不等式選講常見典型考題賞析

■河南省商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 馬春林

不等式選講是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考的必考點(diǎn)。高考對不等式選講內(nèi)容的考查主要有兩個方面:一是考查不等式,特別是含有絕對值的不等式的求解,以及最值、恒成立及存在性問題;二是考查不等式的證明。下面主要介紹不等式選講中的常見典型考題,供大家復(fù)習(xí)時(shí)參考。

一、含絕對值的函數(shù)的圖像

例1已知函數(shù)f(x)=|2x-1|,g(x)=5ax-2,a∈R。

(2)若存在x∈[-5,5],使得g(x-2)＞f(x)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）與g（x）的圖像,如圖1所示。

圖1

圖2

圖3

由圖可知,當(dāng)x＜2時(shí),函數(shù)f（x）的圖像在函數(shù)g（x）的圖像的上方,故不等式f（x）＞g（x）的解集為（-∞,2）。

(2)由g（x-2）=5a(x-2)-2 可 知,g（x-2）的圖像恒過點(diǎn)（2,-2）。

當(dāng)a=0時(shí),結(jié)合(1)知,g（x-2）的圖像恒在f（x）的圖像的下方,不滿足題意。

評注:要想畫出含有一個絕對值符號的函數(shù)的圖像,常常采用找零點(diǎn)去絕對值符號分情況討論的方法,也可以采用翻折的方法。對于字母和參數(shù),往往需要分情況討論。

(1)畫出函數(shù)y=f（x）的圖像,若函數(shù)g（x）=x+m與y=f（x）的圖像有三個交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

g（x）=x+m可以看做是函數(shù)y=x向上平移m個單位的圖像所對應(yīng)的解析式,結(jié)合圖像易知,-2＜m＜1,故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-2,1）。

評注:在用基本不等式求最值或者證明問題時(shí),常常采用“1”的整體代入法,但要特別注意等號成立的條件。

二、恒成立問題

綜上可得,實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,2]∪[5,+∞)。

評注:采用兩邊平方的方法去掉絕對值符號的時(shí)候,需要特別注意兩邊的正負(fù)。在用二次函數(shù)解決最值等問題時(shí),要特別注意對稱軸與區(qū)間的關(guān)系。

三、存在性問題

(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,畫出函數(shù)f（x）的圖像,并根據(jù)圖像直接寫出函數(shù)f（x）的值域。

(2)已知函數(shù)g(x)=|x+a|-2|x-a|,a＞0。若存在x1,x2∈R,使得f(x1)+5=g(x2),求正數(shù)a的取值范圍。

評注:在解決含有兩個變量的兩個函數(shù)的存在性問題或者恒成立問題時(shí),要特別注意函數(shù)的定義域。在寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能用并集符號連接,只能用和字連接或者逗號隔開。

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5,1]。

評注:分離常(參)數(shù)法在解決不等式恒成立、存在性、不等式有解、函數(shù)有零點(diǎn)、函數(shù)的單調(diào)性中參數(shù)的取值范圍等問題時(shí),經(jīng)常用到。解題的關(guān)鍵是分離出常(參)數(shù)后將原問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值或者值域問題。

四、不等式的證明

評注:證明不等式的方法有:比較法(作差法、作商法)、分析法、綜合法、放縮法、柯西不等式法、基本不等式法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、配方法、化歸法等。要特別注意這些方法的格式、步驟、特點(diǎn)和用法等。

例7已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1,證明:

評注:輪換不等式的形式優(yōu)美,但證明技巧很多,規(guī)律難尋,常采用拼湊的方法,將式子轉(zhuǎn)化為形式相同的多個式子之和,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為同類式。