基于GeoGebra剖析空間角的概念

姜林　蔡華

摘 要：在空間角（異面直線所成的角、直線與平面所成角、二面角的平面角）的教學(xué)中，教師往往花費較多的時間設(shè)計概念的引入，但缺少剖析概念的環(huán)節(jié)，以至于學(xué)生在解題時，存在“主觀臆斷、無中生有”等“無目的”的解答現(xiàn)象.因此，本研究以GeoGebra為平臺對空間角的概念做進一步的剖析，重構(gòu)空間角的概念，使其與學(xué)生解題過程保持一致，加深學(xué)生對空間角的理解，為教師教學(xué)提供一定的參考.

關(guān)鍵詞：GeoGebra；空間角；概念剖析

1 問題提出

學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念是解決數(shù)學(xué)問題的前提.在“以教師為主導(dǎo)”的傳統(tǒng)教學(xué)模式下，教師只能借助或不借助實物模型對異面直線所成的角、直線與平面所成角、二面角的平面角的概念進行教學(xué)，大部分是采用直接呈現(xiàn)概念，緊接著例題講解與學(xué)生練習(xí)的教學(xué)方式.然而隨著“以學(xué)生為主體”的教學(xué)理念的提出，教育信息化的發(fā)展，使用信息技術(shù)輔助教學(xué)是必然的趨勢，并且課程標(biāo)準指出“可以使用信息技術(shù)展示空間圖形，為理解和掌握圖形幾何性質(zhì)提供直觀”［1］.

教師也逐漸使用信息技術(shù)輔助空間角的教學(xué)，然而針對空間角的概念教學(xué)多為教學(xué)設(shè)計和教學(xué)反思［2］.盡管教師花費較多時間引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建空間角的概念［3］，但是很少使用信息技術(shù)對空間角的概念進行剖析，缺少從概念歸納解題方法的教學(xué)環(huán)節(jié)，以至于學(xué)生在自主解答問題時抓不住要點，使得空間角的概念與實際解題出現(xiàn)一定的脫節(jié).我國數(shù)學(xué)教育家張景中院士［4］提出了教育數(shù)學(xué)的三條原理“數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)從學(xué)生腦海中找概念、從概念中產(chǎn)生方法、由方法形成模式”，因此，要讓學(xué)生能夠理解空間角的概念并解決相關(guān)問題，那么對空間角的概念進行剖析就顯得尤為重要.

本研究將從剖析概念的必要性入手，并以GeoGebra為平臺對空間角進行逐一剖析，重構(gòu)與解題過程保持一致的“新”概念，歸納解題方法并應(yīng)用，最后提出GeoGebra輔助立體幾何教學(xué)的使用建議.

2 GeoGebra輔助教學(xué)的優(yōu)勢

盡管教師能夠使用信息技術(shù)輔助教學(xué)，但是空間角對學(xué)生的直觀想象能力有著較高的要求，那么使用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)軟件就能實現(xiàn)事半功倍的教學(xué)效果［5］.GeoGebra是一款免費開源的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，具有3D空間直觀的繪圖區(qū)域、代數(shù)運算、幾何平面、統(tǒng)計概念等強大的功能，其3D繪圖功能在立體幾何教學(xué)中有著較大的優(yōu)勢［6］.

2.1 3D繪圖區(qū)

3D繪圖區(qū)域主要由一個平面和空間直角坐標(biāo)系構(gòu)成，為在此區(qū)域構(gòu)建幾何對象提供了直接的構(gòu)建平臺，如圖1所示.并且使用鼠標(biāo)或者教室一體機的接觸筆能改變觀察的視角，實現(xiàn)從多角度觀察幾何對象.

2.2 工具便捷性

立體幾何作圖是傳統(tǒng)教學(xué)方式最耗時的環(huán)節(jié)，教師在教學(xué)和解題過程中都需要花較長的時間在黑板上進行作圖.3D作圖的工具，可以實現(xiàn)快速作圖.比如，使用直線工具，根據(jù)兩點確定一條直線就能夠在平面上繪制一條直線AB，如果想讓直線AB不在平面內(nèi)，可以點擊其中一個點B，當(dāng)出現(xiàn)上下兩個箭頭時，就可以實現(xiàn)點的上下平移，如圖2所示；當(dāng)出現(xiàn)四個箭頭時，可以實現(xiàn)點的前后左右平移.此外，常見的工具還有，平面工具（三點確定一個平面）、正六面體、棱錐、棱錐、圓錐、圓錐以及平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等變換工具.

