用ISM方法分析“函數(shù)及其表示”的內(nèi)容結(jié)構(gòu)

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 王曉麗 徐章韜

一、引言

“函數(shù)及其表示”是人教A版教材必修1第一章第二節(jié)的內(nèi)容，是學(xué)生邁進(jìn)高中學(xué)段，繼集合之后的第二個(gè)重要數(shù)學(xué)概念，也是今后學(xué)習(xí)各類具體函數(shù)和其他知識的重要基礎(chǔ)，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中占據(jù)重中之重的地位.學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，如何做好函數(shù)概念在初中與高中之間的過渡與銜接呢？老師和學(xué)生們也各有見解，見仁見智.這里用ISM這種方法來解析教材，以期做好兩種不同觀點(diǎn)下函數(shù)概念的過渡與銜接.

二、方法

教材是一種系統(tǒng)，是一種由構(gòu)成教材的各種要素和它們之間的相互關(guān)系組成的系統(tǒng).教材系統(tǒng)中的各個(gè)要素不是孤立存在，而是以一定的相互關(guān)系存在的.因此，要對教材的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，就要對教材各要素或知識點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行系統(tǒng)分析.當(dāng)所要分析的要素較少時(shí)，我們很容易理清各要素之間的相互關(guān)系，并可用語言的形式將其中的關(guān)系表達(dá)出來.但是當(dāng)面臨教材中一個(gè)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，往往需要很多前提知識作鋪墊.這些前提知識并不是孤立存在的，它們往往以互相關(guān)聯(lián)的復(fù)雜關(guān)系存在著，這時(shí)人腦便很難清晰地描述出各要素之間的關(guān)系.因此，若能用圖來表示教材中多個(gè)要素及其關(guān)系，便可使結(jié)構(gòu)清晰明了.

解釋結(jié)構(gòu)模型法（Interpretive Structural Modeling Method，簡稱ISM法）是實(shí)現(xiàn)上述目的的一個(gè)方法，它將圖論方法用于分析社會(huì)系統(tǒng)中復(fù)雜要素間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).若將ISM法運(yùn)用于教材分析中，可以最大限度地納入人們的經(jīng)驗(yàn)和主觀認(rèn)識，將教材結(jié)構(gòu)以易于理解的、可視化的圖形的形式呈現(xiàn)出來.

用ISM法分析教材結(jié)構(gòu)主要有以下四個(gè)步驟：

（1）抽出與所要分析的內(nèi)容相關(guān)的所有知識點(diǎn)；

（2）決定抽出的各個(gè)知識點(diǎn)之間的邏輯形成關(guān)系（有橫向的并列關(guān)系，也有縱向的上下級關(guān)系等）；

（3）制作有向圖和鄰接矩陣，這一步在很大程度上受分析者對該內(nèi)容的主觀認(rèn)識和理解的影響，因此需要分析者對教材很熟悉.通過求可達(dá)矩陣，將得到的形成關(guān)系變換成具有一定層級結(jié)構(gòu)的形成關(guān)系圖；

（4）根據(jù)可達(dá)矩陣或關(guān)系圖分析教材的結(jié)構(gòu)編排是否合理.

三、分析

本節(jié)教材內(nèi)容是“函數(shù)及其表示”，包含函數(shù)的概念和函數(shù)的表示法兩大塊內(nèi)容.毋庸置疑，函數(shù)的表示法是在學(xué)習(xí)函數(shù)的概念后隨即學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而教材也是如此編排，故此處不作分析，只對“函數(shù)的概念”這一模塊進(jìn)行具體分析.

第一，抽取知識點(diǎn).筆者根據(jù)對人教A版“函數(shù)的概念”教材內(nèi)容的分析，并結(jié)合自己的學(xué)習(xí)和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對與該內(nèi)容相關(guān)的知識點(diǎn)進(jìn)行了篩選，而不是把從簡單到復(fù)雜的所有涉及到的知識點(diǎn)全部抽取出來.按照此原則，抽出如下七個(gè)知識點(diǎn)：①數(shù)集、②函數(shù)、③定義域、④值域、⑤區(qū)間、⑥集合、⑦映射.

第二，決定要素間的形成關(guān)系.事實(shí)上，該步驟就是確定各個(gè)知識點(diǎn)之間的直接關(guān)系，即學(xué)習(xí)某個(gè)知識點(diǎn)之前，與哪些知識有必然的、直接的關(guān)系.筆者根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)綜合分析得到如下各要素之間形成關(guān)系的有向圖（如圖1）：

圖1 直接形成關(guān)系

然后將圖1中部分與部分間的形成關(guān)系進(jìn)行連接，可以繪制出全部知識點(diǎn)之間的形成關(guān)系圖，如圖2.

