基于多目標(biāo)遺傳算法的差速器殼體輕量化設(shè)計(jì)

黃 杰，阮景奎*，張一兵，舒宗敏

（1.湖北汽車工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院；2.鄖西精誠汽配有限公司：十堰 442002）

0 引言

近年來，在響應(yīng)國家“雙碳”目標(biāo)落地推進(jìn)的過程中，新能源產(chǎn)業(yè)得到飛速發(fā)展，新能源汽車的市場占有量愈來愈高。而結(jié)構(gòu)輕量化技術(shù)是推進(jìn)新能源汽車發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)之一，受到業(yè)界廣泛關(guān)注。付強(qiáng)等[1]基于鋁合金材料的應(yīng)用，用ABAQUS 軟件分析了車架的靜強(qiáng)度性能，并通過分析結(jié)果反推車架的材料強(qiáng)度分布，實(shí)現(xiàn)了可滿足各項(xiàng)指標(biāo)要求的車架輕量化設(shè)計(jì)。周松等[2]對整車部件進(jìn)行位移、強(qiáng)度、模態(tài)和質(zhì)量的靈敏度計(jì)算，定義相對靈敏度；并運(yùn)用相對靈敏度分析的結(jié)果確定優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，在保證整車動(dòng)靜態(tài)性能的基礎(chǔ)上，通過靈敏度分析對整車結(jié)構(gòu)進(jìn)行尺寸和形狀優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化。阮景奎等[3]針對汽車轉(zhuǎn)向垂臂進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，以垂臂體積最小和極限工況下最大應(yīng)力最小作為設(shè)計(jì)目標(biāo)，先對其拓?fù)鋬?yōu)化，而后對拓?fù)鋬?yōu)化區(qū)域重新進(jìn)行尺寸優(yōu)化，取得了較好的輕量化結(jié)果。Kim[4]選取汽車履帶桿的6 個(gè)變量（連桿厚度、連桿壁厚、縱肋數(shù)量、縱肋高度、縱肋厚度、橫肋厚度），通過CAE 分析研究履帶桿剛度和強(qiáng)度隨尺寸變化的規(guī)律；采用MatLab 軟件對試驗(yàn)設(shè)計(jì)的結(jié)果進(jìn)行分析，選取影響最大的因素建立最優(yōu)輕量化設(shè)計(jì)條件。Sookchanchai 等[5]針對汽車懸架下控制臂進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，以減輕重量和提高性能。

綜上，圍繞汽車零部件優(yōu)化的輕量化設(shè)計(jì)已取得顯著成果，但基本上以塑性材料作為優(yōu)化目標(biāo)，對鑄造件產(chǎn)品，如汽車差速器殼體的輕量化較少提及。作為鑄造件，差速器殼體的加工工藝以車、削、銑等尺寸加工為主，因此通過尺寸優(yōu)化實(shí)現(xiàn)部件減重是最為便捷的方法；但需要注意殼體作為主要承力部件的應(yīng)力分布變化情況。本文以某新能源乘用車的差速器殼體為研究對象，在起步和倒車時(shí)低轉(zhuǎn)速、大扭矩的工況下，以殼體相關(guān)厚度尺寸作為設(shè)計(jì)變量，基于多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行尺寸優(yōu)化，以期同時(shí)實(shí)現(xiàn)殼體的輕量化和極限工況下最大應(yīng)力的最小化。

1 差速器殼體模態(tài)分析

1.1 有限元模型建立

在導(dǎo)入有限元軟件進(jìn)行有限元模型求解之前，需要對差速器殼體的模型進(jìn)行簡化，以便劃分高精度網(wǎng)格，減少軟件運(yùn)算量，降低產(chǎn)生錯(cuò)誤解的概率。模型簡化的原則為忽略對性能分析基本無影響的孔、倒角、圓角、小構(gòu)件以及其他細(xì)節(jié)特征。本文涉及的差速器殼體材料為球墨鑄鐵（型號QT600-3），利用SolidWorks 實(shí)體軟件建立殼體參數(shù)化模型后，通過對應(yīng)的接口打開ANSYS 軟件，賦予材料屬性，得到差速器殼體的有限元模型如圖1 所示。

