“合并抵消”大概念統(tǒng)攝下的運(yùn)算律教學(xué)

鄭小龍

一、單元視角：單元要學(xué)什么

學(xué)生四年級(jí)學(xué)習(xí)《運(yùn)算律》之前，已經(jīng)學(xué)過乘加、乘減等兩步四則混合運(yùn)算及有小括號(hào)的運(yùn)算，后續(xù)還要學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算。學(xué)習(xí)本單元前對運(yùn)算律有所體會(huì)，但未正式學(xué)習(xí)。學(xué)完運(yùn)算律，后續(xù)還要在小數(shù)、分?jǐn)?shù)領(lǐng)域應(yīng)用。

本單元共安排8課時(shí)學(xué)習(xí)，分別是四則混合運(yùn)算順序和認(rèn)識(shí)中括號(hào)，加法交換律和乘法交換律，加法結(jié)合律，乘法結(jié)合律，乘法分配律和練習(xí)四。

縱觀8課時(shí)，無非2個(gè)板塊，一個(gè)是關(guān)于四則混合運(yùn)算和中括號(hào)；一個(gè)是關(guān)于運(yùn)算律意義及應(yīng)用。由此可見，對于混合運(yùn)算板塊學(xué)生有豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，而對于運(yùn)算律板塊學(xué)生第一次正式學(xué)習(xí)。

二、學(xué)生立場：有哪些學(xué)習(xí)節(jié)點(diǎn)

（一）學(xué)情分析

在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對混合運(yùn)算掌握較好，兩步混合運(yùn)算順序和法則可以直接遷移到三步混合運(yùn)算。而運(yùn)算律這塊，學(xué)生出現(xiàn)問題較多，掌握不扎實(shí)。學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤主要有：

錯(cuò)例A：

錯(cuò)因分析：不能湊整的算成湊整。學(xué)生受數(shù)字特征的負(fù)遷移，忽視了運(yùn)算順序。

錯(cuò)例B：

錯(cuò)因分析：學(xué)生或沒有觀察數(shù)字特征，或不能靈活運(yùn)用運(yùn)算律。

錯(cuò)例C：

錯(cuò)因分析：學(xué)生忽視運(yùn)算符號(hào)，混淆乘法結(jié)合律和乘法分配律。

當(dāng)學(xué)生學(xué)完整個(gè)單元的運(yùn)算律后，各運(yùn)算律更加容易混淆。隨著算式的變化，學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤更是五花八門。

（二）教材解讀

面對學(xué)生的錯(cuò)題，我們往往會(huì)認(rèn)為缺少訓(xùn)練，通常用題海戰(zhàn)術(shù)鞏固，很少會(huì)追根溯源。這些錯(cuò)題真正的根源在于缺失運(yùn)算律意義的理解。究其原因，我們認(rèn)為教材編排中對算理、算法和算律的定位有值得商榷之處。

我們知道，算理和算法在一起，算理是解決為什么可以得到這個(gè)計(jì)算結(jié)果的問題。算法是對算理熟能生巧后的概況，怎么得到這個(gè)結(jié)果。所以，算理解決“對”的問題，算法解決“快”的問題。算法和算理在一起，算法是怎么可以得到這個(gè)結(jié)果。算律是怎么可以比較快地得到這個(gè)結(jié)果。算法解決“對”的問題，算律解決“快”的問題。因此，算律是對算法的一次叛逆。

學(xué)生先學(xué)習(xí)算理，再學(xué)習(xí)算法，最后學(xué)習(xí)算律。算律的學(xué)習(xí)，必須向著學(xué)生的痛點(diǎn)而行，這個(gè)痛點(diǎn)正是算律的意義所在。如學(xué)習(xí)加法交換律和乘法交換律，教材都是呈現(xiàn)兩個(gè)數(shù)相加或相乘等于交換位置后的得數(shù)，這樣引出交換律，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律，從形上理解運(yùn)算律，不利于理解運(yùn)算律的意義，導(dǎo)致運(yùn)算與運(yùn)算律脫節(jié)。如果材料改成三個(gè)數(shù)連加，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)和第三個(gè)數(shù)能湊整，讓學(xué)生充分體會(huì)換位的必要性，交換律這樣上會(huì)形神兼?zhèn)?。通過交換位置，改變運(yùn)算順序，但得數(shù)沒變，從而深刻理解運(yùn)算律的意義。

