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    關(guān)于“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”課中一例不定積分的教學(xué)思考

    2023-07-02 19:53:03吳海
    科技風(fēng) 2023年16期
    關(guān)鍵詞:不定積分原函數(shù)教學(xué)思考

    摘?要:“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”是一門(mén)低學(xué)時(shí)的高等數(shù)學(xué)課程,該課程的習(xí)題應(yīng)當(dāng)認(rèn)真遴選。文章針對(duì)一道不定積分習(xí)題的教學(xué)展開(kāi)了研究,記述了作者關(guān)于該題的有關(guān)教學(xué)思考。文章首先通過(guò)綜合應(yīng)用根式換元積分、湊微分、一階微分形式不變性、分部積分和三角換元積分等方法,給出了此題的五種解法。然后對(duì)于所獲得的兩個(gè)在形式上不盡相同的計(jì)算結(jié)果,指出其為原函數(shù)的不唯一性的體現(xiàn),并進(jìn)行了具體的驗(yàn)證。在驗(yàn)證過(guò)程中,還通過(guò)構(gòu)造輔助三角形的方式,揭示了上述兩個(gè)計(jì)算結(jié)果內(nèi)在的關(guān)系。

    關(guān)鍵詞:醫(yī)用高等數(shù)學(xué);不定積分;教學(xué)思考;原函數(shù);輔助三角形

    中圖分類(lèi)號(hào):G642.0??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    1?概述

    在醫(yī)科類(lèi)高等院校的課程設(shè)置中,“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”通常是基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)、臨床醫(yī)學(xué)、預(yù)防醫(yī)學(xué)、口腔醫(yī)學(xué)、麻醉學(xué)、醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)技術(shù)、醫(yī)學(xué)影像技術(shù)、藥學(xué)和中藥學(xué)等醫(yī)藥類(lèi)相關(guān)專(zhuān)業(yè)必修的一門(mén)自然科學(xué)類(lèi)基礎(chǔ)課。上述專(zhuān)業(yè)的培養(yǎng)計(jì)劃對(duì)于這門(mén)課程教學(xué)時(shí)數(shù)的配置一般都相對(duì)較少,任課教師需要在并不十分寬裕的學(xué)時(shí)內(nèi)完成規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容,并且還要達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。這就要求教師在授課之前應(yīng)當(dāng)對(duì)教學(xué)過(guò)程做出較為精準(zhǔn)的規(guī)劃,而本課程的習(xí)題(包括課堂練習(xí)題和課后作業(yè)題)的安排就是其中一個(gè)需要精心考慮的重要環(huán)節(jié)。

    一方面,為了使醫(yī)藥類(lèi)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生能夠理解并掌握“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”這門(mén)課程的基本思想、基本結(jié)論和基本方法,同時(shí)也為了使這些非理工類(lèi)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生能夠順利通過(guò)本課程的考核,對(duì)其進(jìn)行一定量的習(xí)題訓(xùn)練顯然是不可或缺的;但另一方面,醫(yī)藥類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生每學(xué)期需要完成的課業(yè)量普遍較大,為了不對(duì)他們學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)藥學(xué)專(zhuān)業(yè)課程的時(shí)間造成擠兌,本課程又不宜布置過(guò)多的習(xí)題,題海戰(zhàn)術(shù)更不可取,并且受培養(yǎng)計(jì)劃對(duì)本課程規(guī)定教學(xué)時(shí)數(shù)的限制,教師在課堂上也不太可能用過(guò)多的時(shí)間進(jìn)行習(xí)題講評(píng)。因此,對(duì)于“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”這門(mén)低學(xué)時(shí)的高等數(shù)學(xué)課程,教師在安排習(xí)題的過(guò)程中更是應(yīng)當(dāng)做到精挑細(xì)選。

    筆者在“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”這門(mén)課程的教學(xué)實(shí)踐中,常會(huì)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容對(duì)教材里的有關(guān)習(xí)題進(jìn)行鉆研,然后從中遴選出部分題目作為課堂練習(xí)或課后作業(yè)并進(jìn)行精心講解。本文所要介紹的不定積分問(wèn)題,便是一道從筆者授課所使用的教材[1]第3章中挑選出的習(xí)題。這道習(xí)題,不僅能使用多種方法求解,而且教師在講解此題的過(guò)程中還可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)之前已經(jīng)學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行關(guān)聯(lián)和復(fù)習(xí),尤其是對(duì)原函數(shù)不唯一這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的鞏固頗有裨益。

