研究不等關(guān)系，探究考查類型
——以高考不等式選講為例

■江蘇省無(wú)錫市第三高級(jí)中學(xué) 孫 磊

高考中不等式選講部分主要考查:不等式的基本性質(zhì),含有絕對(duì)值的不等式的解法與證明,不等式的證明方法,以及柯西不等式、排序不等式、算術(shù)—幾何平均不等式的應(yīng)用等,有時(shí)也直接滲透必修部分。

一、不等式的求解問(wèn)題

不等式的求解問(wèn)題主要涉及含有絕對(duì)值的不等式的求解與應(yīng)用,關(guān)鍵就是將含有絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)表達(dá)式或利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化,結(jié)合一次不等式、二次不等式及對(duì)應(yīng)的不等式組加以求解與應(yīng)用。

例1(2022年廣西桂林市、梧州市高考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷)已知函數(shù)f(x)=

(1)若a=1,求不等式f(x)≤3的解集;

分析：(1)當(dāng)a=1時(shí),根據(jù)絕對(duì)值不等式得出函數(shù)f(x)的分段函數(shù)表達(dá)式,再分類討論就能求出不等式f(x)≤3 的解集;(2)根據(jù)條件推導(dǎo)出函數(shù)的表達(dá)式,再對(duì)關(guān)于a的不等式分類討論解含絕對(duì)值不等式,即可求出a的取值范圍。

綜上可得,a的取值范圍為(3-2 2,1)。

點(diǎn)評(píng):此類問(wèn)題主要考查絕對(duì)值的性質(zhì),含有絕對(duì)值不等式的解法,以及分類討論思想、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等。涉及絕對(duì)值不等式的求解問(wèn)題,關(guān)鍵是充分理解絕對(duì)值的幾何意義,并能利用絕對(duì)值不等式的幾何意義加以轉(zhuǎn)化,有時(shí)也通過(guò)函數(shù)、方程的相應(yīng)知識(shí)來(lái)處理對(duì)應(yīng)的不等式問(wèn)題。

二、不等式的證明問(wèn)題

不等式的證明問(wèn)題主要涉及分析法、綜合法與反證法的應(yīng)用,以及絕對(duì)值三角不等式、算術(shù)—幾何平均不等式、柯西不等式等重要不等式的應(yīng)用等。

例2(2022 屆陜西省高三下學(xué)期二模預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題)設(shè)x,y,z為正實(shí)數(shù),且x+y+z=4。

分析：(1)由已知題設(shè)中的關(guān)系式進(jìn)行恒等變形,進(jìn)而結(jié)合基本不等式加以分析與證明;(2)利用柯西不等式進(jìn)行降冪處理,將二次關(guān)系式轉(zhuǎn)化為一次關(guān)系式的平方問(wèn)題,進(jìn)而得以證明對(duì)應(yīng)的不等式成立。

點(diǎn)評(píng):巧妙利用基本不等式或柯西不等式來(lái)合理分析與證明,是不等式證明中最常用的兩類重要不等式?；静坏仁椒ㄊ翘幚黼p變?cè)鷶?shù)式的最值、取值范圍或不等式成立等方面最常用的一個(gè)技巧方法;柯西不等式法是解決多變?cè)钠椒疥P(guān)系式背景下的最值問(wèn)題時(shí)比較常用的一種技巧方法,關(guān)鍵是合理配湊使得等號(hào)成立時(shí)相應(yīng)的系數(shù)。

三、不等式的求解與證明的綜合問(wèn)題

巧妙創(chuàng)設(shè)問(wèn)題背景,將不等式求解與不等式證明加以綜合,同時(shí)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等不同數(shù)學(xué)能力的設(shè)置與應(yīng)用,從更廣闊的視角來(lái)設(shè)置問(wèn)題,全方面、多視角考查同學(xué)們的解題能力。

例3(2022 年貴州省黔東南州高考數(shù)學(xué)一模試卷)已知函數(shù)f(x)=|3x-1|+|3x+3|。

(1)求不等式f(x)≤11的解集;

(2)若a+b=1,證明:f(a)+f(b)≥10。

分析：(1)根據(jù)條件,結(jié)合含有絕對(duì)值的函數(shù)關(guān)系式,利用零點(diǎn)分段法加以分類討論,得以求解不等式f(x)≤11;(2)根據(jù)f(a)+f(b)=|3a-1|+|3a+3|+|3b-1|+|3b+3|,利用絕對(duì)值三角不等式加以轉(zhuǎn)化,即可證明f(a)+f(b)≥10。

點(diǎn)評(píng):此類試題巧妙將絕對(duì)值不等式的求解及絕對(duì)值三角不等式的證明加以巧妙融合,將不等式求解與證明加以合理搭配,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的交匯,以及分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想等的應(yīng)用。

四、不等式的恒成立問(wèn)題

不等式的恒成立問(wèn)題往往是涉及含參的函數(shù)或不等式問(wèn)題,借助不等式恒成立來(lái)合理創(chuàng)設(shè),結(jié)合等價(jià)轉(zhuǎn)化進(jìn)行恒等變形,進(jìn)而求解函數(shù)的最值、參數(shù)的最值范圍等相關(guān)知識(shí),是知識(shí)與能力的進(jìn)一步綜合與應(yīng)用。

例4(2022 屆江西省九江市第三次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|(a∈R)。

(1)若關(guān)于x的不等式f(x)+f(2-x)≥4恒成立,求a的取值范圍;

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,f(x)+f(y)≤1所圍成的區(qū)域面積為S,若正數(shù)b,c,d滿足(b+d)(c+d)=S,求b+2c+3d的最小值。

分析：(1)根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì),通過(guò)巧妙變形,使得相應(yīng)的不等式恒成立,進(jìn)而構(gòu)建相應(yīng)的不等式,通過(guò)解絕對(duì)值不等式,即可求出結(jié)果;(2)根據(jù)題意作出圍成的區(qū)域,平面區(qū)域由一個(gè)正方形及其內(nèi)部組成,結(jié)合正方形的邊長(zhǎng)來(lái)確定關(guān)系式的值,對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化,并利用基本不等式即可求出結(jié)果。

圖1

點(diǎn)評(píng):此類涉及含有絕對(duì)值的函數(shù)的最值及含有絕對(duì)值的不等式恒成立問(wèn)題,關(guān)鍵是通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化,去掉絕對(duì)值符號(hào),利用不等式的性質(zhì)或不等式的求解來(lái)進(jìn)一步分析與處理。對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題的切入就是等價(jià)轉(zhuǎn)化,并結(jié)合函數(shù)與方程、不等式的性質(zhì)等來(lái)綜合求解。

不等式選講部分的試題難度中等,重點(diǎn)考查代數(shù)運(yùn)算與邏輯推理等核心素養(yǎng),以及分類討論思想、函數(shù)與方程思想及化歸轉(zhuǎn)化思想等。