數(shù)學核心素養(yǎng)測評之內(nèi)容領(lǐng)域分析

胡典順 張美鈺

胡典順

華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院教授、博士研究生導師，華中師范大學數(shù)學教育教研室主任，湖北省中學數(shù)學教學指導委員會副主任委員；《數(shù)學教育學報》《數(shù)學通訊》編委，鄂教版高中數(shù)學教材（2019年版）副主編，中國國際文化交流基金會第三屆“明德教師獎”獲得者；曾以訪問學者的身份，由國家留學基金委公派訪問美國特拉華大學；在《課程·教材·教法》《中國教育學刊》《數(shù)學教育學報》《教育科學研究》等期刊上發(fā)表論文270余篇，出版《基于數(shù)學意義的數(shù)學教學改革研究》《整合技術(shù)的學科教學知識：從教師專業(yè)素養(yǎng)到教師教學實踐》《中學生數(shù)學素養(yǎng)測評的模型建構(gòu)與實證研究》等專著，主持多項全國教育科學規(guī)劃項目和教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目。

數(shù)學核心素養(yǎng)測評試題主要圍繞內(nèi)容領(lǐng)域、情境領(lǐng)域、過程領(lǐng)域、核心素養(yǎng)領(lǐng)域四個維度設(shè)計。內(nèi)容領(lǐng)域是數(shù)學核心素養(yǎng)測評不可或缺的組成部分，作為試題命制的知識來源、核心素養(yǎng)水平體現(xiàn)的重要載體和測評分析的有效方面，在核心素養(yǎng)測評框架中發(fā)揮基礎(chǔ)作用。

一、內(nèi)容領(lǐng)域簡述

數(shù)學核心素養(yǎng)測評的開展是為了掌握一個地區(qū)學生的素養(yǎng)特征及差異分布情況，以此作為教育改革和教育決策的依據(jù)。測評試題所依托的內(nèi)容要在測評對象已經(jīng)學習的知識范圍內(nèi)，要是考查學生素養(yǎng)表現(xiàn)的良好知識載體，要具有縱向可比性。這些內(nèi)容雖然只是學科體系中的一部分，但基于這部分內(nèi)容的問題提出與解決是學生數(shù)學能力表現(xiàn)的重點。

筆者基于《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》對數(shù)學課程內(nèi)容的劃分，確定測評的內(nèi)容領(lǐng)域分量。鑒于綜合與實踐領(lǐng)域內(nèi)容的測評較難依托本次測評的形式實現(xiàn)，筆者將測評的數(shù)學內(nèi)容劃分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率三個領(lǐng)域。這樣劃分既保證了測評試題覆蓋學生數(shù)學學習的重要領(lǐng)域，又避免了可能出現(xiàn)的因過分關(guān)注微觀知識點而造成的測評路徑偏差。

為真實、準確地測評學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平，我們需要根據(jù)測評對象所在學段的教學內(nèi)容要求和學業(yè)要求設(shè)計試題內(nèi)容，從重點知識出發(fā)編制試題，結(jié)合問題情境考查學生對單個或多個知識點的運用。根據(jù)每道題所考查的最重要的知識點，將題目劃入三個內(nèi)容領(lǐng)域中的一個，控制各個領(lǐng)域題目數(shù)量的占比，可以為我們分析學生在不同內(nèi)容領(lǐng)域分量上的表現(xiàn)提供方便。筆者以一道試題為例做具體說明。

案例一：火龍果

火龍果又名玉龍果、紅龍果、吉祥果等，營養(yǎng)豐富，香甜多汁，食療價值高，是百姓家中常見的一種水果。水果店李大伯帶著2000元錢去批發(fā)市場買火龍果，買了25箱，還剩150元?；氐降赇仯蛩阋悦肯?5元的價格售賣這批火龍果。

問題1? 每箱火龍果的批發(fā)價是多少元？（請寫出計算過程）

問題2? 如果李大伯能賣出所有火龍果，請列式計算他將獲得的利潤（不考慮其他成本）。

問題3? 李大伯在以每箱85元的價格賣出14箱火龍果之后，火龍果出現(xiàn)了滯銷，為了將火龍果全部賣出，李大伯決定降價促銷。本次火龍果買賣中，在降價賣完剩余的火龍果后不虧損的情況下，剩余的每箱火龍果最低可以降價到多少元（不考慮其他成本）？請列式計算。

該案例考查實際情境中的常見數(shù)量關(guān)系問題。學生需要掌握乘法模型，知道“總價＝單價×數(shù)量”，理解“等量的等量相等”的事實，并能運用四則運算解決問題。這道題體現(xiàn)了第二學段關(guān)于“數(shù)量關(guān)系”的核心內(nèi)容，應(yīng)該劃入數(shù)與代數(shù)內(nèi)容領(lǐng)域。

