“超幾何分布”教學(xué)設(shè)計(jì)

何春強(qiáng)

摘? 要：通過(guò)不放回摸球試驗(yàn)，利用建立二項(xiàng)分布模型積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷抽象試驗(yàn)特征、推導(dǎo)分布列、直觀猜想并計(jì)算、驗(yàn)證超幾何分布隨機(jī)變量均值的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生辨析二項(xiàng)分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生積累建立概率模型的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)概率的決策作用.

關(guān)鍵詞：不放回抽樣；超幾何分布；區(qū)別與聯(lián)系

一、教學(xué)內(nèi)容解析

“超幾何分布”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第三冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第七章第4節(jié)“二項(xiàng)分布與超幾何分布”第2課時(shí)的內(nèi)容.“超幾何分布”是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一種離散型隨機(jī)變量的概率分布，與二項(xiàng)分布一樣，都是描述從有限（[N]）個(gè)物品（其中包含[M]個(gè)指定種類的物件）中抽出[n]個(gè)物品，成功抽出該指定種類物品次數(shù)的概率分布情況. 不同的是，二項(xiàng)分布采用有放回抽樣，超幾何分布采用不放回抽樣. 因其概率形式與超幾何函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式的系數(shù)有關(guān)，故稱為超幾何分布.

超幾何分布與二項(xiàng)分布都是特殊的離散型隨機(jī)變量的分布，在日常生活中大量存在，它們有著相同的數(shù)學(xué)期望，但抽取方式不同，超幾何分布更集中在均值附近. 但是當(dāng)[n]遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于[N]時(shí)，每抽取一次后，放回與不放回對(duì)[N]的影響都很小，此時(shí)，超幾何分布與二項(xiàng)分布近似.

“超幾何分布”一課內(nèi)容的學(xué)習(xí)安排在一般離散型隨機(jī)變量及其分布列之后，緊接二項(xiàng)分布，通過(guò)具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生感受放回抽樣與不放回抽樣的聯(lián)系與區(qū)別，這種從一般到特殊、從抽象到具象的辨析對(duì)比，關(guān)注了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了對(duì)本章知識(shí)的深度理解和完美總結(jié).

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

通過(guò)對(duì)比放回抽樣和不放回抽樣，說(shuō)明超幾何分布的特征，能求超幾何分布的分布列和均值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；能用自己的語(yǔ)言解釋二項(xiàng)分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別，并能夠選擇正確的模型解決實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：超幾何分布的概念，超幾何分布的分布列和均值.

教學(xué)難點(diǎn)：在實(shí)際問(wèn)題中抽象出模型的特征；超幾何分布期望的推導(dǎo)及區(qū)分二項(xiàng)分布和超幾何分布.

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已經(jīng)完整地學(xué)習(xí)了一般離散型隨機(jī)變量及其分布列的內(nèi)容，明確了研究離散型隨機(jī)變量及其分布列的一般方法. 同時(shí)，通過(guò)對(duì)二項(xiàng)分布的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)有放回摸球試驗(yàn)已經(jīng)非常熟悉，這些都有利于我們進(jìn)行不放回摸球試驗(yàn)的教學(xué). 但是超幾何分布的概率依托于古典概型，要借助組合數(shù)進(jìn)行計(jì)算，特別是對(duì)超幾何分布的數(shù)字特征進(jìn)行研究時(shí)，公式推理比較復(fù)雜，計(jì)算量也比較大. 另外，在對(duì)二項(xiàng)分布和超幾何分布進(jìn)行對(duì)比分析時(shí)，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的能力. 對(duì)此，通過(guò)設(shè)置有趣的情境案例，借助PPT、Excel等軟件激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算效率，讓學(xué)生直觀感受二項(xiàng)分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別.

四、教學(xué)策略分析

為了便于教學(xué)的順利切入和展開，本節(jié)課從一個(gè)有趣的生活案例引入，通過(guò)對(duì)有放回和不放回兩種抽獎(jiǎng)方式的對(duì)比分析，在學(xué)生作決策的過(guò)程中自然地提出超幾何分布的概念，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生猜想、推理、論證超幾何分布的均值. 再通過(guò)一個(gè)數(shù)據(jù)較大的摸球模型，借助Excel軟件的計(jì)算功能，讓學(xué)生感受超幾何分布和二項(xiàng)分布的聯(lián)系與區(qū)別. 通過(guò)從特殊到一般再到特殊的層層推進(jìn)，設(shè)計(jì)問(wèn)題串教學(xué)，以問(wèn)題的提出與解決為主線，始終在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)問(wèn)，通過(guò)不斷探究、發(fā)現(xiàn)，在師生互動(dòng)、生生互動(dòng)中完成超幾何分布的探究與學(xué)習(xí). 有效化解教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).

