小學數(shù)學概念教學：價值、問題與策略?

劉正松

摘 ?要：數(shù)學概念是數(shù)學知識體系的基石，在學生核心素養(yǎng)形成和發(fā)展的過程中起著不可或缺的作用。部分教師在概念教學時存在表述不準、階段不清、核心不對、過程不實等問題，為彰顯數(shù)學概念的育人價值，教學時應厘清概念內涵，精致概念建構，激活概念應用。

關鍵詞：小學數(shù)學；概念教學；核心素養(yǎng)；教學策略

隨著《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的頒布，數(shù)學課程改革又一次站在新的起點。“單元整體教學設計”“跨學科主題學習”等成為新的研究熱點，不過，在眾多熱點問題的背后，“概念教學”一直是教學研究的核心。

一、概念教學的價值審視

概念是小學數(shù)學教材的主要組成部分，雖然關于概念教學的研究已十分深入，但在核心素養(yǎng)導向的課程目標指引下，概念教學有著更為深遠的意義。

（一）數(shù)學眼光在概念建構中練就

數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關系、圖形和圖形關系的抽象，建構一個個數(shù)學概念，從而得到數(shù)學的研究對象及其關系?？梢姡瑪?shù)學學習和研究的對象并非現(xiàn)實世界中真實的存在，而是基于對現(xiàn)實世界的觀察，從中抽取與數(shù)量關系和空間形式有關的要素，并在大腦中展開思維活動，數(shù)學眼光自然就在這樣的思維活動中逐步練就。

（二）數(shù)學思維在概念應用中磨礪

概念是判斷和推理的基礎，判斷和推理是概念應用的基本形式。其中，判斷是較低層次的概念應用，表現(xiàn)為能將特例納入概念外延；推理是較高層次的概念應用，表現(xiàn)為能用概念解決真實問題。無論是哪個層次的應用，都離不開數(shù)學思維，從某種程度上說，概念應用的過程就是學生用數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界的過程。

（三）數(shù)學語言在概念描述中精準

數(shù)學概念是現(xiàn)實世界中有關數(shù)量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反映?！?】這種反映是通過簡約、精確的數(shù)學語言進行描述的。可以說，沒有數(shù)學語言就無法形成數(shù)學概念，也就無法揭示數(shù)學的本質，更談不上用數(shù)學的知識和方法去分析問題、解決問題了。因此，概念描述的過程就是運用數(shù)學語言溝通現(xiàn)實世界和數(shù)學世界的過程。

不難看出，數(shù)學概念作為落實學生核心素養(yǎng)的重要載體，在學生數(shù)學眼光、數(shù)學思維和數(shù)學語言的形成和發(fā)展過程中起著不可或缺的作用。以“百分數(shù)”這一概念為例，它是對現(xiàn)實世界中兩個數(shù)量倍數(shù)關系作出的數(shù)學表達，表達這種關系要對現(xiàn)實世界中確定數(shù)據(jù)和隨機數(shù)據(jù)進行深入觀察，自然需要數(shù)學眼光，最終通過文字、圖像、符號等數(shù)學語言表征出來。此外，要厘清“百分數(shù)”與“分數(shù)”“比”等概念之間的聯(lián)系和區(qū)別時，又離不開數(shù)學思維。所以，學生學習“百分數(shù)”這一概念的過程就是一個培育“三會”的過程。

二、概念教學的問題剖析

回顧當下的概念教學，教學中一些司空見慣的現(xiàn)象值得我們倍加關注。

（一）表述不準——教錯了

課堂再現(xiàn)：《認識面積》

教師結合教室里的實物，按照“物體都有面——每個面都有大小——面的大小就是它的面積”這一線索引導學生認識面積，隨后通過平面圖形面積的大小比較，完善對面積含義的認識。為了區(qū)分“周長”和“面積”這兩個概念，教師經常會設計這樣一道問題：指出下面圖形的面積，并描出它的周長。

問題分析：

在學生認識“面積”時，適時與已認識的“周長”這一概念進行對比，其出發(fā)點毋庸置疑。但我們知道：封閉圖形一周的長度是它的周長；封閉圖形的大小是它的面積。因此，“周長”和“面積”都是從不同維度度量圖形的結果，圖形的“面”可以指，圖形的“周”可以描，但在圖形上指“面積”、描“周長”卻說不通?？梢姡行┙處熎綍r不夠嚴謹，對概念的表述不準，在不經意間就教錯了，而這樣的錯誤表述自然會影響學生對概念的理解和表達。

