采用向量式有限元的拉索參數(shù)振動(dòng)模擬

段元鋒 黃嘉思 鄧南 王素梅 應(yīng)祖光 何聞

摘要 拉索的參數(shù)振動(dòng)主要是由連接拉索端部的結(jié)構(gòu)振動(dòng)引起的，當(dāng)端部振動(dòng)頻率與拉索的自振頻率滿足一定倍數(shù)關(guān)系時(shí)，拉索端部激勵(lì)容易激發(fā)較大拉索參數(shù)振動(dòng)。由于參數(shù)振動(dòng)存在復(fù)雜的非線性振動(dòng)特征，傳統(tǒng)的解析方法難以應(yīng)用于實(shí)際工程。本文發(fā)展了模擬拉索參數(shù)振動(dòng)的向量式有限元方法，對(duì)斜拉索在動(dòng)邊界條件下的振動(dòng)進(jìn)行分析，對(duì)比控制方程的數(shù)值解以驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。并基于向量式有限元模型對(duì)端部支座軸向運(yùn)動(dòng)激勵(lì)下產(chǎn)生的主共振區(qū)和主參數(shù)共振區(qū)特性進(jìn)行討論，分別研究了拉索傾角、阻尼比以及風(fēng)荷載協(xié)同作用對(duì)參數(shù)振動(dòng)的影響。研究結(jié)果表明向量式有限元可以有效模擬復(fù)雜工況下的拉索參數(shù)振動(dòng)，有利于實(shí)際工程應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 斜拉索; 參數(shù)振動(dòng); 振動(dòng)模擬; 向量式有限元; 數(shù)值解

引 言

隨著大跨度斜拉橋的發(fā)展，拉索的長(zhǎng)度不斷增加。拉索作為斜拉橋的主要受力構(gòu)件，由于其具有柔度大、質(zhì)量輕、阻尼小等特點(diǎn)，在工程中極易受到風(fēng)、雨等荷載或者端部支座運(yùn)動(dòng)等激勵(lì)而引發(fā)大幅振動(dòng)，對(duì)橋梁的安全性能和日常運(yùn)營(yíng)構(gòu)成很大威脅。在實(shí)際工程中，當(dāng)橋梁結(jié)構(gòu)的自振頻率與拉索的自振頻率滿足一定倍數(shù)關(guān)系時(shí)，任意微小的擾動(dòng)將會(huì)激發(fā)較大振幅的拉索參數(shù)振動(dòng)，其往往表現(xiàn)為劇烈拍振，容易引發(fā)拉索疲勞、斷裂等問(wèn)題。

國(guó)內(nèi)外對(duì)拉索參數(shù)振動(dòng)的主要研究手段分為理論分析和試驗(yàn)驗(yàn)證。Tagata［1］對(duì)無(wú)垂度拉索的第一階參數(shù)振動(dòng)進(jìn)行研究，導(dǎo)出了無(wú)量綱的Mathieu方程；Takahashi［2］針對(duì)多自由度參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)，提出了系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的解析法，并通過(guò)研究水平懸索的參數(shù)振動(dòng)響應(yīng)，得到了不同垂跨比和多模態(tài)耦合時(shí)拉索不穩(wěn)定區(qū)的變化規(guī)律；Perkins［3］應(yīng)用多尺度法求解了拉索面內(nèi)、外一階模態(tài)的響應(yīng)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了面內(nèi)振動(dòng)能夠激發(fā)面外大幅振動(dòng)的現(xiàn)象；Rega［4?5］采用理論和實(shí)驗(yàn)方法對(duì)參數(shù)振動(dòng)展開(kāi)研究，對(duì)在不同激勵(lì)幅值和激勵(lì)頻率的端部激勵(lì)下水平懸索的動(dòng)力特性進(jìn)行探究，分析了斜拉索垂度對(duì)參數(shù)振動(dòng)的影響；Ying等［6］建立了由上端水平激勵(lì)與下端豎向激勵(lì)的斜拉索模型，分析了拉索分別在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)下的穩(wěn)定性，討論了不同斜拉索參數(shù)下的穩(wěn)定區(qū)面積變化情況；亢戰(zhàn)等［7］將橋面簡(jiǎn)化為質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，拉索簡(jiǎn)化為一個(gè)集中質(zhì)量，建立了索?橋耦合雙自由度模型，采用多尺度法求解主參數(shù)共振結(jié)果，闡述了參數(shù)振動(dòng)具有明顯的拍振現(xiàn)象；Zhao等［8?9］建立了單索?梁、雙索?梁、多索?梁和索?拱的運(yùn)動(dòng)學(xué)控制方程，應(yīng)用數(shù)值方法分析了拉索非線性振動(dòng)存在的分岔和混沌現(xiàn)象；陳水生等［10］考慮了拉索垂度和幾何非線性的影響，對(duì)斜拉索在軸向激勵(lì)作用下的非線性振動(dòng)方程進(jìn)行求解，研究了面內(nèi)參數(shù)振動(dòng)響應(yīng)特性；汪峰等［11］建立了阻尼器?斜拉索?塔梁組合結(jié)構(gòu)體系的耦合參數(shù)振動(dòng)模型，研究了黏滯阻尼器相關(guān)參數(shù)對(duì)參數(shù)振動(dòng)的影響規(guī)律；孫測(cè)世［12］對(duì)單索?梁模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，觀測(cè)到斜拉索在端部激勵(lì)頻率變化下的“跳躍”過(guò)程、面內(nèi)外振動(dòng)耦合以及“氣圈”運(yùn)動(dòng)等現(xiàn)象。然而，現(xiàn)有方法對(duì)拉索參數(shù)振動(dòng)問(wèn)題的簡(jiǎn)化條件較多，解析方法繁冗，難以進(jìn)行實(shí)際工程應(yīng)用。

