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    基于Subsampling抽樣的厚尾AR(p)序列趨勢變點的Ratio檢驗

    2023-07-11 10:14:16王愛民宋雪麗
    統(tǒng)計與決策 2023年10期
    關(guān)鍵詞:變點新息趨勢

    王愛民,金 浩,宋雪麗

    (西安科技大學(xué) 理學(xué)院,西安 710054)

    0 引言

    近年來,Ratio 統(tǒng)計量是一種流行的檢驗時間序列變點問題的方法,其與傳統(tǒng)的累計和方法相比不需要方差的估計。Horváth 等(2008)[1]運用Ratio 統(tǒng)計量檢驗短記憶的均值變點問題;Shao(2011)[2]、Kai 等(2018)[3]和Wingert 等(2020)[4]進一步研究了長記憶變點問題;Chen 等(2016)[5]運用Ratio統(tǒng)計量檢驗從短記憶到長記憶的變點問題。

    實際上,上述文獻大多考慮方差有限的情形。然而,方差無窮序列的大部分信息滯留在尾部,不能用傳統(tǒng)高斯序列來刻畫,所以本文針對方差無窮AR(p)序列檢驗結(jié)構(gòu)變點。假設(shè)yt由下列模型產(chǎn)生:

    其中,xt=(1,t,…,tp)T,β=(β0,β1,…,βp)T,p是大于等于0 的整數(shù)。εt是p階自回歸序列,新息過程ηt位于穩(wěn)定吸收域。有:

    參數(shù)κ(尾指數(shù))控制尾部分布的厚度是未知的。式(3)和式(4)表明存在aT和bT使得:

    先假設(shè)bT=0,κ>1,此時E(ηt)=0。特別地,當(dāng)ηt是獨立同分布的序列時,Kokoszka和Wol(f2004)[6]已證明:

    本文拓展了Jin等(2009)[7]和Wang等(2016)[8]的理論,把獨立同分布的新息過程延伸到弱相依的AR(p)情形;探索用ηt新息替代εt從而獲得準(zhǔn)確的臨界值。雖然Perron和Zhu(2005)[9]以及Yang(2017)[10]提出了對趨勢變點位置的估計,但是少有學(xué)者關(guān)注其檢驗問題,為此,本文考慮了厚尾AR(p)相依序列趨勢變點的檢驗問題。

    1 模型與修正Ratio檢驗統(tǒng)計量

    假設(shè)y1,…,yT滿足模型(1)和模型(2)??紤]p=1,即xt=(1,t)T。當(dāng)p=0 時,模型退化成含有常數(shù)項的均值變點模型,本文不做研究。對于更一般的情況,xt=(1,t,…,tp)T,p≥2 仍然有效。在引入變點模型之前,為滿足漸近有效性需提出如下假設(shè):

    假設(shè)1:假設(shè)1-ρ1z-…-ρpzp=0 所有的特征根都在單位圓外。

    假設(shè)2:新息過程ηt是獨立同分布的,在吸收域κ?(1,2)且E(ηt)=0。

    假設(shè)1 說明AR(p)過程可以表示為無限階移動平均過程。假設(shè)2保證式(6)的中心極限定理存在,從而下列的Ratio 統(tǒng)計量有準(zhǔn)確的極限分布??紤]新息過程為AR(p)的趨勢變點模型:

    其中,εt是厚尾AR(p)序列,1{?}是示性函數(shù),k*是趨勢變點位置。ρi=0,i=1,…,p,模型退化為文獻[8]及文獻[11]的模型。原假設(shè)和備擇假設(shè)下的檢驗問題為:

    2 主要結(jié)論

    本文給出檢驗趨勢變點在原假設(shè)下的極限分布和備擇假設(shè)下的一致性。為了方便起見,令v=k/T,s=i/T,v*=k*/T。

    定理1:假設(shè)yt由式(8)生成,εt是厚尾AR(p)序列。若原假設(shè)H0、假設(shè)1和假設(shè)2成立,則當(dāng)T→∞時,有:

    證明:計算yt(t=1,…,k)對μ和β回歸的最小二乘估計殘差:

    結(jié)合式(13)至式(15),得到統(tǒng)計量原假設(shè)下的極限分布為:

    定理2:假設(shè)yt由式(8)生成,εt是厚尾AR(p)序列。若備擇假設(shè)H1、假設(shè)1 和假設(shè)2 成立,當(dāng)T→∞時,Ξ=R(k*),有:

    證明:若k

    從而得到分母第二項的發(fā)散速度:

    3 Subsampling抽樣

    因為趨勢變點的極限分布依賴于尾指數(shù)κ,目前已有一些關(guān)于尾指數(shù)估計的文獻,比如Koedijk 等(1990)[12]和Resnick(2007)[13]的研究,但其準(zhǔn)確性不是很好。當(dāng)使用Subsampling 抽樣方法的時候就能避免參數(shù)κ的估計。具體步驟如下:

    第一步,計算yt對μ和β回歸的最小二乘估計殘差:=yt--,t=1,2,…,T。

    第二步,計算對ρ回歸的最小二乘估計殘差:

    構(gòu)造如下檢驗統(tǒng)計量:

    為驗證Subsampling 抽樣方法的Ratio 檢驗有效性,下面給出原假設(shè)下的相合性。

    定理3:當(dāng)T→∞,b→∞時,滿足b/T→0。若假設(shè)1和假設(shè)2同時成立,則對任意x>0,有。

    在開發(fā)房地產(chǎn)之前,必須要考慮好供求關(guān)系,這對于房價、成本計算以及開發(fā)時間和房屋的數(shù)量等起到了重要的價值,也可以促進房地產(chǎn)行業(yè)的發(fā)展。可以促進城市的建設(shè),在規(guī)劃當(dāng)中,還需要控制風(fēng)險來讓規(guī)劃變得更具有可行性。

    定理3:證明可參考文獻[11]。

    4 數(shù)值模擬

    通過經(jīng)驗水平和經(jīng)驗勢的模擬結(jié)果來說明上述基于Subsampling 抽樣Ratio 檢驗趨勢變點的合理性。以下是樣本數(shù)據(jù)yt的產(chǎn)生過程:

    考慮εt是一個AR(1)過程,εt=ρεt-1+ηt,ηt是獨立同分布的厚尾序列。尾指數(shù)κ?{1.1,1.2,…,1.9}。不失一般性,設(shè)置μ=0,β=0??紤]跳躍幅度??{0,0.2,0.6,1},自回歸系數(shù)ρ?{-0.9,-0.5,0,0.5,0.9},變點位置v*?{0.3,0.5,0.7},置信水平α=5%,樣本量T?{300,500,1000},進行3000次循環(huán)。

    因經(jīng)驗水平都在5%的置信水平波動,所以經(jīng)驗水平的扭曲可以忽略。數(shù)值模擬結(jié)果(見表1 至表3)表明,首先,經(jīng)驗水平不依賴于自回歸系數(shù)ρ,這和定理1 是一致的;其次,經(jīng)驗水平對尾指數(shù)的變化是敏感的;最后,隨著T的增大,經(jīng)驗水平波動性減小。所以在原假設(shè)下,基于Subsampling 抽樣的Ratio 檢驗?zāi)芎芎玫乜刂平?jīng)驗水平。

    表1 Subsampling抽樣的Ratio檢驗的經(jīng)驗水平和經(jīng)驗勢(T=300)

    表2 Subsampling抽樣的Ratio檢驗的經(jīng)驗水平和經(jīng)驗勢(T=500)

    表3 Subsampling抽樣的Ratio檢驗的經(jīng)驗水平和經(jīng)驗勢(T=1000)