（二）階段不清——教早了

課堂再現(xiàn)：《角的初步認識》

教師引導學生觀察身邊熟悉的物品，找出這些物品面上的角，在此基礎上抽象出大小不同的角，初步感知角的特征，認識角的各部分名稱。接著組織學生用兩根硬紙條做一個活動角，并通過操作，形成大小不同的角，進而感悟角的大小跟它兩條邊叉開的大小有關，跟邊的長短無關。

問題分析：

上述“角的初步認識”的教學流程相信大家都非常熟悉，在這樣的課堂中，我們總會發(fā)現(xiàn)學生對“角的大小跟邊的長短無關”無法理解，也曾看到不少教師為突破這一“難點”而費盡周折，但效果不容樂觀。問題就在于教師沒有理清概念教學的不同階段，教早了。學生初步認識角時，他們還沒有認識射線，對于角的兩條邊可以無限延長這一點沒有任何感知，自然無法理解角的大小跟邊的長短無關，等學生認識射線后，再次深入認識角時感受這一點時機才成熟。

（三）核心不對——教偏了

課堂再現(xiàn)：《倍的認識》

教師創(chuàng)設情境，從花壇中數(shù)出藍花2朵，黃花6朵，紅花8朵，引導學生比較三種花的朵數(shù)，學生基于已有經驗，從“相差多少”的角度對三種花進行比較。隨后，教師將2朵藍花圈在一起，再把黃花也2朵2朵地圈在一起，同時揭示“藍花有2朵，黃花有3個2朵，黃花的朵數(shù)是藍花的3倍。”

問題分析：

學習這節(jié)課時，我們會發(fā)現(xiàn)學生在交流時并不能如老師所期盼的那樣“完整”地說理。究其原因，是老師沒有把準“倍”這一概念的核心——兩個量之間“份數(shù)”的關系，而糾結于“藍花有2朵，黃花有3個2朵”這樣繞口令式的說法，給學生的學習憑添了幾分障礙。其實，圈完后，結合圖示簡潔明了地揭示“藍花朵數(shù)是1份，黃花朵數(shù)是3份，黃花是藍花的3倍”，這樣會更便于學生交流和表達，而關注“藍花有2朵，黃花有3個2朵”顯然教偏了。

（四）過程不實——教虛了

課堂再現(xiàn)：《正比例的意義》

教師以表格的形式呈現(xiàn)一輛汽車行駛的時間和路程的幾組對應數(shù)據(jù)，引導學生觀察，發(fā)現(xiàn)汽車行駛的路程和時間的比的比值都是不變的，也就是汽車的速度不變。在此基礎上，抽象出數(shù)量關系式： ＝速度（一定），并結合寫出的關系式，揭示正比例的概念。

問題分析：

這樣教學，學生看似經歷了“正比例”概念的形成過程，但在學生的作業(yè)中，我們發(fā)現(xiàn)他們運用所學進行判斷時，往往只關注兩種量的商是否一定，若商一定，則判斷成正比例，否則便不成正比例。于是當學生遇到“圓的直徑一定，圓的周長和圓周率成正比例嗎？”這一問題時，絕大部分學生都根據(jù)“＝直徑（一定）”判斷成正比例，這就充分暴露了教學的不到位——教虛了，沒有突出判斷兩種量是否成正比例的一個更為重要的前提，那就是兩種量必須是兩種相關聯(lián)的變量。

三、概念教學的策略探尋

為充分彰顯數(shù)學概念的育人價值，教學時要強化對數(shù)學本質的理解，關注數(shù)學概念的現(xiàn)實背景，引導學生從數(shù)學概念之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結構。

（一）厘清概念內涵

小學數(shù)學涉及的基礎概念很多，這些概念是數(shù)學知識體系的基石，唯有教師厘清每個概念的內涵，才能促進學生在活動中深刻理解概念。

1.把握本質

高度抽象性是數(shù)學學科的特征之一，教師在進行概念教學前把握其本質，可以避免以訛傳訛，給學生數(shù)學學習掃清障礙。

例如，蘇教版五年級下冊教材“整理與復習”中有這樣一道題目：

不少教師認為，學生學習了折線統(tǒng)計圖，類似的問題就應該迎刃而解。但實際情況并非如此，這里的圖像本質上是函數(shù)圖像，與折線統(tǒng)計圖只是形似，圖像中每個點的實際意義不同，所屬知識領域也不同。弄清這一本質，我們就不會奢求學生學完折線統(tǒng)計圖后，能順暢地解決上述問題。