本節(jié)課采取啟發(fā)式教學(xué)和合作探究相結(jié)合的教學(xué)策略，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性，使每名學(xué)生都能經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的抽象過(guò)程，為不同認(rèn)知的學(xué)生提供學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)和幫助.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：實(shí)例引入，提出問(wèn)題.

問(wèn)題1：購(gòu)物節(jié)即將來(lái)臨，某商家擬推出一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)：在一個(gè)不透明的盒子里放有外觀相同的10個(gè)乒乓球，其中有3個(gè)乒乓球的表面上寫有“獎(jiǎng)”字，顧客消費(fèi)滿500元便可獲得兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次從盒中任意摸取一個(gè)球，抽中帶有“獎(jiǎng)”字的乒乓球，可以獲得50元代金券. 現(xiàn)有兩種抽獎(jiǎng)方式可供選擇——有放回抽獎(jiǎng)和不放回抽獎(jiǎng)，試?yán)盟鶎W(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，作出合理的決策方案.

師生活動(dòng)：每組學(xué)生分成兩個(gè)小組，分別進(jìn)行有放回抽獎(jiǎng)和不放回抽獎(jiǎng)兩種方案有關(guān)數(shù)據(jù)的計(jì)算，然后再進(jìn)行小組討論，作出合理的決策方案. 教師適時(shí)進(jìn)行指導(dǎo).

記中獎(jiǎng)的次數(shù)為[X]，獎(jiǎng)金為[Y]元，則[Y=50X].

事實(shí)上，若采用有放回抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)的概率均為0.3，且各次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，此時(shí)[X]服從二項(xiàng)分布，即[X?B2，0.3，EX=2×0.3=0.6，EY=][50EX=30]，[DX=2×0.3×0.7=0.42].

若采用不放回抽獎(jiǎng)，則每次抽取時(shí)條件不同，且各次抽取的結(jié)果不獨(dú)立，不滿足[n]重伯努利試驗(yàn)的特征，此時(shí)[X]不服從二項(xiàng)分布，只能根據(jù)古典概型求[X]的分布列. 而在不放回抽獎(jiǎng)過(guò)程中，逐個(gè)不放回抽取2個(gè)乒乓球和一次性抽取2個(gè)乒乓球結(jié)果相同，故可以用如下方法求[X]的分布列.

從10個(gè)乒乓球中任取2個(gè)共有[C210]種不同的取法，中獎(jiǎng)個(gè)數(shù)[X]的可能取值為0，1，2，恰有[k]個(gè)中獎(jiǎng)的取法有[Ck3C2-k7]種.

因?yàn)閮煞N抽獎(jiǎng)方式獲得代金券的數(shù)學(xué)期望值都是30，但不放回抽獎(jiǎng)的方差更小，所以選擇不放回抽獎(jiǎng)方式.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)具體的問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 學(xué)生積極思考并參與互動(dòng)，表達(dá)自己的見解，教師借機(jī)引入超幾何分布的概念.

環(huán)節(jié)2：抽象概念，辨析內(nèi)涵.

問(wèn)題2：?jiǎn)栴}1中不放回抽獎(jiǎng)方式不服從二項(xiàng)分布，你能說(shuō)說(shuō)這類不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特征嗎？你能根據(jù)這些特征嘗試歸納出這一類分布的概念嗎？

追問(wèn)1：公式[PX=k=CkMCn-kN-MCnN]中各個(gè)字母的含義是什么？

追問(wèn)2：公式[PX=k=CkMCn-kN-MCnN]中有關(guān)字母的取值范圍是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察、比較問(wèn)題1中的有放回抽樣和不放回抽樣，歸納出超幾何分布模型的特征，教師進(jìn)行總結(jié).

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有[N]件，其中有[M]件次品. 從[N]件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取[n]件（不放回），用[X]表示抽取的[n]件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則[X]的分布列為[PX=k=]

其中，[N]表示總體中的個(gè)體總數(shù)，[M]表示總體中的特殊個(gè)體總數(shù)（如次品總數(shù)），[n]表示樣本容量，[k]表示樣本中的特殊個(gè)體數(shù)（如次品數(shù)）.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)比較有放回抽樣和不放回抽樣，歸納出超幾何分布模型的特征，由特殊到一般地得出超幾何分布的分布列，加深學(xué)生的理解和思考.

例1? 一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格，隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考零件中不合格品的個(gè)數(shù)服從什么分布. 若服從超幾何分布，則公式中的[N，M，n，k]在此題中各是多少？學(xué)生基于思考給出以下解題過(guò)程.