丁承先等［13］提出的向量式有限元法（Vector Form Intrinsic Finite Element method，VFIFE）將結(jié)構(gòu)形態(tài)離散為一個(gè)用無(wú)質(zhì)量單元相互連接的質(zhì)點(diǎn)群，以物理模式來(lái)描述結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。向量式有限元無(wú)需組集整體剛度矩陣，適用于柔性結(jié)構(gòu)的大變形、彈塑性、斷裂等復(fù)雜的非線性或不連續(xù)問(wèn)題的分析，可實(shí)現(xiàn)對(duì)整體結(jié)構(gòu)真實(shí)行為的仿真模擬。倪秋斌等［14］應(yīng)用向量式有限元建立了斜拉索?阻尼器系統(tǒng)模型，準(zhǔn)確地模擬阻尼器對(duì)斜拉索的振動(dòng)控制作用；Duan等［15?16］和Wang等［17］對(duì)三維車?軌?橋系統(tǒng)的耦合振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行研究，搭建基于向量式有限元的風(fēng)?車?軌?橋耦合系統(tǒng)計(jì)算平臺(tái)，分析了斜拉橋在移動(dòng)列車和風(fēng)載作用下的動(dòng)力特性以及列車的脫軌風(fēng)險(xiǎn)；Duan等［18?21］基于向量式有限元開(kāi)展了裂紋擴(kuò)展的模擬研究；采用纖維單元建立了斜拉橋全橋模型，模擬了斜拉橋倒塌全過(guò)程；提出了基于向量式有限元和FPGA硬件的實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)框架，針對(duì)斜拉索阻尼器系統(tǒng)進(jìn)行了虛擬實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)；利用二維拱橋VFIFE模型進(jìn)行數(shù)據(jù)訓(xùn)練，并采用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成了吊桿損傷識(shí)別。向量式有限元的求解步驟可以集成為簡(jiǎn)單且系統(tǒng)化的程序，還被廣泛應(yīng)用于高層建筑［22］、復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)［23?26］以及船舶工程［27］等各個(gè)領(lǐng)域。然而，采用向量式有限元方法對(duì)拉索參數(shù)振動(dòng)的模擬研究尚未開(kāi)展。因此本文通過(guò)對(duì)比向量式有限元和運(yùn)動(dòng)控制方程對(duì)拉索參數(shù)振動(dòng)的求解結(jié)果，驗(yàn)證向量式有限元模擬的準(zhǔn)確性，并基于向量式有限元模型，對(duì)拉索傾角、阻尼系數(shù)及風(fēng)荷載對(duì)參數(shù)振動(dòng)的影響進(jìn)行討論，表明了向量式有限元方法對(duì)參數(shù)振動(dòng)模擬的高效性和便捷性。