圖1 差速器殼體有限元模型Fig.1 Finite element model of the differential case

1.2 模態(tài)分析

依據(jù)該差速器殼體生產(chǎn)商提供的QT600-3 材料相關(guān)屬性，其密度為7.3×103kg·m-3，彈性模量為1.7×1011MPa，泊松比為0.3，屈服極限為370 MPa。模型網(wǎng)格劃分使用二階四面體單元，相較于一階四面體網(wǎng)格，其精度更高、收斂速度更快；網(wǎng)格尺寸為2.5 mm，最終得到的差速器殼體網(wǎng)格模型如圖2 所示，共計(jì)138 859 個(gè)單元、226 194 個(gè)節(jié)點(diǎn)。

圖2 差速器殼體網(wǎng)格模型Fig.2 Mesh model of the differential case

模態(tài)可衡量結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，是物體的固有屬性。差速器殼體在傳動(dòng)系統(tǒng)中主要受到從動(dòng)齒輪之間的嚙合頻率和轉(zhuǎn)動(dòng)頻率影響，以及由于路面激勵(lì)而引起的振動(dòng)。

本文所研究的某新能源電動(dòng)車額定轉(zhuǎn)速為5000 r·min-1；主動(dòng)齒輪齒數(shù)z1為20，一檔齒輪以及倒車檔齒輪齒數(shù)z2和z3分別為45 和52，從動(dòng)齒輪齒數(shù)z4為90。從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)速為n，轉(zhuǎn)動(dòng)頻率[6]為

嚙合頻率[6]為

由式(1)、式(2)可以求出該新能源電動(dòng)車差速器從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率和嚙合頻率分別為18.5 Hz 和1665 Hz。

考慮差速器殼體的固有振動(dòng)特性由其低階模態(tài)頻率決定，結(jié)合差速器殼體實(shí)際運(yùn)動(dòng)工況計(jì)算其前4 階約束模態(tài)。在ANSYS 中約束殼體兩側(cè)大端和小端圓柱面位置上的徑向、切向、軸向位移，以及兩處行星孔圓柱面上的軸向位移，通過迭代法求解出殼體前4 階模態(tài)的固有頻率，如表1 所示。

表1 差速器殼體模態(tài)計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results of the differential case modal

由表1 可知，差速器殼體結(jié)構(gòu)的一階固有頻率超過4500 Hz。比較此前計(jì)算的從動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)頻率和嚙合頻率，同時(shí)考慮路面激勵(lì)頻率一般在50 Hz左右[7]，可以排除殼體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振的可性。

2 差速器殼體有限元分析

2.1 極限工況分析

相較于傳統(tǒng)燃油車動(dòng)力輸出平順的特點(diǎn)，以電能為動(dòng)力驅(qū)動(dòng)的新能源乘用車在起步和倒車時(shí)其傳動(dòng)系統(tǒng)的工況特點(diǎn)是低轉(zhuǎn)速、大扭矩。而差速器作為動(dòng)力輸出端，其殼體承擔(dān)了極限工況下的力作用。查閱文獻(xiàn)[8]得知，差速器在電動(dòng)機(jī)最大扭矩且一檔傳動(dòng)時(shí)所受扭矩最大。因此，本文選定以下2 種工況進(jìn)行差速器殼體的靜力學(xué)分析：

1）起步工況——電能驅(qū)動(dòng)下電機(jī)最大扭矩輸出且一檔傳動(dòng)。

2）倒車工況——電能驅(qū)動(dòng)下電機(jī)最大扭矩輸出且倒檔傳動(dòng)。

2.2 靜力學(xué)分析

按照上述車輛行駛工況，同時(shí)以滿足差速器殼體使用安全系數(shù)至少為1.2 的要求進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)[9]。給定該新能源乘用車型的相關(guān)動(dòng)力參數(shù)如表2 所示，可計(jì)算得到：輸入到差速器上的轉(zhuǎn)矩在起步工況下為7 775.74 N·m，在倒車工況下為6 918.43 N·m。再由力學(xué)分析軟件Romax Designer 計(jì)算出2 種工況下差速器殼體x、y、z方向的受力，如表3 所示。