在學(xué)生完成解題后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)還可以通過(guò)[PX≥1=1-PX=0]求解. 并再次強(qiáng)調(diào)超幾何分布的模型是不放回抽樣，在超幾何分布中，只需要確定參數(shù)[N，M，n]的值就可以根據(jù)公式求出[X]取不同值時(shí)的概率.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)該例的分析與解答，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解超幾何分布的概念及其特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

問(wèn)題3：根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，在定義了超幾何分布的概念后，要研究什么？

追問(wèn)：你能推導(dǎo)出服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立探究，然后展示、交流，教師予以引導(dǎo)、完善，最后師生共同總結(jié).

超幾何分布的方差計(jì)算比較復(fù)雜，不作要求，感興趣的學(xué)生可以嘗試推導(dǎo)：[DX=np1-pN-nN-1].

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)探究服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值，加深學(xué)生對(duì)超幾何分布的認(rèn)知，同時(shí)發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力.

環(huán)節(jié)3：例題練習(xí)，鞏固理解.

例2一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的小球，其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本. 用[X]表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).

（1）分別就有放回摸球和不放回摸球，求[X]的分布列及其數(shù)學(xué)期望；

（2）分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差的絕對(duì)值不超過(guò)0.1的概率.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考以下問(wèn)題.

（1）此題中每次摸球是什么試驗(yàn)？

（2）若采用有放回摸球，則各次試驗(yàn)的結(jié)果獨(dú)立嗎？[X]服從什么分布？

（3）若采用不放回摸球，則各次試驗(yàn)的結(jié)果獨(dú)立嗎？[X]服從什么分布？

因?yàn)橹挥袃煞N顏色的球，每次摸球都是一個(gè)伯努利試驗(yàn). 摸出20個(gè)球，若采用有放回摸球，則各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，[X]～[B20，0.4]；若采用不放回摸球，則各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，[X]服從超幾何分布.

（1）在抽樣試驗(yàn)（如抽次品或摸球模型）中，二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的[n]件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，有放回抽取服從二項(xiàng)分布，不放回抽取服從超幾何分布. 兩種分布的均值相同，但由于[np1-pN-nN-1

（2）對(duì)于超幾何分布，當(dāng)[N]充分大，且[n]遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于[N]時(shí)，各次抽樣結(jié)果彼此影響很小，可以近似認(rèn)為是相互獨(dú)立的. 因此，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似. 從方差角度看，由于[N-nN-1≈1]，故兩個(gè)分布的方差也近似相等.

（3）在確定分布列時(shí)，超幾何分布必須同時(shí)知道[N]和[M]的值，而二項(xiàng)分布只需要知道[p=MN]即可.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題辨析，深化學(xué)生對(duì)超幾何分布的理解，明確二項(xiàng)分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

環(huán)節(jié)4：小結(jié)提升，形成結(jié)果.

問(wèn)題5：回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并回答下列問(wèn)題.

（1）超幾何分布的分布列是怎樣的？

（2）超幾何分布的均值是多少？

（3）在抽樣試驗(yàn)（如抽次品或摸球模型）中，如何區(qū)分二項(xiàng)分布和超幾何分布？

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試獨(dú)立解決，其他學(xué)生進(jìn)行補(bǔ)充，最后師生共同總結(jié).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)問(wèn)題的深入思考，加深學(xué)生對(duì)超幾何分布的理解與認(rèn)知，使他們更加深刻地體會(huì)二項(xiàng)分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別.

環(huán)節(jié)5：目標(biāo)檢測(cè)，檢驗(yàn)效果.

1. 下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量[X]服從超幾何分布的是（? ? ）.

（A）將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)[X]

（B）從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)[X]

（C）某射手射擊的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為[X]

（D）盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，[X]是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)

2. 已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為______.

3. 在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：

（1）不放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)[ξ]的均值；

（2）有放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)[η]的均值.

【設(shè)計(jì)意圖】第1題和第2題檢測(cè)學(xué)生對(duì)本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容的理解和掌握程度，檢查學(xué)生能否準(zhǔn)確識(shí)別超幾何分布模型，能否求出超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望；第3題檢測(cè)學(xué)生對(duì)二項(xiàng)分布和超幾何分布區(qū)別的理解程度，是對(duì)本節(jié)課難點(diǎn)知識(shí)教學(xué)效果的即時(shí)檢測(cè).

環(huán)節(jié)6：布置作業(yè)，應(yīng)用遷移.

作業(yè)1：舉出一個(gè)服從超幾何分布的隨機(jī)變量的例子.

作業(yè)2：教材第81頁(yè)習(xí)題7.4第4題、第6題和第8題.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)自主舉例作業(yè)題的布置，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)超幾何分布概念的理解；通過(guò)教材習(xí)題強(qiáng)化學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的掌握，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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