對(duì)象與工具：數(shù)線的多維分類(lèi)及其教學(xué)價(jià)值

汪楊 陸世奇 徐文彬

【摘? ?要】數(shù)線即表征數(shù)的意義、性質(zhì)和運(yùn)算的線。數(shù)線是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的一種教學(xué)輔助手段。從多維視角對(duì)數(shù)線進(jìn)行分類(lèi)并分析其教學(xué)價(jià)值，可以為這種教學(xué)輔助手段的使用提供啟示：物理數(shù)線和心理數(shù)線之間存在外顯性和內(nèi)隱性的差異；有界數(shù)線具有有限性，無(wú)界數(shù)線具有開(kāi)放性和延伸性；結(jié)構(gòu)化數(shù)線、半結(jié)構(gòu)化數(shù)線和空數(shù)線賦予使用者不同程度的表征和記錄自由；單數(shù)線只對(duì)應(yīng)一種數(shù)量，雙數(shù)線則體現(xiàn)出兩種數(shù)量的聯(lián)結(jié)和變化。無(wú)論是何種分類(lèi)，數(shù)線都發(fā)揮著作為研究對(duì)象和作為教學(xué)工具的雙重價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】數(shù)線；多維分類(lèi)；教學(xué)價(jià)值；研究對(duì)象；教學(xué)輔助工具

從廣義上來(lái)說(shuō)，數(shù)線即表征數(shù)的意義、性質(zhì)和運(yùn)算的線。它作為數(shù)形結(jié)合的典型工具，能生動(dòng)、形象、直觀地反映數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的輔助手段。和數(shù)線相比，數(shù)軸在教學(xué)中具有更高的關(guān)注度。數(shù)軸包含于數(shù)線，是一條規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線。與這樣具有嚴(yán)格性和限制性的數(shù)軸相比，數(shù)線使用范圍更廣，具有靈活性、開(kāi)放性和包容性等特點(diǎn)，能為教學(xué)提供更多的可能性。因此，厘清數(shù)線各種分類(lèi)的內(nèi)涵，并分析其所具有的教學(xué)價(jià)值，是十分有必要的。

一、物理數(shù)線和心理數(shù)線及其教學(xué)價(jià)值

從存在形式的角度看，數(shù)線可分為物理數(shù)線和心理數(shù)線。物理數(shù)線具有外顯性，而心理數(shù)線具有內(nèi)隱性。物理數(shù)線是在客觀世界中真實(shí)存在的具象實(shí)體，能夠被直接呈現(xiàn)，具有直觀可視的特點(diǎn)，具體包括溫度計(jì)、時(shí)間尺、直尺、自制實(shí)體數(shù)線等。心理數(shù)線存在于人的大腦中，具有抽象性。如數(shù)字在大腦中的表達(dá)像一條從左至右依次遞增的數(shù)線，小數(shù)表征在左邊，大數(shù)表征在右邊［1］。