（三）課標(biāo)理解

《新課標(biāo)》對運(yùn)算律提出了兩方面的要求：一是探索并理解運(yùn)算律（加法交換律和結(jié)合律、乘法交換律和結(jié)合律、乘法對加法的分配律），能用字母表示運(yùn)算律。二是能運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算，解決相關(guān)的簡單實(shí)際問題，形成運(yùn)算能力。

一是從運(yùn)算、解決問題兩個(gè)目標(biāo)看，要合理開展結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。二是運(yùn)算律作為一種數(shù)學(xué)思想的高度教學(xué)，建立“合并和抵消”的運(yùn)算思想。同類事件，可交換順序再做，但不改變事件的本質(zhì)。合并思想就是相同的事合并做，抵消思想就是不同的事抵消做。

綜上，我們發(fā)現(xiàn)加法乘法交換律、加法乘法結(jié)合律、乘法分配律都經(jīng)歷了情境引入、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和應(yīng)用規(guī)律，更多停留在“形”上理解運(yùn)算律，讓人感覺有形無神。我們認(rèn)為可以從算法到算律，以猜想、推理、驗(yàn)證的方式，把在加減法中認(rèn)識(shí)到的運(yùn)算思想推及乘除運(yùn)算，形成運(yùn)算的結(jié)構(gòu)化知識(shí)，同時(shí)也符合學(xué)生認(rèn)知，更能形神兼?zhèn)洹?/p>

三、結(jié)構(gòu)整合：怎樣整合和拓展

基于以上思考，我們認(rèn)為可以這樣整合和拓展：

一是把加法交換律和加法結(jié)合律整合成一節(jié)課，乘法交換律和乘法結(jié)合律整合成一節(jié)課。交換律都是交換位置改變運(yùn)算順序，結(jié)合律是先算后面，再算前面，也是改變運(yùn)算順序。本質(zhì)上都是改變連加的運(yùn)算順序，道理是一致的。理解改變依據(jù)就是三個(gè)數(shù)連加的意義，運(yùn)算順序變了得數(shù)不變，這樣來理解運(yùn)算律的意義。不同的是第一個(gè)內(nèi)容是連加運(yùn)算，第二個(gè)內(nèi)容是連乘運(yùn)算。學(xué)生掌握了加法運(yùn)算律，自然會(huì)遷移到乘法運(yùn)算律，推進(jìn)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。

二是增加一節(jié)減法和除法運(yùn)算性質(zhì)的拓展課。學(xué)完加法、乘法的交換律和結(jié)合律，學(xué)生自然而然會(huì)繼續(xù)想減法、除法中有沒有運(yùn)算律。小學(xué)階段，減法性質(zhì)類似減法的結(jié)合律，除法性質(zhì)類似除法的結(jié)合律。

三是保留《四則混合運(yùn)算順序和認(rèn)識(shí)中括號(hào)》、《乘法分配律》和單元練習(xí)課。

整合前8課時(shí)，整合后還是8課時(shí)。雖然課時(shí)一樣，但里面的內(nèi)涵不同，學(xué)生對運(yùn)算律的理解更加到位。

四、關(guān)鍵課例：大概念統(tǒng)攝下的單元教學(xué)

《加法運(yùn)算律》是重點(diǎn)課，《乘法分配律》是難點(diǎn)課?，F(xiàn)在我們將《加法運(yùn)算律》這節(jié)課作為關(guān)鍵課例進(jìn)行分析。首先確定教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)點(diǎn)：對材料進(jìn)行討論發(fā)現(xiàn)，在理解運(yùn)算律的意義中認(rèn)識(shí)運(yùn)算律，并會(huì)用字母表示。

