解答菱形中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段和最值問(wèn)題的方法

戴尚亮

菱形具有平行四邊形的全部性質(zhì)，此外，它還具有一般平行四邊形所不具備的性質(zhì)，如四邊相等、對(duì)角線垂直、對(duì)角線平分對(duì)角、對(duì)角線一半的平方和等于邊長(zhǎng)的平方等.求解以菱形為背景，與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段和最值問(wèn)題，可結(jié)合菱形的軸對(duì)稱(chēng)特性、垂線段性質(zhì)來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)位置和最值情形.解題時(shí)利用菱形的對(duì)稱(chēng)性可推導(dǎo)等線段長(zhǎng)，也可對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而將線段和的最小值轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)來(lái)求解.

一、與一個(gè)動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段和最小值問(wèn)題

菱形中與一動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段和最小值問(wèn)題較為基礎(chǔ).解題時(shí)要審清題干，把握關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).首先要弄清楚取最值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)在菱形內(nèi)、菱形上以及菱形外的不同位置確定不同的解法，然后利用菱形的對(duì)稱(chēng)性，把菱形的兩條對(duì)角線當(dāng)作動(dòng)點(diǎn)與線段構(gòu)成的圖形的對(duì)稱(chēng)軸，作出線段的兩個(gè)端點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，將線段和的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為“兩個(gè)點(diǎn)之間，線段最短”的問(wèn)題來(lái)解答.

例1? 如圖1，已知菱形 ABCD 的兩條對(duì)角線分別為6和8，M、N 分別是邊 BC、CD 的中點(diǎn)，P 是對(duì)角線 BD上一點(diǎn)，求 PM +PN 的最小值.

分析：已知圖形 ABCD為菱形、菱形對(duì)角線長(zhǎng)度、M 點(diǎn)和 N 點(diǎn)的區(qū)域特征，那么同學(xué)們首先可連接菱形 ABCD 的對(duì)角線.隨后根據(jù) M 點(diǎn)和 N 點(diǎn)的區(qū)域特征，作 M 點(diǎn)在 AB線段上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) Q，將 PM +PN 的值轉(zhuǎn)變?yōu)镻N +PQ 的值.同時(shí)此題要求最小值，那么根據(jù)線段公理可知 MP +NP 的值最小，而 MP + NP根據(jù)線段等量代換可得：MP +NP =NP +PQ.如果將 P 看作 NQ 和 DB 的相交點(diǎn)，按照“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理可知，NP +PQ 的最小值就是 NQ 的取值，那么根據(jù)此解題思路即可完成作答.

解：

說(shuō)明：解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)找出 P 的位置.解題時(shí)要關(guān)注菱形的軸對(duì)稱(chēng)特性，過(guò)菱形對(duì)角線存在兩條對(duì)稱(chēng)軸，由此可把同側(cè)距離之和化為異側(cè)距離之和，從而利用兩點(diǎn)之間線段最短確定線段和最小值.

二、與兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段和最小值問(wèn)題

與兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段和最小值問(wèn)題是菱形最值問(wèn)題中較為復(fù)雜的一類(lèi)問(wèn)題.解題時(shí)可以結(jié)合由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)求線段和最小值問(wèn)題的解題思路，首先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)具體位置明確解題方向，然后從“菱形的四邊相等”“對(duì)角線互相垂直平分且平分對(duì)角”等菱形的特征入手，利用勾股定理對(duì)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)形成的線段長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算.解題時(shí)如果沒(méi)有直接利用勾股定理的圖形條件，可通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理來(lái)解題.

例2

分析：可參考例1的解題思路，通過(guò)搭建菱形對(duì)角線，分析對(duì)角線關(guān)系，將菱形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，再結(jié)合平行四邊形邊長(zhǎng)的特征與勾股定理求出兩動(dòng)點(diǎn)形成的線段和最小值.

解：在菱形 ABCD 中，連接 A、C，作 AM ∥ BD，使 AM =EF，再連接 C、M，交菱形 ABCD 邊 BD 于點(diǎn) F，如圖4.

∵ AM =EF，AM ∥ EF ，

∴四邊形 AEFM 是平行四邊形，

∴ AE =FM ，

∴ AE + CF =MF + CF = CM ，

而根據(jù)線段公理可知 AE + CF 最小值為線段 CM 的長(zhǎng)，

∵菱形 ABCD 邊長(zhǎng)相等，即 AB =BC，且∠EBF =60°，則△ABC 為等邊三角形，

∴ AB =AC =6，

∵菱形圖形對(duì)角線互相垂直，

∴ AC ⊥ BD ，

∵ AM ∥ BD ，

∴∠CAM =90°，

在 Rt△CAM 中，

CM = = =2? ，

∴ AE + CF 的最小值為2? .

說(shuō)明：本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí).解題的關(guān)鍵是結(jié)合菱形的特征來(lái)作輔助線，構(gòu)造直角三角形模型，把線段和的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解答，最后借助勾股定理求得最短線段的長(zhǎng).

菱形中的動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題大多較為復(fù)雜，主要考查同學(xué)們對(duì)菱形的性質(zhì)特征、勾股定理以及軸對(duì)稱(chēng)等相關(guān)知識(shí)的掌握情況.在解題的過(guò)程中，同學(xué)們要根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的位置進(jìn)行分析思考，在復(fù)雜的問(wèn)題背景下發(fā)現(xiàn)菱形中最值問(wèn)題的基本模型，化“折”為“直”，尋找運(yùn)動(dòng)變化中的不變性，以此來(lái)形成解答此類(lèi)問(wèn)題的通性通法.