“子彈打木塊”模型中“v-t”圖像面積表示的意義

黃偉

摘? ?要：碰撞問題是動(dòng)量守恒定律和能量轉(zhuǎn)化與守恒定律的重要模塊，“子彈打木塊”是碰撞問題中一個(gè)典型的物理模型。結(jié)合幾種典型“類子彈打木塊”模型，分析其中的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系，并從“v-t”圖像及其等效處理的角度分析其中的功能關(guān)系，總結(jié)其通用的規(guī)律，以達(dá)到事半功倍、觸類旁通的目的。

關(guān)鍵詞：碰撞；子彈打木塊；圖像面積

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2023）6-0056-4

1? ? 物理模型與類碰撞

1.1? ? 物理模型及模型建構(gòu)的意義

科學(xué)建模教學(xué)理論提出者海斯特斯（Hestenes）指出，“物理研究（學(xué)習(xí)）的過程即是對(duì)自然世界建模的過程”。自然界紛繁復(fù)雜，研究的實(shí)際問題往往有眾多的因素，為了研究問題的方便，在物理學(xué)中，常常采用“簡化”或“理想化”的方法對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行科學(xué)抽象處理，突出問題的主要因素，忽略次要因素，得到一種能反映原物質(zhì)本質(zhì)特性的理想物質(zhì)（條件、過程、狀態(tài)、結(jié)構(gòu)等），即為“物理模型”。在物理教學(xué)中，構(gòu)建物理模型，可以化繁為簡，從而觸類旁通。

1.2? ? 碰撞與類碰撞模型

碰撞基本模型的特點(diǎn)是作用時(shí)間很短，相互作用的內(nèi)力很大，外力往往可以忽略不計(jì)，碰撞過程遵循動(dòng)量守恒定律。碰撞是一種理想化過程模型，其主要因素是相互作用，次要因素是作用時(shí)間。從廣義上理解，任何一個(gè)相互作用的系統(tǒng)，當(dāng)不受外力或內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力時(shí)，其相互作用過程均可視為碰撞，稱為“類碰撞”模型。只要系統(tǒng)作用前后動(dòng)量守恒、系統(tǒng)最終速度相同，則可建構(gòu)成“類完全非彈性碰撞”模型，子彈打木塊就是一種典型的“類完全非彈性碰撞”模型。

2? ? “子彈打木塊”模型中的功能問題

2.1? ? “子彈打木塊”原型

如圖1所示，一質(zhì)量為mA的子彈以初速度v0水平射入質(zhì)量為mB且靜止在光滑水平面上的木塊（未擊穿），射入深度為d，設(shè)子彈與木塊的相互作用內(nèi)力恒為f。

子彈-木塊系統(tǒng)間的摩擦力做的總功為負(fù)功，將系統(tǒng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。碰撞問題中還有很多“類子彈打木塊”模型，通過一對(duì)相互作用內(nèi)力做負(fù)功，將系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為其他形式的能。

2.2? ? 幾種典型的“類子彈打木塊”模型

2.2.1? ? 動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能或電勢(shì)能

如圖2所示，在光滑水平面上，小球B靜止，小球A以初速度v0壓縮彈簧至共速的過程，系統(tǒng)通過彈簧彈力做負(fù)功，將系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能。同理，如圖3所示，在光滑水平面上，放置著帶同種電荷的小球A，B，小球B靜止，小球A以初速度v0沖向B至共速（未相遇）的過程，系統(tǒng)通過庫侖力做負(fù)功，將系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能。這兩種情況的v-t圖像均如圖4所示。

2.2.2? ? 動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能

如圖5所示，在光滑水平面上，靜止放置著帶有光滑圓弧曲面（底部與桌面相切）的滑塊B，小球A以初速度v0沖向B，至小球A上升到最高點(diǎn)與B共速的過程（設(shè)小球未越過滑塊），系統(tǒng)間相互作用彈力做功代數(shù)和為零。實(shí)質(zhì)為小球A與地球構(gòu)成的系統(tǒng)間相互作用引力做負(fù)功，將系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能，v-t圖像如圖6所示。

2.2.3? ? 動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能再轉(zhuǎn)化為焦耳熱

如圖7所示，足夠長的光滑平行雙金屬導(dǎo)軌固定于水平面上，置于方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，導(dǎo)體棒B靜止于導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒A以初速度v0沖向B，至導(dǎo)體棒A，B共速的過程（未相遇），系統(tǒng)通過一對(duì)安培力做負(fù)功，將系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能，再轉(zhuǎn)化為焦耳熱，v-t圖像如圖8所示。

“類子彈打木塊”過程中動(dòng)量及能量關(guān)系均與“子彈打木塊”原型相同，只需分析始末狀態(tài)，無需考慮中間過程，這也正體現(xiàn)了動(dòng)量守恒定律的優(yōu)越性。

3? ? v-t圖像面積對(duì)“子彈打木塊”模型中功能的表示

“子彈打木塊”模型中，由于相互作用力f為恒力，那么對(duì)應(yīng)的功W=fx，與其對(duì)應(yīng)的位移成正比，則可以把對(duì)應(yīng)的功能關(guān)系用系統(tǒng)v-t圖像對(duì)應(yīng)的線性面積來表示；上述“類子彈打木塊”模型中，由于系統(tǒng)間相互作用力F為變力，若對(duì)應(yīng)的功用F對(duì)相應(yīng)的位移x積分，則很復(fù)雜，此時(shí)系統(tǒng)v-t圖像對(duì)應(yīng)的面積也為非線性的。但由上述分析可知，“類子彈打木塊”過程中動(dòng)量及能量關(guān)系均與“子彈打木塊”模型相同，只需分析始末狀態(tài)，無需考慮中間過程，則仍然可以借助“子彈打木塊”模型中的v-t圖像所對(duì)應(yīng)的線性面積來等效表示“類子彈打木塊”模型對(duì)應(yīng)的功能。用v-t圖像面積表示的意義在于，從幾何的角度直觀地呈現(xiàn)了“類子彈打木塊”模型的功能關(guān)系。

3.1? ? 用v-t圖像面積分析“子彈打木塊”模型原型中的恒力做功中的功能關(guān)系問題

3.2? ? 借助恒力做功v-t圖像等效分析“類子彈打木塊”模型中非勻變速運(yùn)動(dòng)功能關(guān)系問題

4? ? 結(jié)? ?語

由上可知，用v-t圖像面積表示“子彈打木塊”模型的功能關(guān)系或等效地表示“類子彈打木塊”模型的功能關(guān)系，非常形象直觀、簡單明了，同時(shí)也體現(xiàn)了物理模型的意義。在物理教學(xué)中，善于建構(gòu)物理模型，有利于發(fā)展學(xué)生的科學(xué)思維，提升物理學(xué)科核心素養(yǎng)。

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（欄目編輯? ? 蔣小平）