2.嚴謹邏輯

數(shù)學是一門具有嚴密邏輯性的學科，這也是其獨特的育人價值所在。日常概念教學中，我們需要站位更高，理清概念之間的邏輯關系，進而幫助學生積累豐富的思維經驗。

以“3的倍數(shù)的特征”學習為例。師生通過探究得到“3的倍數(shù)，各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)?！辈贿^，我們去判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)時，其實是基于“各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)是3的倍數(shù)”進行判斷的。如果把我們探究得到的結論看作原命題，那么我們判斷時用的就是其逆命題，而常識告訴我們，原命題為真命題，逆命題不一定為真命題。因此，蘇教版教材在探究出3的倍數(shù)的特征后，提了這么一個問題：如果一個數(shù)不是3的倍數(shù)，這個數(shù)各位上數(shù)的和會是3的倍數(shù)嗎？但有些教師對這一問題視而不見，甚或根本不引領學生進行相應的討論交流。須知，“如果一個數(shù)不是3的倍數(shù)，各位上數(shù)的和也不是3的倍數(shù)”恰是原命題的否命題，而否命題和逆命題同為真命題或同為假命題。這樣一來，我們用合情推理的方式驗證了原命題的否命題為真命題，自然就可以用原命題的逆命題進行判斷了。雖然暫時學生并不能感受到這些復雜的邏輯關系，但作為教師在進行概念教學時理應嚴謹邏輯，讓學生在潛移默化中去體驗和感悟其中的道理。

（二）精致概念建構

概念建構是學生對概念建立心理表征的過程，即學生基于已有認知，通過思維加工學習素材，從而形成新的概念。這一過程是概念教學的核心，直接影響著學生對概念的理解與應用。

1.豐富實例

由于教材受版面、篇幅等條件的限制，一般都是一、兩個例子教學一個概念。但就小學生而言，僅憑一、兩個例子就希望他們精準建構某一數(shù)學概念顯然較為牽強。為此，教師在設計教學時應根據(jù)學情，適時增加一些例子，以拓寬學生的視野，豐富學生的體驗。

以“比的意義”教學為例。蘇教版教材編排了“同類量的比”和“不同類量的比”兩道例題，倘若在兩個例題的基礎上就嘗試歸納概括比的意義，看似也合情合理，但學生沒有太多的感受。因此，教學時在兩個例題后增加了一些例子：在同類量的比中增加班級男、女生人數(shù)比以及圖形的面積比；在不同類量的比中增加用“總價÷數(shù)量=單價”和“長方形的面積÷長=寬”這兩個數(shù)量關系解決的問題，讓學生在不同的情境中進一步感受比。此時，比的意義在學生的腦海中已呼之欲出，后續(xù)的歸納概括自然水到渠成。

2.多元表征

多元表征理論強調指出數(shù)學概念的心理表征往往包含多個不同的方面或成分，這些成分對于概念的正確理解都具有重要的作用。

以“面積單位”學習為例。這節(jié)課的學習難點在于建立較為準確的面積單位的表象。于是，教學中，我們引導學生在豐富的“做數(shù)學”活動中主動建構面積單位。認識1平方厘米時，教師出示1平方厘米的正方形，讓學生猜想其邊長，并展開測量驗證，明確定義。隨后，組織學生在摸一摸、想一想、找一找、比一比等活動中全方位感知1平方厘米的大小。認識1平方分米和1平方米時，基于學生認識1平方厘米的經驗，教師提供多元的素材，讓學生自主展開做1平方分米和1平方米的活動，并在全班交流分享。至此，面積單位不再是一段抽象的文字，而是集文字、圖形、實物、符號等多種表征為一體的直觀的形象。如此建構起的面積單位自然更為具體、深刻。

3.廣泛聯(lián)結

數(shù)學概念之間存在著廣泛的聯(lián)系。教學中，要借助概念符號表征的相似性、邏輯形式的關聯(lián)性、思想方法的一致性，打通不同領域、序列、主題單元知識之間的聯(lián)系，為后續(xù)教學埋下伏筆，預留接口。

