，教師可根據(jù)加號兩邊乘法同時運算的原則，進一步進行公式的調(diào)整，如80/2+30/3，并將其與實際生活情境相連，向?qū)W生拋出疑問80/2、30/3在什么情況下才能實現(xiàn)同時計算。這樣的設(shè)計方法有助于學生理解四則運算的先后順序。

綜上所述，模型思想方法的教學滲透并非單純地完成知識點的灌溉，而是要特定設(shè)立專門內(nèi)容完成教學，使學生經(jīng)歷建模過程，以此完成問題情境的體驗、抽象模型的建立以及抽象模型的運用，這樣可以使學生以循序漸進的方式掌握模型思想方法，并將其運用在實際生活中，更好地解決實際問題。

（5）推理思想

數(shù)學推理可進一步劃分為：歸納推理，指從既定事實出發(fā)，根據(jù)實際經(jīng)驗，利用觀察、比較等方法推斷事物結(jié)果；演繹推理，指從已確定的事實出發(fā)，結(jié)合邏輯推理，對既定事實進行證明。兩者雖相互依存，但在推理基礎(chǔ)以及目標上存在一定的差異性，前者是以事實為基礎(chǔ)，而后者則是以理念為基礎(chǔ)。并且兩這種方法的功能也存在一定不同，既可以單獨使用，也可以相互結(jié)合。其中，歸納推理更多地用于規(guī)律的探索以及結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，演繹推理則是依照既定事實完成相應(yīng)證明。在實際應(yīng)用過程中，需要教師充分結(jié)合學生的思維特點以及教學內(nèi)容進行合理設(shè)置。

歸納推理本質(zhì)上屬于一種從特殊至一般的推理，包括歸納法、類比法等，人們可借助該方法從經(jīng)驗過的東西推斷未曾經(jīng)驗過的東西，因此歸納推理也被人們當作數(shù)學探索與發(fā)現(xiàn)的重要方法。將歸納推理用在小學數(shù)學教學中，可以更好地激發(fā)學生的發(fā)現(xiàn)能力，促使學生樹立良好的創(chuàng)新意識。比如，在進行計算教學時，需要依次完成整數(shù)加減法以及分數(shù)乘除法的教學，由教師舉出一系列具體算例，進行計算方法的歸納，幫助學生掌握相關(guān)知識點。此時，教師要鼓勵學生提出問題，要求學生主動進行猜想與驗證，將學生確立為教學主體。

演繹推理本質(zhì)上屬于一種由一般到特殊的推理方式，與歸納推理不同，小學數(shù)學中基本不會涉及數(shù)學證明，但在加減法運算、平面圖形面積公式等方向，也蘊含一定的演繹推理。比如，在計算12-3等于幾時，教師會預(yù)先讓學生采用適合自己的求解方法，之后完成公式推算。例如，由于3+9=12，因此12-3=9，或是12-3=10-3+2=9。上述方法都蘊含一定的演繹推理思想，由此可見學生對演繹思想的感受不僅有助于建立對數(shù)學結(jié)論確定的信念，也能更好地養(yǎng)成邏輯表達能力，有助于學生深化對數(shù)學知識的理解。

至于推理思想的滲透策略，則分為以下幾點。

第一，教師要為學生提供大量的素材，為學生提供推理空間，讓學生真正地領(lǐng)悟相應(yīng)知識點與數(shù)學規(guī)律，使學生親身經(jīng)歷相關(guān)過程，引導學生在實踐活動中完成知識內(nèi)容的證明。以人教版小學數(shù)學六年級下冊數(shù)與代數(shù)為例，教師可設(shè)計以下問題：28人到博物館進行參觀，每張票價在9元左右，帶280元是否能夠買到28張門片。該題屬于估算策略，主要解題方法為推理，比如，將28當作30計算，則總價為270元，不超過280元，因此28×9必定同低于280元，證明280元能夠購買30張門票。