    Subsampling抽樣的Ratio檢驗在備擇假設(shè)下的經(jīng)驗勢受到樣本量、跳躍幅度、變點位置、自回歸系數(shù)和尾指數(shù)的影響,純模擬結(jié)果表明:

    (1)隨著樣本容量T=300,500,1000 的增加,統(tǒng)計量的經(jīng)驗勢隨之增加。這與定理2 是一致的,即在存在趨勢變點的情況下,樣本量越大,統(tǒng)計量越發(fā)散。

    (3)統(tǒng)計量在后端的經(jīng)驗勢大于在前端的經(jīng)驗勢,即變點在后端時更易檢驗。例如當(dāng)T=300,?=0.6,ρ=0.5,κ=1.7 時,對于v*=0.3,0.5,0.7,經(jīng)驗勢分別是0.4805、0.8535和0.9420。

    (4)在一階自回歸過程中,ρ≤0 的經(jīng)驗勢大于ρ>0的經(jīng)驗勢,這和定理2 是一致的。除ρ=-0.9 之外,其余自回歸系數(shù)的經(jīng)驗勢近似重合。例如當(dāng)T=500,?=0.6,v*=0.7,κ=1.7 時,對于ρ=-0.5,ρ=0 和ρ=0.5,經(jīng)驗勢分別為0.9680、0.9640和0.9560。

    (5)當(dāng)?=0.2,κ≤1.6 時,即使T很大,經(jīng)驗勢也比較低,所以很難檢驗出趨勢變點。但當(dāng)κ>1.6 時,經(jīng)驗勢就比較高。因趨勢變點的發(fā)散速度為T3-2/κ,所以κ較大時有更快的發(fā)散速度。以上的數(shù)值模擬結(jié)論說明Subsampling抽樣的Ratio統(tǒng)計量能夠檢驗厚尾序列的趨勢變點。

    5 谷歌股票價格分析

    為通過實際應(yīng)用說明Subsampling 抽樣的Ratio 統(tǒng)計量能夠檢驗趨勢變點,選取2016 年8 月19 日至2018 年1月18 日谷歌股票收盤價的356 次觀察數(shù)據(jù)(見圖1)進行實證。首先,根據(jù)Perron 和Zhu(2005)[9]提出的方法估計趨勢變點=173,把整個樣本序列分成兩段[1,173] 和[1 74,356],修正后的序列定義為,t=1,…,356,,其 中,=783.4415,=0.4282,=0.3605;其次,使用貝葉斯信息準(zhǔn)則,判定為AR(1)模型并計算臨界值Ξb(0.05)=0.8406,其中,α=0.05,b=45;然后,用原始序列zt代替vt代入Ratio 統(tǒng)計量,得到Ξ=0.9047>0.8406,說明序列確實存在趨勢變點;最后,由于序列若存在持久性變點,也會出現(xiàn)上述現(xiàn)象,因此應(yīng)用Kim(2000)[14]提供的Ratio統(tǒng)計量檢驗此變點,并未發(fā)現(xiàn)持久性變點。所以,該序列存在趨勢變點。

    圖1 Google股票收盤價

    6 結(jié)束語

    本文提出基于Subsampling 抽樣的Ratio 統(tǒng)計量來檢驗厚尾AR(p)序列趨勢變點。在原假設(shè)下推導(dǎo)出統(tǒng)計量的極限分布是列維過程的泛函,在備擇假設(shè)下得到統(tǒng)計量的一致性。同時,Subsampling抽樣對于厚尾AR(p)序列有比較精確的臨界值。蒙特卡洛數(shù)值模擬結(jié)果表明該抽樣的Ratio檢驗實現(xiàn)了較好的經(jīng)驗水平和經(jīng)驗勢。最后,通過一組數(shù)據(jù)闡明了理論的可行性和有效性??傊?,基于Subsampling 抽樣的Ratio 檢驗是判斷厚尾序列有趨勢變點的有效工具。

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