在具有較強空間感和作圖便捷性的3D繪圖區(qū)，完全實現(xiàn)異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角與GeoGebra的融合，體現(xiàn)該軟件在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的優(yōu)勢.

3 空間角的概念剖析與重構(gòu)

空間角是指高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中的異面直線所成角、直線與平面所成角以及二面角的平面角.以“普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊”中的空間角為剖析對象.

3.1 異面直線所成角

異面直線所成角的概念：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間中任意一點O分別作直線a′//a，b′//b，把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

從概念中可以發(fā)現(xiàn)幾個關(guān)鍵短語“任意一點、分別作直線”，但是這與例題的解答過程有差異.以教材的第147頁的例1為例，找出其中的差異.

問題1：如圖3所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求直線BA′與CC′所成的角的大小.

解法：∵ABCD－A′B′C′D′是正方體，

∴BB′//CC′，

因此∠A′BB′為直線BA′與CC′所成的角.

∵∠A′BB′=45°，

∴直線BA′與CC′所成的角等于45°.

與異面直線所成角的概念相比，例題的解答過程，并沒有“作直線平行”，而是證明直線平行，最后找到角并在三角形中求解角的大小.通過對比可以發(fā)現(xiàn)異面直線所成角的概念描述與解答過程存在不一致，為避免學(xué)生解答時出現(xiàn)“主觀臆斷”，讓學(xué)生有解決問題的方向，就需要對概念進行剖析.

使用GeoGebra繪制異面直線a、b，在使用“描點”工具，繪制“任意點O”；顯然，空間中過點O的直線有無數(shù)條，但是經(jīng)過點O并且與直線a平行的直線只有一條a′；同理，經(jīng)過點O并且與直線b平行的直線也只有一條b′；因此，只需要分別證明過點O的直線a′、b′平行于直線a或者直線b，那么直線a′、b′所成的角就是異面直線a、b所成的角.

綜上，可以得出異面直線所成角的另一種描述：已知兩條異面直線a、b，若能證明經(jīng)過空間中任意一點O的直線a′、b′分別平行于直線a、b，那么直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角.（當(dāng)點O在直線a或直線b上時，僅需證明一次直線平行）

3.2 直線與平面所成角

直線與平面所成角：一條直線l與一個平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這樣平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.過斜線上除斜足外的一點P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

概念中的關(guān)鍵點是“過點P向平面α引垂線PO”，其含義是“過點P作平面α的垂線PO”，但是實際問題的解答卻不是“作垂線”，而是“證明垂直”.對教材第152頁的例4進行分析，對比例題的解答過程與概念之間的差異.

問題2：如圖5所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.

解：連接BC1，B1C，BC1與B1C相交于點O，連接A1O.

設(shè)正方體的棱長為a.

∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1，

∴A1B1⊥平面BCC1B1，即A1B1⊥BC1，

∵BC1⊥B1C，

∴BC1⊥平面A1DCB1，

即A1O為斜線A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角.

在Rt△A1BO中，∵A1B=√2a，BO=（√2/2）a，∴BO=（1/2）A1B，即∠BA1O=30°，故直線A1B和平面A1DCB1所成的角為30°.

分析解答過程可以發(fā)現(xiàn)，在解題過程中，并沒有“作平面的垂線”這樣的步驟，這就是解答過程與概念不一致的地方.因此為了概念與解答過程保持一致，讓學(xué)生能夠深刻理解直線與平面所成的角，并在解題過程中有一定的思考方向，就需要對概念進行剖析，以便學(xué)生能掌握知識.

使用GeoGebra繪制平面α、斜線AP，點P是除斜足A以外的任意一點，顯然在空間中過點P的直線有無數(shù)條，然而垂直于平面α的直線只有一條PO，即可以證明過點P的直線PO垂直于平面α，垂足為O，最后使用GeoGebra的“直線”工具和“角度”工具，分別繪制射影和直線與平面所成的角β，如圖6所示.