二、測評分析過程

數(shù)學核心素養(yǎng)的直接表現(xiàn)是學生在數(shù)學情境中解決問題的能力，反映到測評中就是試題的得分情況。內(nèi)容領(lǐng)域的測評結(jié)果分析，應(yīng)根據(jù)測評目的及想要了解的學生實際情況，展開相應(yīng)的統(tǒng)計分析，如在描述性分析中獲得學生的基本表現(xiàn)情況，在相關(guān)分析中探究各領(lǐng)域分量成績之間的影響關(guān)系，在差異性分析中關(guān)注有效指標的作用，從而得到測評結(jié)論，提出有效建議。

1.區(qū)域?qū)Ρ仍u價

在“WJ市義務(wù)教育核心素養(yǎng)監(jiān)測”項目中，為了對比各區(qū)（縣）學生的表現(xiàn)，筆者對收集到的3544份有效數(shù)據(jù)進行了描述性統(tǒng)計，計算各測評區(qū)（縣）學生在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率領(lǐng)域上的成績均值及得分率。這樣既可以縱向?qū)Ρ韧粎^(qū)（縣）學生在不同內(nèi)容領(lǐng)域分量上的優(yōu)勢與不足，又可以橫向比較不同區(qū)（縣）學生在同一內(nèi)容領(lǐng)域分量上呈現(xiàn)出的差異。為方便操作，筆者用01～07表示參評的7個區(qū)（縣），用08表示全市，統(tǒng)計得出內(nèi)容領(lǐng)域題型分布及得分情況表。受篇幅所限，本文僅列出數(shù)與代數(shù)和圖形與幾何領(lǐng)域的結(jié)果，如表1所示。

觀察表格中的數(shù)據(jù)可知，各區(qū)（縣）學生在圖形與幾何領(lǐng)域的得分率均高于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的得分率，說明學生在圖形與幾何領(lǐng)域的知識理解和運用上表現(xiàn)更好。在這兩個領(lǐng)域，區(qū)（縣）2（即編碼為02的區(qū)或縣，下同）和區(qū)（縣）7的學生得分率排名均為前兩名，區(qū)（縣）3的學生得分率排名均為最后一名，說明不同區(qū)域的學生在知識內(nèi)容的掌握上存在顯著差距，且成績水平相對穩(wěn)定。

2.具體表現(xiàn)分析

為進一步了解學生在內(nèi)容領(lǐng)域的表現(xiàn)情況，筆者從宏觀與微觀兩個層面對數(shù)據(jù)進行頻數(shù)分析、集中趨勢分析和離散程度分析。

在宏觀層面，由于各內(nèi)容領(lǐng)域分量中題目的原始分值并不相同，筆者將學生在各領(lǐng)域的成績都加權(quán)成100分（試題測評的總分是100分，后續(xù)精熟度水平的等級劃分也以100分為基準），并計算加權(quán)后各領(lǐng)域成績的最小值、最大值、均值、標準差等描述統(tǒng)計量（可根據(jù)需要選擇），分析學生成績的集中趨勢與離散程度，以比較不同分量之間的成績差異。

在微觀層面，聚焦不同學習水平學生的具體分布情況，基于內(nèi)容領(lǐng)域分量上的精熟度水平劃分，筆者進行了頻數(shù)統(tǒng)計。首先，統(tǒng)計第5百分位和第95百分位的學生成績，將這兩個成績間的分數(shù)平均分為1～6六個等級，分別對應(yīng)1～6級精熟度水平，而0分以上、第5百分位成績以下的分數(shù)，則對應(yīng)0級精熟度水平，由此得到內(nèi)容領(lǐng)域的等級分數(shù)區(qū)間；其次，根據(jù)確定的不同等級分數(shù)區(qū)間，進行頻數(shù)統(tǒng)計，并計算百分比和累計百分比，得到等級分布情況。

筆者以本項目中圖形與幾何領(lǐng)域為例，說明等級分布的計算過程。用SPSS26.0統(tǒng)計軟件得出圖形與幾何領(lǐng)域第5百分位的學生成績?yōu)?3.8，第95百分位的學生成績?yōu)?00，用“（100－43.8）÷6”計算等級間隔，保留一位小數(shù)得“9.4”，故0級精熟度水平分數(shù)區(qū)間為0～43.8，1級至6級精熟度水平分數(shù)區(qū)間分別為43.9～53.3、53.4～62.8、62.9～72.3、72.4～81.8、81.9～91.3、91.4～100。根據(jù)得到的精熟度水平等級，統(tǒng)計各區(qū)（縣）學生成績在每個區(qū)間上的頻數(shù)并計算百分比，得到圖形與幾何領(lǐng)域等級分布表（表略）。

為了更直觀地觀察學生成績的分布，比較學生之間精熟度水平的差異，我們可以用可視化方式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，如繪制各區(qū)（縣）圖形與幾何領(lǐng)域等級分布百分比條形圖（如下圖）等。

該圖呈現(xiàn)了在圖形與幾何領(lǐng)域，不同區(qū)域?qū)W生在成績分布上的差異性，為改進教學提供了直觀參考。其中，區(qū)（縣）2中處于5級、6級水平的學生人數(shù)最多，占比之和超過70%，高于全市平均水平，表明該區(qū)域大多數(shù)學生對圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)容掌握得較好。而區(qū)（縣）1、區(qū)（縣）3、區(qū)（縣）4中處于5級、6級水平的學生人數(shù)較少，低于全市平均水平，且0級、1級的學生占比較高，說明這些區(qū)域的學生理解和運用該領(lǐng)域內(nèi)容的能力有待提高。