物理數(shù)線常作為數(shù)學(xué)課堂上的教學(xué)工具呈現(xiàn)，能展示出學(xué)生的思維過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。其教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)在三個(gè)方面。第一，承載具體數(shù)值，使常見(jiàn)的量直觀化。如：人教版教材二年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)度單位”單元中，直尺可用于度量紙條的長(zhǎng)度（如圖1）；人教版教材二年級(jí)下冊(cè)“克和千克”單元中，秤上的非水平物理數(shù)線能測(cè)量事物的具體重量（如圖2）；另外，還有溫度計(jì)能準(zhǔn)確地測(cè)量具體溫度；時(shí)間尺是一種表示時(shí)間的工具，能直觀地展現(xiàn)出普通計(jì)時(shí)法和24時(shí)計(jì)時(shí)法中時(shí)刻的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化關(guān)系；等等。受這些生活中的物理數(shù)線的啟發(fā)，學(xué)生會(huì)逐步完成從實(shí)物到抽象數(shù)線表征的過(guò)渡，發(fā)展抽象思維。第二，清晰地展現(xiàn)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)和數(shù)的關(guān)系，使數(shù)的認(rèn)識(shí)系統(tǒng)化?？蓪?shù)線上的標(biāo)記刻度視為參考點(diǎn)，歸類(lèi)出正數(shù)和負(fù)數(shù)、真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)等，建立整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等不同數(shù)系之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)系間的跨越。物理數(shù)線作為學(xué)習(xí)數(shù)的稠密性、連續(xù)性和離散性的幾何模型，可加深學(xué)生對(duì)數(shù)概念的理解和感悟。第三，呈現(xiàn)運(yùn)算過(guò)程，使數(shù)的運(yùn)算形象化。物理數(shù)線的形象化能幫助學(xué)生理解運(yùn)算原理，促進(jìn)學(xué)生對(duì)四則運(yùn)算的深入理解，擴(kuò)展其解決運(yùn)算問(wèn)題的思路和途徑，體驗(yàn)計(jì)算方法的多樣性。

心理數(shù)線作為個(gè)人心理想象空間中的一種抽象空間情境，虛擬且不可視。心理數(shù)線的教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)在三個(gè)方面。第一，心理數(shù)線的表征具有豐富性、差異性。因?qū)W生對(duì)數(shù)線的認(rèn)識(shí)和理解的角度、程度不同，他們抽象的心理數(shù)線也會(huì)各不相同。在教學(xué)中，教師可抓住這種差異性，打破學(xué)生常規(guī)的心理定式，讓學(xué)生自主創(chuàng)作數(shù)線，如數(shù)的大小序列［2］數(shù)線。第二，心理數(shù)線與數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力具有相關(guān)性［3］。整數(shù)知識(shí)是圍繞著心理數(shù)線組織起來(lái)的，如人教版教材一年級(jí)上冊(cè)“11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元例3中做一做的第3題（如圖3），題中11～19和20～12的整數(shù)數(shù)序認(rèn)知便得益于相應(yīng)心理數(shù)線的建立。另外，心理數(shù)線的發(fā)展與數(shù)學(xué)能力的發(fā)展也存在一定關(guān)聯(lián)，有研究表明，心理數(shù)線的發(fā)展和測(cè)量、分類(lèi)等數(shù)學(xué)能力的發(fā)展似乎是齊頭并進(jìn)的。第三，心理數(shù)線體現(xiàn)具身認(rèn)知理論的適用性。心理數(shù)線具有響應(yīng)碼（SNARC）的空間—數(shù)值關(guān)聯(lián)效應(yīng)（右手對(duì)大數(shù)、左手對(duì)小數(shù)會(huì)作出更快的反應(yīng)），這表明心理數(shù)線與多感官互相影響。因此，教師在教學(xué)中可調(diào)動(dòng)學(xué)生的多感官來(lái)感知、理解數(shù)線，通過(guò)與數(shù)線相關(guān)的活動(dòng)來(lái)擴(kuò)展和完善學(xué)生的心理數(shù)線。

二、有界數(shù)線和無(wú)界數(shù)線及其教學(xué)價(jià)值

從有限和無(wú)限的角度看，數(shù)線可分為有界數(shù)線和無(wú)界數(shù)線。這兩種數(shù)線能夠體現(xiàn)不同情境下數(shù)線的工具性本質(zhì)。有界數(shù)線完整地標(biāo)記出數(shù)線的端點(diǎn)，固定的起點(diǎn)和終點(diǎn)使得該數(shù)線的長(zhǎng)度有限（如圖4）。無(wú)界數(shù)線的端點(diǎn)標(biāo)記不完整，通常沒(méi)有端點(diǎn)或者只有一個(gè)端點(diǎn)，所以數(shù)線的長(zhǎng)度可無(wú)限延伸（如圖5）。有些無(wú)界數(shù)線上的基本單位長(zhǎng)度選擇用數(shù)來(lái)標(biāo)記［4］。