1 拉索參數(shù)振動(dòng)控制方程

根據(jù)斜拉索的材料特性和受力情況，忽略斜拉索的抗彎剛度、扭轉(zhuǎn)和剪切效應(yīng)，假定變形的本構(gòu)關(guān)系服從胡克定律，建立兩端為動(dòng)邊界條件下的斜拉索數(shù)值模型，如圖1所示。圖1中，L表示斜拉索長(zhǎng)度，f表示斜拉索垂度，θ表示斜拉索傾角。整體坐標(biāo)系用XYZ表示，局部坐標(biāo)系用xyz表示；X（t），Y（t），Z（t）分別表示端部水平、豎向和面外位移；U（t），W（t），V（t）分別表示端部軸向、橫向和面外位移；u（x，t），w（x，t），v（x，t）分別表示斜拉索軸向、橫向和面外的動(dòng)位移。

根據(jù)拉索微元受力平衡，推導(dǎo)拉索的運(yùn)動(dòng)控制方程，將斜拉索的振動(dòng)分為兩個(gè)部分：由端部激勵(lì)引起的準(zhǔn)靜態(tài)運(yùn)動(dòng)和各階模態(tài)參與的模態(tài)運(yùn)動(dòng)。因此，拉索的橫向動(dòng)位移w（x，t）和面外動(dòng)位移v（x，t）可以表示為：

式中 Φ為拉索振動(dòng)的模態(tài)矩陣；qw和qv分別為面內(nèi)和面外振動(dòng)的廣義時(shí)間坐標(biāo)矩陣；Ψy和Ψz分別為面內(nèi)和面外端部激勵(lì)的振動(dòng)模態(tài)矩陣；Ay和Az分別為面內(nèi)和面外端部激勵(lì)的廣義時(shí)間坐標(biāo)矩陣。

采用Galerkin法得到拉索的無(wú)量綱離散控制方程［12］：

其中：

其中：

式中 cy和cz分別為拉索面內(nèi)和面外的阻尼系數(shù)。

2 向量式有限元拉索參數(shù)振動(dòng)模型

2.1 模型建立

根據(jù)向量式有限元的定義，斜拉索離散為無(wú)質(zhì)量單元連接的質(zhì)點(diǎn)群M=[m1，m2，...，mn]，拉索作為柔性構(gòu)件，主要受軸向力作用，可以忽略抗彎剛度的影響，故采用桿單元作為質(zhì)點(diǎn)間的連接，如圖2所示。由牛頓第二定律，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的平衡方程為：

式中 mi，u¨i，Pi和fi分別為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量、加速度、外荷載和內(nèi)力。

將斜拉索振動(dòng)軌跡用一組時(shí)間點(diǎn)t0， t1，…， tf上的點(diǎn)值描述，并假設(shè)分析過(guò)程是一組連接的時(shí)段，如時(shí)段tn≤t≤tn+1稱為一個(gè)途徑單元。在途徑單元內(nèi)，假設(shè)桿單元從tn+1時(shí)刻的位置經(jīng)歷一個(gè)虛擬的逆向剛體運(yùn)動(dòng)，從ab平移至a'b′′形態(tài)，再以a'為軸心逆向旋轉(zhuǎn)，此時(shí)桿單元形態(tài)與tn時(shí)刻a'b'形態(tài)僅存在長(zhǎng)度Δl的差異，由于途徑單元中的桿單元幾何變化小，小變形和小剛體運(yùn)動(dòng)的純變形和內(nèi)力可以用微應(yīng)變和工程應(yīng)力計(jì)算，桿單元內(nèi)力的增量Δfe為：

式中 EA為拉索的軸向剛度；ln和ln+1分別表示相應(yīng)時(shí)刻下桿單元的長(zhǎng)度。

拉索一般不承受壓力，對(duì)連接單元內(nèi)力迭代公式進(jìn)行修正，在積分步長(zhǎng)內(nèi)，一旦計(jì)算的單元內(nèi)力fe出現(xiàn)負(fù)值，定義此刻的單元內(nèi)力為0。通常單元?jiǎng)澐肿銐蛐r(shí)，就不會(huì)出現(xiàn)負(fù)值，即便出現(xiàn)，數(shù)值也很小。

得到桿單元內(nèi)力增量后，通過(guò)虛擬的正向運(yùn)動(dòng)使桿單元回到tn+1時(shí)刻的位置，此時(shí)僅桿單元內(nèi)力方向作轉(zhuǎn)動(dòng)，再通過(guò)力的平衡關(guān)系得到tn+1時(shí)刻各桿單元作用于某質(zhì)點(diǎn)i的內(nèi)力fi，n+1：