技能點(diǎn)：能把運(yùn)算規(guī)律用自己的語言表達(dá)，能運(yùn)用運(yùn)算律巧算，解決簡單的實(shí)際問題，體會(huì)巧算的方便。

體驗(yàn)點(diǎn)：加強(qiáng)對運(yùn)算律的理解，體會(huì)加減法同級(jí)運(yùn)算律為一個(gè)整體，形成“合并抵消”運(yùn)算思想。

教學(xué)過程：

（一）情境引入，形成素材

選材：老師手中有10顆糖，淘氣又給了老師4顆，笑笑也給了老師3顆。老師現(xiàn)在有幾顆糖？

1.可以怎么列算式？

10+4+3 ? 10+3+4 ? 10+（4+3）

2.為什么可以這樣列式？說一說表示什么意思？

3.你能結(jié)合情境再舉一些像這樣的例子嗎？

15+5+6 ? ? 15+6+5 ? ?15+（5+6）

20+4+8 ? ? 20+8+4 ? ?20+（4+8）

……

【設(shè)計(jì)意圖：用拿糖的事導(dǎo)入新課。讓學(xué)生非常清晰的感知老師拿進(jìn)糖與加上一個(gè)數(shù)的聯(lián)系，并聯(lián)系生活其他情景舉例，為探索運(yùn)算律感受運(yùn)算思想提供學(xué)習(xí)素材，以及充分的探討做準(zhǔn)備，感受混合運(yùn)算是對解決問題程序的一種綜合記錄?！?/p>

（二）討論素材，形成結(jié)構(gòu)

選材：

10+4+3 ? ? ?10+3+4 ? ? ?10+（4+3）

15+5+6 ? ? ?15+6+5 ? ? ?15+（5+6）

20+4+8 ? ? ?20+8+4 ? ? ?20+（4+8）

……

1.仔細(xì)觀察上面的素材，小組討論發(fā)現(xiàn)了什么？

第一問：什么沒變？讓生明白，運(yùn)算結(jié)果不變，事件也沒，都是拿進(jìn)糖。

第二問：什么變了？事件的先后順序變了，交換了一下事件的先后順序。

第三問：這樣的變都可以嗎，因?yàn)椴还茉趺醋?，其結(jié)果不受影響。

2.用字母表示規(guī)律：a+b+c=a+c+b=a+（b+c）

3.引出運(yùn)算律

像這樣的a+b+c=a+c+b我們稱為加法交換律。

像這樣的a+b+c=a+（b+c）我們稱為加法結(jié)合律。

【設(shè)計(jì)意圖：以現(xiàn)實(shí)素材為背景，幫助孩子在現(xiàn)實(shí)情境中理解領(lǐng)會(huì)運(yùn)算思想，感受交換、合并只是事件的先后順序發(fā)生了改變，結(jié)果并沒有變化，從“形式”探究走向“意義”建構(gòu)?！?/p>