    2?問(wèn)題及其解法

    問(wèn)題?求不定積分∫1-2x1+2xdx

    解法1?先進(jìn)行根式換元t=1-2x1+2x,則t2=1-2x1+2x,據(jù)此可得x=1-t22(1+t2),進(jìn)一步在該式等號(hào)兩端同時(shí)求微分,得到dx=-2t(1+t2)2dt,然后進(jìn)行湊微分,即有

    ∫1-2x1+2xdx=∫t-2t(1+t2)2dt=-∫td(1+t2)(1+t2)2(1)

    對(duì)于(1)式最右端不定積分中的被積表達(dá)式,根據(jù)一階微分形式不變性應(yīng)成立d11+t2=-d(1+t2)(1+t2)2,從而有

    ∫1-2x1+2xdx=-∫td(1+t2)(1+t2)2=∫td11+t2

    =t1+t2-∫11+t2dt?(此步應(yīng)用了分部積分法)

    =t1+t2-arctant+C,

    最后將t=1-2x1+2x回代入上式,經(jīng)整理便可得到

    ∫1-2x1+2xdx=1-4x22-arctan1-2x1+2x+C。

    解法2?仍作換元t=1-2x1+2x,之后另行如下推導(dǎo),

    ∫1-2x1+2xdx=∫-2t2(1+t2)2dt=-2∫1+t2-1(1+t2)2dt

    =-2∫11+t2dt-∫1(1+t2)2dt

    =-2arctant+2∫1(1+t2)2dt(2)

    為求解(2)式中的不定積分∫1(1+t2)2dt,再次進(jìn)行換元,設(shè)t=tanθ,于是dt=sec2θdθ,1+t2=sec2θ,故

    ∫1(1+t2)2dt=∫sec2θsec4θdθ=∫1sec2θdθ

    =∫cos2θdθ=∫1+cos2θ2dθ

    =12θ+14sin2θ+C0(3)

    由三角恒等式可知成立sin2θ=2tanθ1+tan2θ=2t1+t2,于是從(3)式可以進(jìn)一步得到

    ∫1(1+t2)2dt=12arctant+t2(1+t2)+C0(4)

    再將(4)式代入(2)式,經(jīng)整理后可以得到

    ∫1-2x1+2xdx=-arctant+t1+t2+C(5)

    其中C=2C0。最后將t=1-2x1+2x代回(5)式便有

    ∫1-2x1+2xdx=1-4x22-arctan1-2x1+2x+C。

    解法3?先將被積函數(shù)的分母進(jìn)行根式有理化,得到

    ∫1-2x1+2xdx=∫1-4x21+2xdx(6)

    注意到(6)式右端不定積分中被積函數(shù)的分子1-4x2,是一個(gè)關(guān)于x的平方差函數(shù)的平方根,故可作三角換元。

    設(shè)x=12sinu,從而dx=12cosudu,然后結(jié)合(6)式有

    ∫1-2x1+2xdx=∫1-4x21+2xdx=12∫1-sin2u1+sinucosudu

    =12∫cos2u1+sinudu=12∫1-sin2u1+sinudu

    =12∫(1-sinu)du=12u+12cosu+C

    =12arcsin(2x)+1-4x22+C。

    解法4?采用類(lèi)似于解法3的思路,只不過(guò)這里先將被積函數(shù)的分子進(jìn)行根式有理化,然后進(jìn)行三角換元,于是

    ∫1-2x1+2xdx=∫1-2x1-4x2dx

    =12∫1-sinu1-sin2ucosudu?三角換元x=12sinu

    =12∫(1-sinu)du=12u+12cosu+C

    =12arcsin(2x)+1-4x22+C。

    解法5?先將被積函數(shù)的分子進(jìn)行根式有理化,之后通過(guò)湊微分,并應(yīng)用一階微分形式不變性亦可計(jì)算出結(jié)果,具體推導(dǎo)過(guò)程如下。