以“分數(shù)單位”的教學為例?，F(xiàn)行不同版本教材編排“分數(shù)單位”這一概念時，通常是在概括出分數(shù)的意義的基礎上揭示概念，隨后編排幾道說分數(shù)單位及其個數(shù)的練習。教學中，老師們都著力于分數(shù)意義的抽象概括，對分數(shù)單位只是一帶而過，未能體現(xiàn)分數(shù)單位的價值。為此，我們通過微視頻圖文并茂地介紹分數(shù)發(fā)展史，引出“埃及分數(shù)”，隨后出示一幅長方形圖，平均分成10份，通過課件逐步涂色表示 、 、 、……、 ，并追問：“在這些分數(shù)中，哪個分數(shù)最重要？為什么？”在此基礎上，進一步將長方形壓扁成數(shù)線，并在平分點處對著每個分數(shù)出示相應的小數(shù)。這一教學片斷充分挖掘與“分數(shù)單位”關聯(lián)的素材：分數(shù)發(fā)展史與“埃及分數(shù)”的介紹為“分數(shù)單位”的揭示找到一個最佳契合點，激發(fā)學生學習的興趣；長方形圖與系列分數(shù)的逐一出示引領學生感悟分數(shù)單位的不斷累加便能形成不同的分數(shù)，為學生后續(xù)認識真分數(shù)與假分數(shù)奠定堅實的基礎；數(shù)線和小數(shù)的呈現(xiàn)又將分數(shù)的計數(shù)方法和小數(shù)進行聯(lián)通，體現(xiàn)計數(shù)方法的一致性。如此教學，準確把握分數(shù)意義的“生長點”和“延伸點”，引領學生感受數(shù)的認識的整體性。

（三）激活概念應用

概念應用有不同的層次，為激活學生能對概念進行思維水平上的應用，教師除了深化對概念內涵與外延的理解，還應設置真實的問題情境，引導學生綜合運用所學知識與各種策略，不斷地進行數(shù)學抽象、推理或建模，繼而實現(xiàn)問題的解決?！?】

1.對接生活原型

在進行概念教學時，關照概念的背景、形成過程以及應用，便能有效對接學生的生活現(xiàn)實，從而使得概念建構更為自然。

以“圓柱的高”教學為例。“圓柱的高”是純數(shù)學的抽象，在實際生活中，它的表現(xiàn)形態(tài)各異。因此，在學生初步認識這一概念后，我們逐一提出三個問題：日光燈管可以看作一個近似的圓柱，它的“高”我們通常怎么表述？一元硬幣也可看作一個近似的圓柱，那它的“高”我們一般怎么說呢？有些同學家里挖的水井同樣可以看作一個近似的圓柱，人們又怎樣說它的“高”呢？學生興致高漲，紛紛齊聲用“長”“厚”“深”來作答。這看似隨機的三問三答使學生腦海中圓柱的表象更為豐富，同時溝通數(shù)學概念與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，讓學生感受到數(shù)學就在自己的身邊，也為學生日后解決相關實際問題埋下了伏筆。

2.創(chuàng)設應用場景

數(shù)學源于生活，又服務于生活。但當下學生很難將所學知識遷移至現(xiàn)實世界解決問題，其中很大的原因在于課堂中解決的常常是單一、靜態(tài)的良構問題，而現(xiàn)實世界中遇到的往往是多元、動態(tài)的劣構問題。無疑，創(chuàng)設真實的應用場景，促進學生獨立思考解決問題的方法、路徑是概念教學應有的視角。

以“平均數(shù)“學習為例。蘇教版教材中有這樣一道習題：

倘若直接把這題原原本本地呈現(xiàn)在學生面前，相信所有學生都會迅速求出問題的答案，但這顯然未能達成預設的“初步了解抽樣估計的方法，經歷用平均數(shù)解決簡單實際問題的過程，進一步感受平均數(shù)的意義和特點；提高解決問題的能力，積累分析和處理數(shù)據(jù)的方法，發(fā)展數(shù)據(jù)意識”等教學目標。為此，我們基于這一問題展開如下設計：課件出示一筐50個橘子，提問：這筐橘子大約重多少千克？當有學生提出用秤稱一稱的時候，繼續(xù)指出沒有能稱一筐橘子的大秤，只有一個小臺秤，進一步引發(fā)學生的思維，于是學生在討論中出現(xiàn)兩種思路：一是幾個幾個稱，最后再相加；另一種是隨意拿出幾個稱一稱，求出平均數(shù)，再乘50。當不同的方案出現(xiàn)時，引導學生比較，學生大多認同第二種思路，在此基礎上收集數(shù)據(jù)解決問題。如此教學，我們將冰冷的“習題”改造為火熱的“問題”，在這樣一個真實的問題面前，學生的主體地位真正凸顯，他們主動分析問題、解決問題，完整經歷概念的應用過程。

數(shù)學家、中國科學院院士李邦河先生曾在一場報告中指出：數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧?！?】這句話一針見血地表達了概念之于數(shù)學學習和研究的重要性。在基礎教育課程改革再出發(fā)之際，關于課堂教學的各種熱點問題紛繁復雜，作為一名教師，我們應睜開慧眼，專注教育教學中的關鍵問題，在實踐中找尋概念教學的最佳路徑，彰顯數(shù)學概念的育人價值。

參考文獻：

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【3】李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展[J].數(shù)學通報，2009，48（08）：1-3+9.