有界數(shù)線的教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)在三個(gè)方面。第一，有界數(shù)線是數(shù)形結(jié)合的典型載體。有界數(shù)線的長(zhǎng)度是確定的，可對(duì)應(yīng)表示數(shù)量的大小和多少。因此，可借助有界數(shù)線直觀的長(zhǎng)短關(guān)系來(lái)表示其所代表的實(shí)際數(shù)量的大小關(guān)系，以形示數(shù)。如人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“簡(jiǎn)易方程”單元“實(shí)際問(wèn)題與方程”中的例10（如圖6），教材借用有界數(shù)線來(lái)分析其隱含的數(shù)量關(guān)系，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，這是典型的數(shù)形結(jié)合思想。第二，有界數(shù)線是比例推理的有力手段。數(shù)量間的大小關(guān)系和對(duì)應(yīng)的有界數(shù)線的長(zhǎng)度關(guān)系應(yīng)成比例，這要求學(xué)生把握數(shù)量間的大小關(guān)系，并反映在有界數(shù)線的長(zhǎng)短關(guān)系上，以此促進(jìn)比例推理的發(fā)展。第三，有界數(shù)線是數(shù)線估計(jì)的主要工具。如北師大版教材二年級(jí)下冊(cè)“生活中的大數(shù)”單元練習(xí)二中的第8題（如圖7），有界數(shù)線上的兩個(gè)端點(diǎn)2000和3000給定區(qū)間長(zhǎng)度范圍，讓學(xué)生通過(guò)判斷2691與兩端點(diǎn)數(shù)的相對(duì)關(guān)系，估計(jì)2691的具體位置，完成標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)線估計(jì)任務(wù)。數(shù)所代表的實(shí)際數(shù)值和目標(biāo)數(shù)值之間的差異體現(xiàn)出學(xué)生對(duì)數(shù)值大小的理解。有研究發(fā)現(xiàn)，估計(jì)的精度會(huì)隨著年齡的增長(zhǎng)而增加，且估計(jì)的熟練度與數(shù)學(xué)能力呈顯著正相關(guān)［5］。因此，教師應(yīng)常利用有界數(shù)線設(shè)計(jì)數(shù)線估計(jì)任務(wù)，并隨學(xué)生年齡的增長(zhǎng)逐步提高對(duì)估計(jì)精度的要求，以此來(lái)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

無(wú)界數(shù)線與有界數(shù)線在策略使用和感知覺(jué)上存在差異。無(wú)界數(shù)線的教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)在兩個(gè)方面。第一，無(wú)界數(shù)線上用數(shù)值標(biāo)記的基本單位是使用計(jì)數(shù)策略的基礎(chǔ)，所以無(wú)界數(shù)線常用于計(jì)數(shù)。第二，無(wú)界數(shù)線的長(zhǎng)度沒(méi)有端點(diǎn)的限制，具有開(kāi)放性和延伸性。如人教版教材二年級(jí)下冊(cè)“萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元中的例10（如圖8），學(xué)生在此無(wú)界數(shù)線的使用中可體會(huì)到兩端無(wú)限擴(kuò)張的延伸性，對(duì)整數(shù)數(shù)系的無(wú)限延伸產(chǎn)生直觀感受，培養(yǎng)空間想象力，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象思維的發(fā)展。Regina Miriam Reinert在相關(guān)研究綜述中就曾明確指出，越來(lái)越多的證據(jù)表明，無(wú)界數(shù)線是一種純粹和有效的心理數(shù)量級(jí)表征的測(cè)量方法［6］，這也與無(wú)界數(shù)線的無(wú)限性特征有關(guān)。