表2 新能源乘用車的整車動(dòng)力參數(shù)Table 2 The overall vehicle power parameters of new energy passenger vehicle

表3 極限工況下差速器殼體受力Table 3 Forces on the differential case under extreme conditions

按照1.2 節(jié)中建立的差速器殼體約束條件，施加極限工況下的載荷，在WorkBench 靜力學(xué)模塊中進(jìn)行分析求解可知：殼體最大應(yīng)力在起步工況下為203.85 MPa（見圖3(a)），在倒車工況下為217.32 MPa（見圖3(b)），均小于其材料屈服極限；殼體安全系數(shù)為1.7，大于最低使用安全系數(shù)1.2。因此，該結(jié)構(gòu)具有充足的優(yōu)化空間，可以進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。

圖3 差速器殼體靜力學(xué)分析Fig.3 Static analysis of the differential case

3 基于多目標(biāo)遺傳算法的差速器殼體優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 優(yōu)化的約束條件及目標(biāo)函數(shù)

在SolidWorks 中對差速器殼體的尺寸實(shí)施參數(shù)化驅(qū)動(dòng)后，以模型中的參數(shù)化部位作為設(shè)計(jì)區(qū)域。為了有更好的優(yōu)化結(jié)果，選取差速器殼體各個(gè)部位的厚度和長度作為設(shè)計(jì)變量，即：X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9)=(H1,L1,H2,L2,H3,L3,L4,L5,H4)，如圖4 所示。

圖4 差速器殼體設(shè)計(jì)變量Fig.4 Design variables of the differential case

可以看到，所有選定的設(shè)計(jì)變量均與殼體厚度、長度相關(guān)；而涉及差速器殼體裝配的位置（如半軸孔、行星孔、法蘭部位螺栓孔以及腔體內(nèi)部內(nèi)檔、止口等部位）的尺寸參數(shù)、位置度及同軸度等均沒有變化，不會(huì)影響裝配，故不考慮。同時(shí)為避免參數(shù)化區(qū)域中某個(gè)尺寸過大的自由變形導(dǎo)致整體畸形，參考設(shè)計(jì)圖紙，設(shè)置各設(shè)計(jì)變量的取值范圍：15.3 mm≤x1≤17.0 mm；24.85 mm≤x2≤26.00 mm；28.25 mm≤x3≤29.00 mm；16.3 mm≤x4≤18.0 mm；24.0 mm≤x5≤27.0 mm；14.4 mm≤x6≤17.6 mm；36.8 mm≤x7≤39.0 mm；27.0 mm≤x8≤30.0 mm；14.4 mm≤x9≤17.0 mm。

以差速器殼體總質(zhì)量最小以及起步和倒車工況最大應(yīng)力最小為優(yōu)化目標(biāo)，同時(shí)殼體結(jié)構(gòu)的屈服強(qiáng)度和變形量均需滿足安全標(biāo)準(zhǔn)下的極限屈服強(qiáng)度和極限變形量要求，建立多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

式中：m(x)為殼體質(zhì)量，kg；σ(x)為極限工況下的最大應(yīng)力，MPa；s(x)為極限工況下的變形量，mm；[σ]為材料的極限屈服強(qiáng)度，MPa；[S]為材料的極限變形量，mm；Xmin和Xmax分別為設(shè)計(jì)變量的下限值和上限值。