第二，將推理思想滲透至學生日常生活情境中，需要保證推理思想具有一定的層次性。比如，教師可設(shè)計邏輯推理游戲，以此調(diào)動學生參與活動的積極性與熱情，使學生在游戲過程中潛移默化地養(yǎng)成推理、思考的學習習慣。在此過程中，教師要充分結(jié)合小學生的年齡特點以及個性化成長需求，根據(jù)學生掌握的知識架構(gòu)完成教學設(shè)計，進行教學方案的合理調(diào)整。

第三，要組織好教學活動，為學生提供探索空間。教師要為學生提供更多的自由交流時間，激發(fā)學生的主觀能動性，更多讓學生完成數(shù)學實踐，而不是讓學生簡單聆聽數(shù)學理論知識。使學生獲得更多的理性經(jīng)驗，有助于學生的思維過渡。比如，在進行加法交換律的教學過程中，教師可設(shè)計以下試題，即7+4=11，4+7=11，因此7+4=4+7。此時可引導學生舉出相應(yīng)的案例，這樣不僅可以進一步過渡到△+□=□+△，X+Y=Y+X，還有助于學生進一步歸納：交換兩個加數(shù)的位置，和不變的知識概念。

第四，要充分結(jié)合教學內(nèi)容，實現(xiàn)推理思想的滲透，一方面教師要強調(diào)思維的嚴密性，重視思維的直覺探索性，另一方面要注重結(jié)果的正確性以及思維的發(fā)散性，尊重學生的獨特思想，鼓勵其勇于表達自我所想，使學生可以更好地培養(yǎng)推理能力，引導學生自主解決問題。比如，在進行20以內(nèi)的進位加法教學時，教師可帶領(lǐng)學生探索9+4的計算結(jié)果，并提出是否因為10+4=14，因此10-1+4=13，這便是最基本的推理教學，之后可以利用類比的方式將圖形與幾何的內(nèi)容進行重新編排，通過創(chuàng)設(shè)類比情境，使學生充分運用已有知識完成計算結(jié)果的推理。

（6）符號化思想

符號化思想可以使人們有意識地運用符號完成數(shù)學研究與表述，通過符號更為準確地反映數(shù)學本質(zhì)，深入理解數(shù)量關(guān)系，完成相關(guān)運算的推理，保證結(jié)論具有一般性，可以幫助人們更充分地進行數(shù)學表達與思考。符號語言的特點在于簡潔、通用性，將其運用在小學數(shù)學中時，需要采用以下幾種策略。

第一，要注重符號化思想滲透在各教學階段。比如，在第一階段，要使學生形成邊緣思想，能夠利用□、（ ?）替代X，之后再填寫適當?shù)臄?shù)，這樣可以充分發(fā)揮□、（ ?）的位置占用作用，引發(fā)學生思考，發(fā)散學生思維。而在第二階段，則要利用字母完成數(shù)的表示，進行數(shù)的抽象化處理，使學生可以更好地揭示規(guī)律，比如，圓的面積計算公式為πr2，可以用字母代替未知數(shù)與已知數(shù)，使學生可以更好地了解各個符號所具備的真正意義，從而更加規(guī)范地完成符號書寫。

第二，要將符號化思想運用在具體情境中，使學生明確符合的意義，能夠利用其解決實際問題，并鼓勵學生采用特殊方式表達情境中的數(shù)量關(guān)系。比如，在進行分數(shù)認識的教學過程中，為了更好地幫助學生確定確立1/2的概念，教師可以打造分蛋糕的生活情境，引導學生說出一半之后，將其過渡至1/2的概念，再用符號進行表示。同時教師要使學生體會到更多生活中運用的符號，如車牌號等，這些符號在學生認知中印象深刻，可喚醒學生的表象符號記憶，使學生形成良好的符號化思想，并將其運用在實際問題的解決過程中。

3.結(jié)語

綜上所述，本文通過對小學數(shù)學蘊含的數(shù)學思想方法特征、教育價值開展分析討論，闡述分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、抽象思想、模型思想、推理思想、符號化思想等數(shù)學思想方法在小學數(shù)學教學中的滲透路徑，旨在培養(yǎng)學生自主解決問題的能力，使學生能夠?qū)⒗碚撝R運用到實際生活中，更好地完成知識架構(gòu)的梳理，切實提升學習效率。

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