綜上所述，直線與平面所成角的另一種描述：已知斜線l、平面α，斜足為點A，在斜線l上的任意一點P（除斜足外），若能證明過點P的直線垂直于平面α，垂足為點O，那么射影AO與斜線AP所成的角β就是直線l與平面α所成的角.（實際問題中，任意一點往往是確定斜線的兩點之一）

3.3 二面角的平面角

二面角的平面角概念：在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和射線OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.

從三個空間角的概念的描述可以發(fā)現(xiàn)它們的共性都是“作出”具有平行或垂直關(guān)系的直線，把握它們之間的共性，使教學(xué)具有連貫性［7］.因此根據(jù)前文的剖析，通過類比就可以得到二面角的平面角的另一種描述：在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，在半平面α和β內(nèi)分別有兩條射線OA和OB都經(jīng)過點O，若能證明射線OA和OB都垂直于棱l，則射線OA和射線OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.

這樣的概念描述讓數(shù)學(xué)概念與解題過程保持一致，對學(xué)生理解概念和解題都有很大的幫助，并為學(xué)生提供了清晰的解題思路，減少出現(xiàn)“主觀臆斷、無中生有”的解答現(xiàn)象，讓學(xué)生在解題時具有明確的目的.

4 解題方法的歸納與應(yīng)用

4.1 類比歸納解題方法

有效的概念重構(gòu)能夠促進學(xué)生對概念的理解［8］，而恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)軟件能夠?qū)崿F(xiàn)事半功倍的教學(xué)效果［9］.通過使用GeoGebra軟件對空間角的概念進行剖析，并得到符合學(xué)生解題思路的“新”概念.而三個空間角的“新”概念中蘊含著解決空間角相關(guān)問題的一般性步驟：（1） 找點；（2） 進行證明；（3） 確定角；（4） 在三角形中求角.概念的剖析使學(xué)生有了解題的思路，避免出現(xiàn)“主觀臆斷、無中生有”的錯因，也在解題過程中進一步理解相關(guān)概念.

4.2 “新”概念的應(yīng)用

結(jié)合具體的問題，說明“新”概念與解題過程的一致性.異面直線所成角重構(gòu)后的概念描述：已知兩條異面直線a、b，若能證明經(jīng)過空間中任意一點O的直線a′、b′分別平行于直線a、b，那么直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角.（當(dāng)點O在直線a或直線b上時，僅需證明一次直線平行）

問題3：如圖7所示，在正方形ABCD－A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中點，求證AO1⊥BD.

結(jié)合概念分析問題：題目的要求是證明異面直線AO1與BD垂直.若可以求出AO1與BD所成角的大小為90°，那么就說明AO1⊥BD.

根據(jù)解題方法：

（1） 找點（教學(xué)過程中教師可以引導(dǎo)學(xué)生逐一找點A、B、D、O1觀察分析哪個點比較合適，可以發(fā)現(xiàn)比較恰當(dāng)?shù)狞c是O1）

（2） 進行證明（由于點O1在直線AO1上，要證明過點O1的直線平行于BD，那么就需要作輔助線B1D1）；

（3） 確定角（異面直線所成的角就是∠AO1B1）；

（4） 在三角形中求角（構(gòu)造△AB1D1，根據(jù)題意知道△AB1D1是等邊三角形，AO1是中線，即可以求得∠AO1B1=90°）.如圖8所示.

5 結(jié)束語

通過借助GeoGebra軟件對空間角的概念進行剖析，結(jié)合相應(yīng)的例題和類比方法，重構(gòu)了空間角的概念，讓絕大部分學(xué)生能夠較輕松地理解概念并能解決相關(guān)的問題.歸納一般性的解題步驟：（1） 找點；（2） 進行證明；（3） 確定角;（4） 在三角形中求角.此外，要使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定理，并能夠掌握運用，那么對其的剖析環(huán)節(jié)必不可少.而在立體幾何內(nèi)容的教學(xué)過程中使用GeoGebra輔助教學(xué)，不僅有助于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識，提升直觀想象能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維也有較大的幫助.

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