三、結(jié)構(gòu)化數(shù)線、半結(jié)構(gòu)化數(shù)線和空數(shù)線及其教學(xué)價(jià)值

從標(biāo)準(zhǔn)化程度來(lái)看，數(shù)線可分為結(jié)構(gòu)化數(shù)線、半結(jié)構(gòu)化數(shù)線和空數(shù)線。結(jié)構(gòu)化數(shù)線標(biāo)準(zhǔn)化程度最高，空數(shù)線標(biāo)準(zhǔn)化程度最低，半結(jié)構(gòu)化數(shù)線介于兩者之間，三者之間能互相轉(zhuǎn)化。結(jié)構(gòu)化數(shù)線等同于數(shù)軸，具有原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度這3個(gè)要素，即有基準(zhǔn)點(diǎn)0，用箭頭表示數(shù)線的大小、方向和數(shù)線的延續(xù)，同時(shí)包含位于數(shù)線上方或下方的刻度線，以表示單位長(zhǎng)度［7］，如圖9所示。半結(jié)構(gòu)化數(shù)線只具有其中1～2個(gè)數(shù)軸要素，是結(jié)構(gòu)化數(shù)線簡(jiǎn)化后的產(chǎn)物，如圖10所示?？諗?shù)線直接以一條直線的形式呈現(xiàn)，是由結(jié)構(gòu)化數(shù)線向半結(jié)構(gòu)化數(shù)線逐步簡(jiǎn)化發(fā)展而成的，如圖11所示。目前，空數(shù)線已成為國(guó)際公認(rèn)的一種發(fā)展心理策略的成功模式，其概念看似簡(jiǎn)單，卻是一種基于先前研究結(jié)果的復(fù)雜結(jié)構(gòu)［8］。

具體而言，結(jié)構(gòu)化數(shù)線是數(shù)線中最嚴(yán)格化的形式，它通過(guò)數(shù)線上的標(biāo)記來(lái)表示數(shù)，可視為一條被分割標(biāo)記成數(shù)個(gè)相等大小部分的線性比例尺。結(jié)構(gòu)化數(shù)線具有數(shù)線的迭代、均分特征。迭代是指連續(xù)地復(fù)制和粘貼基本單位，由基本單位的重復(fù)形成整條數(shù)線；均分是指把一條數(shù)線平均分成多個(gè)基本單位，整條數(shù)線由若干個(gè)基本單位組成。兩者構(gòu)成了理解結(jié)構(gòu)化數(shù)線的兩種視角。教師在教學(xué)中可根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容靈活選擇不同視角下的數(shù)線。如學(xué)生在初步認(rèn)識(shí)數(shù)線時(shí)可以選擇“迭代數(shù)線”，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)可以選擇“均分?jǐn)?shù)線”，使結(jié)構(gòu)化數(shù)線有效服務(wù)于數(shù)學(xué)教學(xué)。結(jié)構(gòu)化數(shù)線是數(shù)學(xué)教學(xué)中高頻使用的工具，便于學(xué)生理解各種數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程，為數(shù)的排序搭建了直觀的平臺(tái)，有助于有理數(shù)連續(xù)性的可視化［9］，從而呈現(xiàn)給學(xué)生一個(gè)嚴(yán)密而完備的數(shù)系統(tǒng)。如人教版教材運(yùn)用結(jié)構(gòu)化數(shù)線引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)的認(rèn)識(shí)（如圖12）和數(shù)的四則運(yùn)算（如圖13）。

半結(jié)構(gòu)化數(shù)線比結(jié)構(gòu)化數(shù)線更簡(jiǎn)潔高效，給學(xué)生留有足夠的可操作空間，具有一定的靈活性和自主性。在半結(jié)構(gòu)化數(shù)線中，學(xué)生可以根據(jù)使用目的選取對(duì)自己解決問(wèn)題有用的相關(guān)要素。這一過(guò)程能反映出學(xué)生的思維方式，有利于教師了解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，及時(shí)提供指導(dǎo)幫助。如間隔排列問(wèn)題中典型的植樹(shù)問(wèn)題，只需在數(shù)線上標(biāo)記刻度，以示意間距、尋找段數(shù)，從而找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵之處。