式中 j=1表示該質(zhì)點(diǎn)為單元定義的起點(diǎn)；j=2表示該質(zhì)點(diǎn)為單元定義的終點(diǎn)。

本文采用中央差分法作為向量式有限元的積分方法，在每個(gè)積分步長(zhǎng)內(nèi)求解都可以分為兩個(gè)過(guò)程。

① 根據(jù)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)前一時(shí)刻的位置，通過(guò)中央差分法分別計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置ui，n+1：

式中 h表示相鄰兩個(gè)時(shí)刻間的時(shí)長(zhǎng)，即積分步長(zhǎng)。

② 根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置，通過(guò)虛擬的逆向運(yùn)動(dòng)，平移和旋轉(zhuǎn)單元求得純變形，計(jì)算各個(gè)單元的內(nèi)力，并組集每個(gè)質(zhì)點(diǎn)所連接的單元內(nèi)力，求解當(dāng)前時(shí)刻各個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的合內(nèi)力。

2.2 對(duì)比驗(yàn)證

斜拉索的參數(shù)為：長(zhǎng)度L=129.2 m，截面積A=71.97 cm2，單位質(zhì)量ρ=58.9 kg/m，彈性模量E=200 GPa，初始索力T0=3300 kN；前3階自振頻率分別為：ω1=5.84 rad/s，ω2=11.50 rad/s，ω3=17.28 rad/s。通過(guò)對(duì)比控制方程數(shù)值解和向量式有限元求解得到的拉索位移時(shí)程圖，驗(yàn)證向量式有限元在求解拉索在端部支座激勵(lì)下振動(dòng)的正確性。由于拉索的離散控制方程（方程（3））的數(shù)值迭代求解速率隨模態(tài)矩陣維度的擴(kuò)增呈指數(shù)增長(zhǎng)，本文采用考慮前10階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算。假設(shè)各個(gè)方向的初始速度均為0，激勵(lì)幅值A(chǔ)0=0.05 m，僅在水平拉索一端施加支座的軸向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)激勵(lì)U=A0sinΩt，得到拉索橫向相對(duì)位移?w（x，t）的時(shí)程曲線，如圖3所示。

控制方程數(shù)值迭代得到的拉索橫向相對(duì)位移時(shí)程曲線均與向量式有限元求解得到的曲線擬合良好。控制方程數(shù)值求解對(duì)每一階模態(tài)分開(kāi)考慮，需要定義每階模態(tài)對(duì)應(yīng)的廣義時(shí)間坐標(biāo)的初始量；而向量式有限元的求解是對(duì)整個(gè)拉索系統(tǒng)綜合考慮，僅需要定義拉索上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的初始狀態(tài)，即初始位移、速度和加速度。相比于應(yīng)用控制方程解決高階問(wèn)題中需要考慮多階模態(tài)而造成的求解效率降低及產(chǎn)生的初值敏感度等問(wèn)題，向量式有限元對(duì)于模擬拉索在支座激勵(lì)下的振動(dòng)有著更佳的適用性，建模和初始條件的定義更符合實(shí)驗(yàn)和實(shí)際工程情況。

2.3 支座軸向激勵(lì)下的共振區(qū)研究

采用有垂度的水平拉索模型作為分析對(duì)象，拉索第一階模態(tài)阻尼比取ξ1=0.05%，僅考慮面內(nèi)振動(dòng)，對(duì)拉索的一端支座施加軸向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)U=A0sin（Ωt），通過(guò)改變激勵(lì)頻率Ω和激勵(lì)幅值A(chǔ)0，得到拉索各個(gè)位置橫向相對(duì)位移最大值?wmax的頻響曲線，如圖4所示。