    ∫1-2x1+2xdx=∫1-2x1-4x2dx

    =∫11-4x2dx-∫2x1-4x2dx

    =12∫d(2x)1-(2x)2+12∫d(1-4x2)21-4x2

    =12∫d[arcsin(2x)]+12∫d(1-4x2)

    =12arcsin(2x)+1-4x22+C。

    3?教學(xué)注記

    在這道不定積分習(xí)題的教學(xué)中,教師可以啟發(fā)或是引導(dǎo)學(xué)生采用上述各種方法進(jìn)行求解,然而學(xué)生很快會(huì)發(fā)現(xiàn),使用不同的解法居然會(huì)得到在形式上不盡相同的計(jì)算結(jié)果。使用解法1和解法2得到的是一個(gè)結(jié)果,但若使用解法3~解法5的方法卻會(huì)得出另一個(gè)結(jié)果。對(duì)于這個(gè)情況,學(xué)生普遍會(huì)感到十分困惑。此時(shí),就需要教師向其釋疑解惑了,教師應(yīng)當(dāng)告訴學(xué)生,這個(gè)情況的發(fā)生并不是因?yàn)樵谕茖?dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)了計(jì)算錯(cuò)誤,而是因?yàn)槿绻粋€(gè)函數(shù)存在原函數(shù),那么它的原函數(shù)是不唯一的。事實(shí)上,按照本課程以及教材對(duì)不定積分這一章知識(shí)點(diǎn)的編排次序,原函數(shù)不唯一這個(gè)結(jié)論在此之前的教學(xué)內(nèi)容中就已經(jīng)向?qū)W生進(jìn)行了介紹,但學(xué)生往往會(huì)忽視或是淡忘這個(gè)結(jié)論,而現(xiàn)在借助于這道不定積分習(xí)題,教師正好獲得了一個(gè)幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)該結(jié)論認(rèn)識(shí)的好機(jī)會(huì)。

    教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生指出,使用上文中的不同方法求解這道不定積分所獲得的兩個(gè)在形式上不同的計(jì)算結(jié)果,說(shuō)明

    F(x)=1-4x22-arctan1-2x1+2x,

    G(x)=12arcsin(2x)+1-4x22

    這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)是相同的。據(jù)此又可以進(jìn)一步地推知f(x)=-arctan1-2x1+2x與g(x)=12arcsin(2x)這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也應(yīng)相同。教師授課時(shí)可要求學(xué)生具體計(jì)算一下f(x)與g(x)的導(dǎo)數(shù),以驗(yàn)證上述論斷的正確性。

    事實(shí)上,函數(shù)f(x)可視為是由函數(shù)y=-arctanu,u=v,與v=1-2x1+2x復(fù)合而成的,于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,應(yīng)有

    f′(x)=dydu·dudv·dvdx=-11+u2·12v·-4(1+2x)2=11-4x2。

    另一方面,同樣由鏈?zhǔn)椒▌t,可求得函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=12·21-(2x)2=11-4x2。由此可見(jiàn),f(x)與g(x)這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確實(shí)是相同的,進(jìn)而可知使用前述不同方法求解這道不定積分所獲得的兩個(gè)計(jì)算結(jié)果,它們雖在形式上不盡相同,但都是正確的。

    完成上述求導(dǎo)驗(yàn)證的環(huán)節(jié)之后,教師在教學(xué)中還可再進(jìn)行一點(diǎn)延伸:既然f(x)與g(x)的導(dǎo)數(shù)相同,那么根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)里的拉格朗日中值定理,f(x)與g(x)之間應(yīng)當(dāng)只相差一個(gè)常數(shù),也即應(yīng)當(dāng)存在常數(shù)K,使得12arcsin(2x)=-arctan1-2x1+2x+K,以特殊值x=0代入該式,可求得常數(shù)K等于π4。從而

    12arcsin(2x)=-arctan1-2x1+2x+π4(7)

    如此一來(lái),教師在講解這道不定積分的同時(shí),還能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,以及拉格朗日中值定理等已經(jīng)講授過(guò)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行關(guān)聯(lián)和復(fù)習(xí),可謂一舉多得。

