從“量”的視角剖析一個(gè)“一題多解”案例

☉浙江省紹興市第一中學(xué) 徐 萍

文［1］提供了一個(gè)生動(dòng)的“一題多解”案例，反復(fù)學(xué)習(xí)后，筆者認(rèn)為進(jìn)一步探討：有利于我們對向量的工具性和思想方法有更深刻的理解；有助于我們對“一題多解”教學(xué)形式更好地認(rèn)識與評價(jià).本文選取“量”這一視角，對文［1］“一題多解”進(jìn)行解題分析.

一、說明

文［1］的“題”是2009安徽數(shù)學(xué)卷（理）的第14題（附后）.所提5種解法具體過程本文從略，在后續(xù)討論中適當(dāng)轉(zhuǎn)述.

給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓?。ㄉ献儎?dòng).若，其中x，y∈R，則x+y的最大值是________.

二、從“量”的視角剖析案例

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，故而從量的視角觀察、分析問題及其結(jié)構(gòu)關(guān)系應(yīng)是一種最基本的思維模式.量是一個(gè)寬泛的概念，可以分解細(xì)化指向一些具體的數(shù)學(xué)對象和內(nèi)容.

1.抓住“已知量、未知量和待求量”

抓住上述三量是解決問題的基本保障，思維展開的難點(diǎn)與關(guān)鍵是“如何從向量轉(zhuǎn)入數(shù)量？”

學(xué)生的問題是，沒養(yǎng)成分析“已知量、未知量和待求量”的解題習(xí)慣，不能從整體上認(rèn)識和把握問題實(shí)質(zhì)；選不準(zhǔn)問題切入口，解題盲目性大，過早陷入細(xì)節(jié)操作，從而缺乏方法選擇、判斷、調(diào)控的所必需的敏捷性和靈活性.從案例呈現(xiàn)授課教師的提問及聽課老師的評說，我們感受以上的認(rèn)識與引導(dǎo)明顯缺乏.學(xué)會觀察已知量、未知量與待求量，尋找它們之間的關(guān)系是整個(gè)解題活動(dòng)的中心，教師的一個(gè)重要任務(wù)，正如波利亞所說：應(yīng)當(dāng)對對他的思路稍加渲染，而且向自己提出那些他在幫助學(xué)生時(shí)所使用的同樣的一些問題.受益于這樣的引導(dǎo)，學(xué)生最終將發(fā)現(xiàn)這些問題和建議的正確用法.而且通過這樣去做，學(xué)生將學(xué)到一些比任何具體的數(shù)學(xué)知識更重要的東西.

2.辨清“常量、參變量和變量”

通過辨識變與不變，將問題升華為用“函數(shù)與方程觀點(diǎn)”引領(lǐng)思考，對已知量、未知量和待求量作進(jìn)一步分析，以“變與不變”為切入口，得到以下觀察結(jié)果：對向量，，它們的模為1，夾角120°為常量雖在動(dòng)，但它的模為不變量1；變量是x，y，x+y.在此基礎(chǔ)上我們分析解法1和解法2的動(dòng)機(jī)、依據(jù)和優(yōu)缺點(diǎn)：

以上的思考，明顯是對“已知量、未知量和待求量”進(jìn)一步深入分析.

3.識別“等量、同一個(gè)量”

這是產(chǎn)生形式上不同表示和引入運(yùn)算而不喪失相等關(guān)系的樸素觀念.

“同一個(gè)量”的概念也很重要，它有助于我們透過表象看本質(zhì)，學(xué)會根據(jù)解題需要選擇恰當(dāng)方式表示同一量.波利亞說過“列方程的關(guān)鍵就在于應(yīng)當(dāng)清楚的認(rèn)識到‘一個(gè)方程就是用兩種不同的方式去表示同一個(gè)量’”.解法3中對的坐標(biāo)表示就體現(xiàn)了這一觀念，而解法5對兩邊“作數(shù)量積”也有這層味道.

以上分析，等量和同一個(gè)量的視角選取，有助于我們靈活選擇量的表示、對量實(shí)施恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算變形，而它們都是解決問題的重要思維步驟，對形成樸素的、一般意義的數(shù)學(xué)觀也很重要.

4.把握“基向量、基本量”

將復(fù)雜關(guān)系以簡單、統(tǒng)一觀點(diǎn)處理，對“量x，y”幾何意義的追問使我們獲得新發(fā)現(xiàn).

也正是基于對“量x，y”幾何意義的追問，筆者對文［1］“缺憾”之“細(xì)節(jié)的處理不夠精準(zhǔn)，形成誤解”提出兩點(diǎn)看法：（1）解法4學(xué)生丁的圖4和修正后的圖6其實(shí)或多或少都有點(diǎn)問題，它不足以全面反映向量在基向量，方向分解效果，得到的只是α取特定值時(shí)平行四邊形（或三角形），需要指出的是，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到圓?。ㄖ悬c(diǎn)時(shí)，也即α=60°最為特殊（變化界點(diǎn)），得到的平行四邊形就是OACB，圖4適當(dāng)調(diào)整，可以刻畫α＞60°情形，而圖6是刻畫α＜60°情形，若要全面觀察運(yùn)動(dòng)變化效果，最好借助信息技術(shù)演示；（2）文［1］對原授課教師變式問題沒有理解好，限制條件，對“點(diǎn)C在△ABC的內(nèi)部（包括邊界）”是正確的，而改為是錯(cuò)的，它只是對“點(diǎn)C在扇形域OAB的內(nèi)部（包括邊界）”的范圍的一種初步刻畫，而且還存在問題：因?yàn)閤，y之間是具有相互約束關(guān)系的，譬如當(dāng)x=0.5時(shí)，y的取值還是0≤y≤嗎？進(jìn)而筆者提出一個(gè)新問題：將文［1］中變式“點(diǎn)C在△ABC的內(nèi)部（包括邊界）”改為“點(diǎn)C在扇形域OAB的內(nèi)部（包括邊界）”，試問動(dòng)點(diǎn)M（x，y）所構(gòu)成的區(qū)域面積如何解決.筆者覺得用初等方法難以實(shí)現(xiàn)，不知各位有何高招？請不吝賜教！

1.繆荷芳.一節(jié)高三“一題多解”課的聽課感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2012，1-2.

2.張奠宙，柴俊.欣賞數(shù)學(xué)的真善美［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2010，1-2.

3.羅增儒.課例反思時(shí)時(shí)有，教師發(fā)展步步高——教學(xué)應(yīng)是一種學(xué)術(shù)活動(dòng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上半月），2008，1-2.