3.2 響應(yīng)面分析

基于多目標(biāo)遺傳算法求解差速器殼體優(yōu)化的Pareto 解集之前，通過ANSYS 軟件中的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（DOE）模塊[10]，根據(jù)設(shè)計(jì)變量的可行域，采用最佳空間填充設(shè)計(jì)法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，以構(gòu)建一個(gè)準(zhǔn)確的響應(yīng)面來擬合設(shè)計(jì)變量同目標(biāo)函數(shù)之間的隱式關(guān)系。完成響應(yīng)面分析后，得到各試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)的離散圖如圖5 所示?？梢钥闯?，質(zhì)量、起步工況最大應(yīng)力以及倒車工況最大應(yīng)力三者都十分靠近對角線位置，反映出它們與設(shè)計(jì)變量的擬合程度較高[11]。相反，如果試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)較為離散，擬合程度差，說明設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)函數(shù)之間存在錯(cuò)誤關(guān)系，此類優(yōu)化問題無法得出正確的解。

圖5 響應(yīng)面擬合離散圖Fig.5 Fitting discrete graph of response surface

通過響應(yīng)面分析得到各設(shè)計(jì)變量對質(zhì)量和極限工況下最大應(yīng)力的局部靈敏度如圖6 所示，它反映了輸入?yún)?shù)對輸出參數(shù)的影響。顯見，差速器殼體上大端厚度x1、法蘭后外廓高度x3及法蘭厚度x6等設(shè)計(jì)變量對于質(zhì)量的靈敏度呈現(xiàn)正相關(guān)性，但是對最大應(yīng)力的靈敏度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)性，說明質(zhì)量與最大應(yīng)力這兩個(gè)目標(biāo)相互矛盾。鑒于此，需通過多目標(biāo)遺傳算法的優(yōu)化，在保證輕量化的前提下，得到符合結(jié)構(gòu)應(yīng)力最小的設(shè)計(jì)變量解。

圖6 設(shè)計(jì)參數(shù)的局部靈敏度Fig.6 Local sensitivity of design parameters

3.3 算法求解

多目標(biāo)遺傳算法NSGA-Ⅱ不僅能夠降低計(jì)算的復(fù)雜度，提高精度，還能夠保證Pareto 解集的多樣性，很適合全局領(lǐng)域的最大、最小值的多目標(biāo)求解問題。根據(jù)3.1 節(jié)建立的多目標(biāo)優(yōu)化模型，設(shè)置初始種群數(shù)3000 個(gè)，交叉概率為0.8，迭代次數(shù)為40，最大候選點(diǎn)個(gè)數(shù)為3。通過ANSYS 軟件優(yōu)化求解，經(jīng)過40 次迭代計(jì)算，或當(dāng)80%的樣本數(shù)布落在Pareto 前沿時(shí)迭代完成。根據(jù)圖7 所示的迭代過程可以看出，此次迭代在穩(wěn)定性低于2%時(shí)趨于收斂，在12 次優(yōu)化迭代后達(dá)到收斂。

圖7 目標(biāo)函數(shù)的迭代過程Fig.7 Iterative process of objective function

最終求解得到1 組差速器殼體的Pareto 解集，如圖8 所示；此外，系統(tǒng)根據(jù)最大候選點(diǎn)數(shù)，提供了3 組優(yōu)化方案，其中任意1 組都可作為確定結(jié)果，在選定其一之后與初始結(jié)構(gòu)參數(shù)的對比如表4 所示。表中還包含根據(jù)差速器殼體的車、銑加工工藝要求，以及對設(shè)計(jì)變量優(yōu)化值進(jìn)行圓整的取值。

表4 差速器殼體設(shè)計(jì)變量優(yōu)化結(jié)果對比Table 4 Comparison of optimization results of design variables of the differential case單位：mm

圖8 差速器殼體Pareto 解集Fig.8 Pareto solution set of the differential case

3.4 工藝尺寸鏈分析

如前所述，所選的壁厚設(shè)計(jì)變量均是在不影響裝配情況下進(jìn)行優(yōu)化的，為進(jìn)一步保證殼體在后續(xù)機(jī)加工工藝中參照給定的優(yōu)化工藝參數(shù)加工后不會(huì)出現(xiàn)壁厚差異過大而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)強(qiáng)度變化，對殼體軸向零件尺寸鏈以及徑向裝配尺寸鏈進(jìn)行分析。如圖9 所示：差速器殼體零件圖紙給定其軸向尺寸總長L為(157.1±0.1) mm，徑向尺寸H為(84.24±0.1) mm，殼體上半軸孔直徑為31 mm，弧面水平方向尺寸為29.25 mm。根據(jù)封閉環(huán)基本尺寸等于所有增環(huán)尺寸之和減去所有減環(huán)尺寸之和可知，參照圖4，徑向封閉環(huán)尺寸為