當(dāng)激勵(lì)頻率Ω等于拉索一階頻率ω1時(shí)，拉索出現(xiàn)大幅度振動(dòng)，即使激勵(lì)幅值僅為0.01 m，也可以激發(fā)出約為1.3 m的幅值，一般將Ω/ω1=1附近頻響曲線圍成的面域定義為主共振區(qū)。當(dāng)激勵(lì)幅值較小時(shí)，主共振區(qū)最為顯著，隨著激勵(lì)幅值的增大，其他的共振區(qū)域逐漸明顯。與參數(shù)振動(dòng)相關(guān)文獻(xiàn)［10］和［28］中觀察到的現(xiàn)象相同，增大激勵(lì)幅值后，Ω/ω1=0.5出現(xiàn)了峰值，對(duì)應(yīng)的共振區(qū)域稱為2倍超諧波共振區(qū)，其對(duì)應(yīng)的?wmax小于主共振區(qū)，頻率范圍較窄，說(shuō)明該共振區(qū)的激發(fā)條件較為苛刻。當(dāng)激勵(lì)幅值增大至一定值后，Ω/ω1=2時(shí)激發(fā)的共振區(qū)域出現(xiàn)，稱為1/2亞諧波共振區(qū)，也稱作主參數(shù)共振區(qū)，其頻率范圍更寬，且隨激勵(lì)幅值增大，?wmax超過(guò)主共振區(qū)，逐漸占據(jù)主導(dǎo)，成為最主要的共振區(qū)域。

取激勵(lì)幅值A(chǔ)0=0.05 m，研究主共振區(qū)和主參數(shù)共振區(qū)的拉索1/4跨的位移時(shí)程曲線，如圖5所示。兩種激勵(lì)頻率比下的拉索都出現(xiàn)拍振現(xiàn)象，采用包絡(luò)線擬合波包輪廓，在主共振區(qū)中，波包形狀較圓潤(rùn)，包絡(luò)線與正弦曲線接近，包絡(luò)線斜率隨著振幅增大而減小，振幅緩慢增大至最大值后又緩慢減?。欢谥鲄?shù)共振區(qū)中，波包包絡(luò)線與指數(shù)曲線接近，包絡(luò)線斜率隨著振幅增大而增大。起振前經(jīng)歷一段小幅振動(dòng)的累積過(guò)程后，振幅開(kāi)始迅速增大，類似于不穩(wěn)定發(fā)散，但其達(dá)到最大值后又迅速減小。對(duì)位移時(shí)程曲線進(jìn)行快速傅里葉變換分析，結(jié)果顯示：在兩種不同激勵(lì)頻率下振動(dòng)成分均為第一階模態(tài)，說(shuō)明了參數(shù)振動(dòng)有別于強(qiáng)迫振動(dòng)，2倍于拉索1階自振頻率的激勵(lì)頻率比同樣能夠激發(fā)拉索以1階模態(tài)主導(dǎo)的大幅振動(dòng)，當(dāng)激勵(lì)幅值不斷增大，對(duì)應(yīng)幅值甚至?xí)街鞴舱駞^(qū)的幅值。因此，在實(shí)際工程中，可以通過(guò)分析監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的波包形狀和頻譜成分判別參數(shù)振動(dòng)的發(fā)生。

3 參數(shù)振動(dòng)影響因素分析

3.1 拉索傾角對(duì)參數(shù)振動(dòng)的影響

斜拉索的傾角影響著斜拉索的垂度值，而垂度會(huì)加強(qiáng)拉索的幾何非線性，進(jìn)一步影響橫向振動(dòng)。隨著斜拉索傾角提高，拉索垂度不斷減小，當(dāng)傾角為90°時(shí)，垂直索相當(dāng)于一根張緊弦。選取不同的傾角θ進(jìn)行研究，在拉索中點(diǎn)施加5 mm的初始橫向位移擾動(dòng)，假定拉索底部支座始終沿拉索的軸向進(jìn)行簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)U=A0sin（Ωt），取激勵(lì)幅值A(chǔ)0=0.05 m，ξ1=0.05%，選取激勵(lì)頻率比Ω/ω1=0.5， 1和2，分別應(yīng)用向量式有限元和控制方程數(shù)值解求解響應(yīng)，提取每個(gè)激勵(lì)頻率下斜拉索各個(gè)位置橫向相對(duì)位移的最大值?wmax繪制響應(yīng)曲線，如圖6所示。