3.成績相關(guān)分析

研究學生在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率三個內(nèi)容領(lǐng)域分量上的成績是否相互影響、產(chǎn)生了什么影響及影響程度如何，可以為教師設(shè)計和改進教學提供指導。

筆者用SPSS26.0對學生在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率三個內(nèi)容領(lǐng)域的成績作相關(guān)性分析，將學生在各內(nèi)容領(lǐng)域分量上的得分視為代表相應(yīng)維度的隨機變量，計算兩兩變量之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表2所示。

數(shù)據(jù)顯示，數(shù)與代數(shù)和圖形與幾何的皮爾遜相關(guān)系數(shù)約為0.676，數(shù)與代數(shù)和統(tǒng)計與概率的皮爾遜相關(guān)系數(shù)約為0.725，圖形與幾何和統(tǒng)計與概率的皮爾遜相關(guān)系數(shù)約為0.720，表明三者兩兩正相關(guān)，且均為中度線性相關(guān)，顯著性均小于0.01。其中，數(shù)與代數(shù)和統(tǒng)計與概率的相關(guān)程度最高，說明這兩個領(lǐng)域之間的成績關(guān)系更密切?？偟膩碚f，測評反映出各領(lǐng)域數(shù)學內(nèi)容的學習之間聯(lián)系密切，任意一個領(lǐng)域的表現(xiàn)都會影響其他領(lǐng)域的表現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)學學科的整體性和數(shù)學知識的系統(tǒng)性。更重要的是，充分關(guān)注數(shù)與代數(shù)和統(tǒng)計與概率等領(lǐng)域分量之間的密切聯(lián)系，挖掘知識的生長點，可以幫助教師改進教學，從而促進學生對知識本質(zhì)的理解與掌握，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

4.差異性分析

研究者通常要關(guān)注學生成績在某個指標的不同取值下的差異性，即探究某個指標是否會對學生的成績造成影響，以此作為教育教學改進的關(guān)鍵點。差異性分析可以滿足這樣的需求。首先，我們要在問卷調(diào)查中對感興趣的指標進行有效信息的收集，常見指標如學校辦學類型、學校所在位置、父母的學歷與職業(yè)狀況等。接著，我們要選擇有意義且合適的指標，為進行該指標下的成績差異性分析做準備。在內(nèi)容領(lǐng)域，有價值的差異性分析如：學校所處位置（城市、縣鎮(zhèn)、農(nóng)村）的不同對學生成績的影響，是否使用信息技術(shù)教學對學生圖形與幾何領(lǐng)域成績的影響，是否進行單元教學對學生數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域成績的影響，等等。然后，我們通過描述性統(tǒng)計進行差異性分析的初步判斷。如果在該指標的不同取值下，學生的平均成績存在差異甚至差異較大，表明學生的成績關(guān)于該指標確實可能存在統(tǒng)計學意義上的差異，即存在顯著差異，需要進一步驗證。最后，我們利用統(tǒng)計軟件進行差異性檢驗。試題測評中，常用的差異性檢驗方法有獨立樣本t檢驗、單因素方差分析等。在通過單因素方差分析得到顯著差異的結(jié)果后，可以通過多重比較分析進一步查看差異發(fā)生在哪兩個取值之間，常用的多重比較分析方法有LSD、S-N-K等。

本項目中，為研究不同舉辦者類型（教育部門舉辦或民辦）學校的學生在內(nèi)容領(lǐng)域上的成績是否具有顯著差異，筆者先用描述性統(tǒng)計作初步判斷，結(jié)果顯示教育部門舉辦的學校學生成績均值（71.31分）高于民辦學校學生成績均值（67.60分），說明學生成績關(guān)于舉辦者類型這個指標可能存在統(tǒng)計學意義上的差異，有待通過獨立樣本t檢驗進一步驗證；然后，筆者利用SPSS26.0進行獨立樣本t檢驗，結(jié)果如表3所示。

結(jié)果假定等方差檢驗的p值為0.634，0.634>0.05，表明方差齊性，以統(tǒng)計表中“假定等方差”所在行的t檢驗結(jié)果為準，觀察此行數(shù)據(jù)，t=2.111，p=0.035，0.035<0.05，則拒絕原假設(shè)（假定等方差），得出“不同舉辦者類型學校的學生在內(nèi)容領(lǐng)域的成績存在顯著性差異”的結(jié)論。

（張美鈺系華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院碩士研究生）

［專欄文章系教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目“中小學核心素養(yǎng)測評的模型建構(gòu)與實證研究（項目編號：19YJA880012）”、中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費項目“新高考分省市命題分學科質(zhì)量評價指標體系研究（項目編號：CCNUTEI2021-13）”的研究成果］

責任編輯? 劉佳