第三，繪制形成關(guān)系圖.以上圖2雖然給出了所有知識點(diǎn)之間的形成關(guān)系，但從圖中不能看出各知識點(diǎn)之間的層級結(jié)構(gòu)，根據(jù)此圖來分析教材的結(jié)構(gòu)很不方便.因此，若能將其變換成具有一定層級結(jié)構(gòu)的形成關(guān)系圖，將會(huì)更加便于讀者理解.具體過程如下：

圖2 所有知識點(diǎn)間的形成關(guān)系圖

如知識點(diǎn)①，它具有可達(dá)知識點(diǎn)②③④⑤和先行知識點(diǎn)⑥，用集合的方式表示為R1={2，3，4，5}，A1={6}.以此類推，可得R2={0}（記此處表示空集合），A2={1，3，4，7}；R3={2，7}，A3={1，6}；R4={2，7}，A4={1，6}；R5={0}，A5={1}；R6={1，3，4，7}，A6={0}；R7={2}，A7={3，4，6}.

其中R2={0}，表示知識點(diǎn)②沒有可達(dá)知識點(diǎn)，應(yīng)屬于最高層級.將知識點(diǎn)②從圖2中取出，對剩余的知識點(diǎn)再次繪制形成關(guān)系圖，并計(jì)算出此時(shí)每個(gè)知識點(diǎn)的可達(dá)知識點(diǎn)集合和先行知識點(diǎn)集合，然后再次找出該關(guān)系圖中位于最高層級的知識點(diǎn)，此時(shí)為知識點(diǎn)⑤和⑦.依照此方法進(jìn)行下去，可以得到所有知識點(diǎn)的層級分布（如表1）.根據(jù)層級分布，可以將圖2變換為圖3的層級結(jié)構(gòu)圖.圖3即為表示該部分教材結(jié)構(gòu)的形成關(guān)系圖.

表1 知識點(diǎn)的層級分布

圖3 知識點(diǎn)間的層級結(jié)構(gòu)圖

第四，討論教材編排的合理性.

首先，根據(jù)以上分析，“函數(shù)的概念”是本節(jié)內(nèi)容中位于最高層級的知識點(diǎn)，因此在講解該知識點(diǎn)之前，應(yīng)先將其他六個(gè)知識點(diǎn)分別進(jìn)行不同層次的介紹.但是，人教A版教材在一個(gè)實(shí)例之后直接引入函數(shù)的概念，然后再分別介紹定義域、值域、區(qū)間和映射這些知識點(diǎn).這樣的結(jié)果不僅不能清晰地展現(xiàn)出各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，而且導(dǎo)致學(xué)生在理解函數(shù)的概念時(shí)顯得非常吃力.函數(shù)在整個(gè)高中階段都是一條學(xué)習(xí)主線，如果學(xué)生不能對此概念理解透徹，那么對今后的學(xué)習(xí)將會(huì)產(chǎn)生很大的障礙.

綜上，函數(shù)是核心概念，定義域、值域、區(qū)間等是一些從屬概念.在介紹核心概念之前，必須先掃清外圍障礙，然后集中火力攻克核心難點(diǎn).事實(shí)上，定義域、值域在初中已有介紹，而且那時(shí)的概念和此時(shí)的概念別無二致.如果基于這些概念來引入函數(shù)的概念，很容易引入觀念的變遷：要在兩個(gè)集合之間尋找對應(yīng)關(guān)系、映射關(guān)系.這樣生動(dòng)活潑的運(yùn)動(dòng)學(xué)說下的函數(shù)概念，變得精細(xì)了，并且進(jìn)行到形式微觀層面了.

其次，教材中在講解了與函數(shù)相關(guān)的所有知識點(diǎn)之后，很突兀地在結(jié)尾處編排了“映射”這一概念.而高中生對函數(shù)和映射這兩個(gè)概念的理解有一定的困難，對兩者之間的關(guān)系也不是很明白，這樣編排更加擾亂了這兩個(gè)概念之間的從屬關(guān)系.函數(shù)是映射的一種特殊形式，映射的定義域和值域可以是任何形式的集合，而函數(shù)只能定義在數(shù)集上，兩者的對應(yīng)法則沒有根本性的差別.

因此，根據(jù)上述分析，筆者認(rèn)為教材應(yīng)該在編排函數(shù)的概念之前，先對集合、數(shù)集、區(qū)間這三個(gè)簡單概念作些簡單的介紹，然后引進(jìn)映射的概念.進(jìn)而通過映射的概念，把原象集限定在數(shù)集上，溝通定義域和值域這兩個(gè)構(gòu)成函數(shù)的主要要素之間的關(guān)系，最后介紹函數(shù)的概念.這樣的編排結(jié)構(gòu)才既能使各知識點(diǎn)間的關(guān)系一目了然，又方便學(xué)生理解，還能使學(xué)生認(rèn)識到初中的函數(shù)概念與高中的函數(shù)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系.

四、結(jié)語

在進(jìn)行教材教學(xué)序列的安排時(shí)，由于教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、價(jià)值觀、思考方法、認(rèn)知特點(diǎn)的不同，而導(dǎo)致的分析結(jié)果會(huì)有所差異，往往會(huì)出現(xiàn)“公說公有理，婆說婆有理”的局面.教育信息大多是一些量度水平較低的信息，對這些信息的處理較為困難，如果能借助一定的方法和工具使教育研究走上科學(xué)的量化之路，或許對解決一些教育問題有一定的幫助.本文基于ISM方法做了一種嘗試，以期拋磚引玉.