當(dāng)激勵(lì)頻率比Ω/ω1=0.5和1時(shí)，拉索振動(dòng)幅值與垂度值相關(guān)，Ω/ω1=1時(shí)，?wmax在θ<50°時(shí)，基本保持在一個(gè)水平，隨著傾角繼續(xù)增大，拉索垂度繼續(xù)減小，拉索逐漸接近于張緊弦，初始擾動(dòng)在該激勵(lì)條件下無(wú)法被大幅激發(fā)，?wmax迅速減小并逐漸趨于0；當(dāng)激勵(lì)頻率比Ω/ω1=2時(shí)，即斜拉索處于參數(shù)共振區(qū)，?wmax維持在一個(gè)常數(shù)值，不隨傾角變化改變，說(shuō)明了拉索一旦滿足參數(shù)振動(dòng)條件，微小的擾動(dòng)都會(huì)被激發(fā)為大幅振動(dòng)，傾角對(duì)振動(dòng)幅值的影響微弱。

3.2 阻尼比對(duì)參數(shù)振動(dòng)的影響

采用有垂度的水平拉索模型進(jìn)行阻尼比對(duì)參數(shù)振動(dòng)的影響研究，選取拉索第1階模態(tài)阻尼比ξ1=0.5%，1%，1.5%和2.5%，計(jì)算激勵(lì)頻率比Ω/ω1=1和2時(shí)，拉索在支座軸向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)下的各個(gè)位置橫向相對(duì)位移最大值?wmax，并繪制?wmax與激勵(lì)幅值A(chǔ)0的關(guān)系曲線，如圖7所示。結(jié)果表明向量式有限元的模擬結(jié)果與控制方程的數(shù)值解擬合較好。

當(dāng)Ω/ω1=1時(shí)，?wmax隨著激勵(lì)幅值的增大而平緩提高，增加拉索阻尼比時(shí)，?wmax隨之減小，阻尼比越大，減振效果越明顯。當(dāng)Ω/ω1=2時(shí)，曲線存在一個(gè)明顯跳躍點(diǎn)，在激勵(lì)幅值較小時(shí)，參數(shù)振動(dòng)未被激發(fā)，?wmax處于較小水平，而一旦激勵(lì)幅值大于拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的臨界值，參數(shù)振動(dòng)被激發(fā)，?wmax急速增大，到達(dá)一定值后趨于平穩(wěn)，這說(shuō)明了在參數(shù)振動(dòng)存在起振條件，只有激勵(lì)幅值達(dá)到一定水平，才會(huì)激發(fā)出大幅振動(dòng)；對(duì)比不同阻尼比下的響應(yīng)曲線，增大系統(tǒng)阻尼比同樣可以減小?wmax，并且增大臨界激勵(lì)幅值，延緩參數(shù)振動(dòng)的發(fā)生。

3.3 風(fēng)荷載對(duì)參數(shù)振動(dòng)的影響

橋梁的風(fēng)致振動(dòng)會(huì)引發(fā)拉索連接端的支座運(yùn)動(dòng)，從而進(jìn)一步激發(fā)拉索參數(shù)振動(dòng)，同時(shí)面外方向的風(fēng)荷載常會(huì)引起拉索面內(nèi)、外振動(dòng)耦合。因此，需要研究斜拉索同時(shí)在風(fēng)荷載和端部支座軸向運(yùn)動(dòng)作用下的振動(dòng)情況。

對(duì)于面外風(fēng)荷載作用于拉索上的力，本文僅考慮拖曳力FD。假設(shè)斜拉索底端平均風(fēng)速U=20 m/s，采用考慮風(fēng)速沿高度發(fā)生變化的Kaimal譜生成風(fēng)速場(chǎng)。以θ=45°的斜拉索為例，拉索第1階模態(tài)阻尼比ξ1=0.05%，斜拉索中點(diǎn)面外方向施加5 mm的初始位移擾動(dòng)，對(duì)風(fēng)場(chǎng)中的斜拉索在底部支座軸向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的主共振和主參數(shù)共振進(jìn)行研究，激勵(lì)幅值A(chǔ)0取0.03 m。