    值得一提的是,筆者在課堂教學(xué)中注意到,有部分學(xué)生會(huì)對(duì)(7)式心存疑慮,他們認(rèn)為該式盡管可以從數(shù)學(xué)理論上推導(dǎo)得出,但是其所呈現(xiàn)的角度關(guān)系從直觀上來(lái)看卻并不那么顯然,因而對(duì)其仍然會(huì)感到有些半信半疑。為幫助學(xué)生打消這個(gè)疑慮,筆者數(shù)形結(jié)合,想出了如下方法。

    易見(jiàn),欲說(shuō)明(7)式所給的角度關(guān)系是成立的,等價(jià)地只需說(shuō)明成立

    arcsin(2x)=π2-2arctan1-2x1+2x(8)

    為此,首先構(gòu)造輔助三角形ABC(事實(shí)上,構(gòu)造輔助三角形,是在涉及三角換元的不定積分問(wèn)題的求解中經(jīng)常采用的一種方法),其中∠ACB=π2,AB=1,CB=2x。然后延長(zhǎng)CB于D,使得BD=AB=1。最后連接AD。

    由上述作法可知,△ABC和△ADC都是直角三角形,△BAD是一個(gè)等腰三角形,故可設(shè)α=∠BAD=∠BDA。另設(shè)β=∠BAC,φ=∠ABC。在Rt△ADC中,注意到

    tanα=ACCD=ACCB+BD=1-4x21+2x=1-2x1+2x,故α=arctan1-2x1+2x。而在Rt△ABC中,又顯然成立β=arcsin(2x)。另由平面幾何知識(shí)可知φ=2α,故從Rt△ABC中可得β=π2-φ=π2-2α,也即確有arcsin(2x)=π2-2arctan1-2x1+2x。

    這樣,教師就可為(7)式給出一個(gè)直觀的幾何解釋?zhuān)瑢W(xué)生也因此而能心悅誠(chéng)服地接受這個(gè)角度關(guān)系了。筆者發(fā)現(xiàn),通過(guò)教師對(duì)此道習(xí)題多方位的講解,尤其是在有了上述構(gòu)造輔助三角形的經(jīng)歷之后,學(xué)生對(duì)拉格朗日中值定理以及原函數(shù)不唯一這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)都普遍加深了。

    結(jié)語(yǔ)

    這道不定積分習(xí)題的五種解法,涉及了根式換元積分、湊微分、一階微分形式不變性、分部積分和三角換元積分等知識(shí)點(diǎn),幾乎涵蓋了不定積分問(wèn)題常用的各種解題技巧,通過(guò)這一道題,就能夠?qū)W(xué)生進(jìn)行較為全面的訓(xùn)練。不僅如此,教師在講解此題的過(guò)程中,還可通過(guò)教學(xué)內(nèi)容的延伸,引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)與之相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)的理解和認(rèn)識(shí),從而在一定程度上就能達(dá)到事半功倍的效果。

    這種教學(xué)方式,對(duì)于任課教師在培養(yǎng)計(jì)劃規(guī)定的學(xué)時(shí)內(nèi)高質(zhì)量完成本課程的既定教學(xué)內(nèi)容,對(duì)于醫(yī)藥類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生在相對(duì)較少的學(xué)時(shí)內(nèi)掌握本課程的基本結(jié)論和方法,同時(shí)也對(duì)于避免學(xué)生機(jī)械性地刷題和重復(fù)性地練習(xí),具有十分積極的意義。因此,教師對(duì)于“醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”這門(mén)課程的習(xí)題安排,必須要給予足夠的重視,在教學(xué)準(zhǔn)備中,應(yīng)當(dāng)對(duì)教材里的習(xí)題認(rèn)真進(jìn)行鉆研,嘗試多角度發(fā)掘習(xí)題的教法,并精心設(shè)計(jì)習(xí)題的講解過(guò)程,這樣才能有助于自身在這門(mén)低學(xué)時(shí)高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中達(dá)到較好的教學(xué)效果。

    參考文獻(xiàn):

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    作者簡(jiǎn)介:吳海(1986—?),男,漢族,碩士,助教,研究方向:醫(yī)用高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)與研究。

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