作為自由度最高的空數(shù)線，具有多方面教學(xué)價(jià)值。第一，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力?？諗?shù)線為學(xué)生提供了個(gè)性化的使用方式，賦予學(xué)生表征和記錄的高度自由，使他們有足夠的發(fā)揮空間，可根據(jù)自己的想法進(jìn)行調(diào)整，與其他數(shù)學(xué)元素靈活結(jié)合。第二，增強(qiáng)數(shù)感，提升數(shù)學(xué)能力。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生嘗試在空數(shù)線上放置正負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)和數(shù)關(guān)系的理解，提高學(xué)生的排序能力和比例推理能力。另外，有研究表明，空數(shù)線也是增強(qiáng)學(xué)生心算能力的有力工具［10］。第三，記錄個(gè)人思考痕跡。學(xué)生解決問(wèn)題的思考過(guò)程可完整地展示在空數(shù)線上。教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生使用空數(shù)線來(lái)記錄自己解決問(wèn)題的過(guò)程。當(dāng)學(xué)生思考不順暢或成功解決問(wèn)題后進(jìn)行回顧總結(jié)時(shí)，教師可借助其記錄痕跡提供指導(dǎo)和干預(yù)。但國(guó)內(nèi)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)空數(shù)線的重視度有待提升，目前僅有北師大版教材有使用空數(shù)線的傾向（如圖14）。

四、雙數(shù)線和單數(shù)線及其教學(xué)價(jià)值

從聯(lián)結(jié)性和分裂性的角度來(lái)看，數(shù)線可分為雙數(shù)線和單數(shù)線。這種分類(lèi)凸顯出雙數(shù)線的特殊價(jià)值。雙數(shù)線是兩條數(shù)線的聯(lián)結(jié)（如圖15），每一條數(shù)線代表一種數(shù)量，通過(guò)兩種數(shù)量恒定的比率關(guān)系而將這兩個(gè)數(shù)量一一對(duì)應(yīng)。在使用中，可以根據(jù)實(shí)際情況把兩種數(shù)量簡(jiǎn)化表示在一條數(shù)線的同一點(diǎn)上，實(shí)現(xiàn)兩條數(shù)線的對(duì)應(yīng)統(tǒng)一（如圖16）。相對(duì)于雙數(shù)線而言，單數(shù)線僅能表示出一種數(shù)量，讓兩種數(shù)量分別呈現(xiàn)，無(wú)法展現(xiàn)出兩種數(shù)量之間的聯(lián)結(jié)和變化，也不能體現(xiàn)兩種數(shù)量之間的比率關(guān)系。

雙數(shù)線包含上下兩條數(shù)線，這兩條數(shù)線通常以不同的基本單位進(jìn)行構(gòu)造。除直接呈現(xiàn)出的這兩條數(shù)線所表示的數(shù)量外，雙數(shù)線還暗含第三個(gè)量——兩個(gè)數(shù)量之間的恒定比率。如人教版教材六年級(jí)下冊(cè)“比例”單元“正比例”中的做一做（如圖17），路程和時(shí)間的數(shù)據(jù)各自形成水平非直觀數(shù)線，兩者間隱含的恒定比率即速度，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化，形成雙數(shù)線，直觀呈現(xiàn)出兩種數(shù)量的共同變化過(guò)程及其固定的比率。雙數(shù)線是學(xué)習(xí)比及比例知識(shí)的教學(xué)工具，能幫助學(xué)生建立比和比例的關(guān)系，理解比、比例與分?jǐn)?shù)、除法之間的聯(lián)系，為學(xué)生解決按比例分配的相關(guān)問(wèn)題提供思考支架，有利于培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想。