圖9 差速器殼體尺寸鏈分析Fig.9 Dimensional chain analysis of the differential case

軸向封閉環(huán)尺寸為

根據(jù)優(yōu)化后的圓整值求得：H0=(15.5±0.1) mm，L0=(29.25±0.1) mm。根據(jù)結(jié)果可知，徑向和軸向封閉環(huán)的尺寸分別吻合徑向裝配尺寸鏈以及殼體軸向零件尺寸鏈，這也是殼體參數(shù)化設(shè)計(jì)時(shí)約束了整體徑向和軸向尺寸的結(jié)果——通過尺寸鏈分析得到了設(shè)計(jì)變量優(yōu)化值的關(guān)聯(lián)性和可靠性，保證了機(jī)加工時(shí)厚度的均勻性。

進(jìn)而建立優(yōu)化后的差速器殼體三維模型，如圖10所示。相比于優(yōu)化前模型，輕量化模型的變化集中在大、小端以及腔體根部尺寸的減小，但對法蘭部位以及腔體外部和肩部應(yīng)力過大的地方增加材料進(jìn)行了加固。殼體的整體質(zhì)量由6.80 kg 減為6.10 kg，減少了10.3%

圖10 優(yōu)化后的差速器殼體模型Fig.10 Optimized model of the differential case

4 優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證對比

通過ANSYS 軟件，在同樣的載荷和邊界條件下，對優(yōu)化后的差速器殼體模型進(jìn)行靜力學(xué)分析，得到其應(yīng)力和變形云圖如圖11 和圖12 所示。

圖11 優(yōu)化后的差速器殼體應(yīng)力云圖Fig.11 Stress nephogram of the optimized differential case

圖12 優(yōu)化后的差速器殼體變形云圖Fig.12 Deformation nephogram of the optimized differential case

由圖11(a)可知，在起步工況下，優(yōu)化后模型的最大應(yīng)力為197.53 MPa，比優(yōu)化前模型的最大應(yīng)力203.85 MPa 減小了6.32 MPa。由圖11(b)知，在倒車工況下，優(yōu)化后模型的最大應(yīng)力為195.77 MPa，比優(yōu)化前模型的最大應(yīng)力217.32 MPa 減少了21.55 MPa。最終，輕量化后的差速器殼體最大應(yīng)力降低了9.9%，結(jié)構(gòu)安全系數(shù)為1.87（＞1.2），滿足強(qiáng)度要求。

由圖12(a)可知，優(yōu)化后模型的最大變形為0.084 mm，根據(jù)QT600-3 的材料延伸率δ≥3%，可知該最大變形量滿足材料安全應(yīng)用要求。

同時(shí)，通過應(yīng)力云圖可以看出，除應(yīng)力集中位置外，優(yōu)化后的差速器殼體在不同位置上無較大強(qiáng)度差異。

5 結(jié)束語

本文首先通過ANSYS 軟件計(jì)算差速器殼體有限元模型前4 階模態(tài)的固有頻率和靜力學(xué)分析，證明差速器殼體具備輕量化的設(shè)計(jì)空間；然后建立差速器殼體的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并通過最佳空間填充實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法得到目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面擬合度以及目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計(jì)變量的局部靈敏度；最終基于多目標(biāo)遺傳算法的優(yōu)化求解，參考Pareto 最優(yōu)解集，輕量化后的差速器殼體整體質(zhì)量減少了10.3%，最大應(yīng)力降低了9.9%，最大變形在安全范圍內(nèi)，證明通過多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)是可行的。本研究可為航天器部件結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)提供參考。