4.感受運(yùn)算律的簡便

在我們小學(xué)四年的學(xué)習(xí)中，以前有遇到過嗎？（出示書本素材）

三上第18頁，捐書活動(dòng)（三位數(shù)連加）中出現(xiàn)：727+114+86

三上第22頁，結(jié)余多少錢中出現(xiàn)：653+97+203

第一問：三年級(jí)時(shí)按順序算是怎么算的？

第二問：現(xiàn)在你覺得還可以怎么算？

第三問：為什么按順序算不方面？

第四問：為什么用了運(yùn)算律后變簡便了？

小結(jié)：看來用上加法交換律或結(jié)合律后，可以使得計(jì)算變得更簡便。

【設(shè)計(jì)意圖：通過具體例子，感受交換律、結(jié)合律帶來的計(jì)算便捷?！?/p>

5.小練習(xí)：快速算

27+95+73 ? ? 27+95+105 ? ?27+95+84

問題一：所有的加法計(jì)算都能用運(yùn)算律后變簡便嗎？

問題二：什么時(shí)候能用交換律、結(jié)合律？什么時(shí)候不能用？

再次小結(jié)：使用加法交換律、結(jié)合律時(shí)，要考慮數(shù)字特征，當(dāng)當(dāng)交換或合并起來剛好是整十、整百數(shù)的時(shí)候我們才會(huì)去運(yùn)用，才會(huì)起到簡便計(jì)算的效果。

【設(shè)計(jì)意圖：為什么要交換、合并？基于對數(shù)字特征的需要，當(dāng)交換或合并起來剛好是整十、整百數(shù)的時(shí)候我們才會(huì)去合并。所以合并的前提是數(shù)字的特征需要，而且交換、合并前與合并后計(jì)算結(jié)果是不變的。讓學(xué)生感受到思想模型的產(chǎn)生是為了方便計(jì)算?！?/p>

（三）猜想拓展，減法延伸

1.問題一：是否在看到能湊整十、整百數(shù)時(shí)，就能去湊去用運(yùn)算律。

舉例：314-198+2

能否用結(jié)合律變成314-（198+2）？為什么？

生：不能，計(jì)算結(jié)果不同，因?yàn)橛袦p法，沒有減法結(jié)合律。

嘗試用糖果的情境來說一說兩個(gè)算式為什么不同。

2.追問問題二：那是不是有減法的同級(jí)運(yùn)算就不能用交換律、結(jié)合律？

舉例：376+85-76 ? ? ?273-79-73 ? ?314-198-2

仔細(xì)觀察算式能否簡便計(jì)算？

結(jié)合分糖果的情境說一說為什么可以用交換律和結(jié)合律。

前兩個(gè)例子：讓學(xué)生明白，運(yùn)算結(jié)果不變，事件也沒，都是拿進(jìn)或者拿出糖。我們在用交換律時(shí)，要帶著符號(hào)換位置，符號(hào)是方向，也是事件的性質(zhì)，交換后只是事件的先后順序變了。如果不帶著符號(hào)換位置，事件就會(huì)發(fā)生改變，例如+4表示拿進(jìn)4顆，而-4表示拿出4 顆。

第三個(gè)例子：這題是孩子們比較熟悉的，在連減中可以先把減數(shù)先相加，再一起減掉，也就是相同的事可以合并做。

3.小結(jié)：在加減同級(jí)運(yùn)算中，交換律就是：帶著符號(hào)換位置，只是改變了事件發(fā)生的先后順序。結(jié)合律：如果都是加，可以先把后面加數(shù)合起來再加，如果都是減，可以先把后面減數(shù)合起來再一起減，也就是相同事情合并做。

【設(shè)計(jì)意圖：從連加拓展到加減混合運(yùn)算，感受減法中也有運(yùn)算律。符號(hào)+數(shù)字，符號(hào)是方向，也是事件的性質(zhì)，數(shù)字是數(shù)量，也是事件的程度（我們可以稱其為“向量”），在不改變結(jié)果的前提下，我們可以改變事件發(fā)生的序，但是絕對不能改變事件發(fā)生的方向和數(shù)量，表現(xiàn)在記錄上就是：帶著符號(hào)換位置?！?/p>

（四）提出思考，有效遷移

加減同級(jí)運(yùn)算中，存在著交換律、結(jié)合律，想一想乘除法同級(jí)運(yùn)算中，有這樣的規(guī)律嗎？他又會(huì)是怎么樣的呢？我們下一次再一起研究。

【設(shè)計(jì)意圖：從加減同級(jí)運(yùn)算遷移到乘除法同級(jí)運(yùn)算，留給孩子一個(gè)思考的空間，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備?！?/p>