單數(shù)線將兩種數(shù)量分開(kāi)呈現(xiàn)，一條數(shù)線對(duì)應(yīng)一種量，涵蓋了數(shù)線的普遍意義。

綜上所述，不同分類(lèi)維度下的數(shù)線并非完全獨(dú)立的，而是存在交叉關(guān)系。根據(jù)以上不同分類(lèi)，從直接性和間接性角度進(jìn)行審視，數(shù)線發(fā)揮著作為研究對(duì)象和作為教學(xué)工具的雙重價(jià)值。

作為研究對(duì)象是指研究者直接研究數(shù)線本身固有的性質(zhì)、特征和功能等，以豐富數(shù)線的內(nèi)涵，開(kāi)發(fā)數(shù)線的功能，這體現(xiàn)出數(shù)線的直接價(jià)值。例如，借助計(jì)算機(jī)研究心理數(shù)線；研究數(shù)軸的3個(gè)要素，掌握數(shù)線內(nèi)在的邏輯體系；研究數(shù)線的均分特征、迭代特征和測(cè)量功能等。當(dāng)研究者對(duì)數(shù)線內(nèi)在屬性的研究達(dá)到一定的深度和廣度后，再將數(shù)線作為工具使用會(huì)更得心應(yīng)手。

作為教學(xué)工具是指教師將其視為一種達(dá)到教學(xué)目的的工具，體現(xiàn)了數(shù)線的工具價(jià)值。例如：在小數(shù)和分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中，數(shù)線可展現(xiàn)數(shù)概念的形成過(guò)程，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)的稠密性、連續(xù)性和離散性；也可將數(shù)的運(yùn)算過(guò)程形象化，幫助學(xué)生比較數(shù)的大小。同時(shí)，教師要認(rèn)識(shí)到，學(xué)生對(duì)各數(shù)線屬性有準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)是正確、高效運(yùn)用數(shù)線解決問(wèn)題的前提和基礎(chǔ)。

如表1所示，第一種分類(lèi)是為了凸顯心理數(shù)線的獨(dú)特性。物理數(shù)線能讓學(xué)生從外顯的表面直觀中總結(jié)、概括出數(shù)線的內(nèi)在一致性，把握數(shù)線最基本、最普遍的內(nèi)涵。心理數(shù)線則是以抽象的形式存在于個(gè)人的想象空間里，具有個(gè)體差異性。教學(xué)中，要注意兼顧外顯的一致性和內(nèi)在的差異性。第二種分類(lèi)聚焦于無(wú)界數(shù)線。無(wú)界數(shù)線的無(wú)限性和整數(shù)的無(wú)限性相對(duì)應(yīng)，具有開(kāi)放性和延伸性。有界數(shù)線的長(zhǎng)度固定有限，能表示出數(shù)與數(shù)的關(guān)系。這里的開(kāi)放性和封閉性不存在孰優(yōu)孰劣，只是對(duì)兩種數(shù)線特征的表述。第三種分類(lèi)有意突出空數(shù)線。結(jié)構(gòu)化數(shù)線是數(shù)線迭代特征和均分特征的重要體現(xiàn)，形式要求嚴(yán)格?？諗?shù)線是學(xué)生增強(qiáng)數(shù)感、記錄思考路徑和培養(yǎng)創(chuàng)造力的有力工具，具有高度的自主性。半結(jié)構(gòu)化數(shù)線為方便學(xué)生的使用，保留了數(shù)軸的部分要素。三者賦予學(xué)生不同程度的表征和記錄自由。第四種分類(lèi)傾向于表現(xiàn)雙數(shù)線的特殊價(jià)值。雙數(shù)線表現(xiàn)出兩種數(shù)量的聯(lián)結(jié)和協(xié)變關(guān)系。單數(shù)線只表示出一種數(shù)量，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有普遍意義。

由此可見(jiàn)，數(shù)線形式的多元化趨勢(shì)體現(xiàn)了數(shù)線的橫向發(fā)展，對(duì)數(shù)線內(nèi)涵、功能等的深入挖掘體現(xiàn)了數(shù)線的縱向發(fā)展。

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（南京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所）