如圖8所示，當(dāng)Ω/ω1=1時(shí)，拉索在僅有底部支座軸向的激勵(lì)下只發(fā)生面內(nèi)大幅拍振，面內(nèi)相對(duì)最大位移?wmax約為1.25 m；當(dāng)面外風(fēng)荷載和底部支座軸向激勵(lì)同時(shí)作用時(shí)，面外進(jìn)行小幅度振動(dòng)，而面內(nèi)的拍振被較好地抑制，振動(dòng)較快地進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，?wmax約為1.1 m，相較于僅底部支座軸向激勵(lì)時(shí)略有減少。當(dāng)Ω/ω1=2時(shí)，端部支座位移激勵(lì)下發(fā)生主參數(shù)振動(dòng)，面外微小擾動(dòng)被激發(fā)且占據(jù)主導(dǎo)，面外相對(duì)最大位移?vmax約為1.44 m；當(dāng)與面外風(fēng)荷載協(xié)同作用時(shí)，拉索面外拍振也同樣被較好地抑制，面外振動(dòng)更早地達(dá)到峰值，?vmax約為1.32 m，相較于僅底部支座軸向激勵(lì)時(shí)的?vmax同樣有所減小，同時(shí)面內(nèi)振動(dòng)的拍振消失，在振幅增大至0.4 m左右時(shí)，作穩(wěn)幅振動(dòng)。表1中計(jì)算了各工況下拉索跨中位移響應(yīng)的均方根（RMS），通過(guò)對(duì)比，面外風(fēng)荷載和底部支座軸向激勵(lì)聯(lián)合作用時(shí)，風(fēng)荷載能夠起到擾動(dòng)效應(yīng)，削弱支座激勵(lì)下拉索的拍振，使振動(dòng)更快地進(jìn)入穩(wěn)幅振動(dòng)。這一現(xiàn)象與Luongo等［29］應(yīng)用多尺度法、李永樂(lè)等［30］應(yīng)用數(shù)值法對(duì)風(fēng)雨振和索端激勵(lì)聯(lián)合作用得到的結(jié)果相一致。當(dāng)進(jìn)一步增加斜拉索底端平均風(fēng)速時(shí)，研究發(fā)現(xiàn)風(fēng)荷載的增大僅能抑制拍振，對(duì)于參數(shù)振動(dòng)幅值的削弱十分有限，且在高風(fēng)速狀態(tài)下，拉索面外產(chǎn)生大變形，振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)安全性構(gòu)成更大的威脅。

4 結(jié) 論

本文發(fā)展了一種求解參數(shù)振動(dòng)響應(yīng)的向量式有限元方法，可以考慮拉索傾角、阻尼比的影響，以及風(fēng)、支座激勵(lì)等多種荷載的影響。發(fā)現(xiàn)了參數(shù)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)程包絡(luò)線區(qū)別于一般共振的斜率特征，為通過(guò)分析拉索振動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的波包形狀判定參數(shù)振動(dòng)提供了一種判定方法及其理論依據(jù)。探明了傾角、阻尼比以及風(fēng)荷載與制作激勵(lì)協(xié)同作用對(duì)參數(shù)振動(dòng)的影響規(guī)律。得出如下結(jié)論：

（1）增大拉索傾角僅影響主共振區(qū)的振動(dòng)幅值，對(duì)主參數(shù)共振區(qū)的振動(dòng)幅值影響微弱；

（2）增大拉索阻尼比可以減小主共振區(qū)和主參數(shù)共振區(qū)的振動(dòng)幅值，同時(shí)提高了激發(fā)參數(shù)振動(dòng)對(duì)應(yīng)的臨界激勵(lì)幅值；

（3）面外風(fēng)荷載的協(xié)同作用能夠削弱支座激勵(lì)下拉索的拍振現(xiàn)象，但隨風(fēng)荷載增大，會(huì)加劇拉索變形，對(duì)拉索的安全性能構(gòu)成損害；

（4）與共振情況不同，參數(shù)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)程包絡(luò)線斜率隨振幅增大而增大，可以據(jù)此通過(guò)分析拉索振動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的波包形狀判定參數(shù)振動(dòng)；

（5）向量式有限元計(jì)算方法簡(jiǎn)單，與迭代運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值求解方法相比，可根據(jù)需要靈活調(diào)整外荷載及材料特性，可以有效模擬支座運(yùn)動(dòng)和多種復(fù)雜荷載聯(lián)合作用下的拉索振動(dòng)。

參考文獻(xiàn)

1Tagata G. Harmonically forced， finite amplitude vibration of a string［J］. Journal of Sound and Vibration， 1977， 51（4）： 483?492.

2Takahashi K. Dynamic stability of cables subjected to an axial periodic load［J］. Journal of Sound and Vibration， 1991， 144（2）： 323?330.

3Perkins N C. Modal interactions in the non?linear response of elastic cables under parametric/external excitation［J］. International Journal of Non?Linear Mechanics， 1992， 27（2）： 233?250.

4Rega G. Nonlinear vibrations of suspended cables?Part I： modeling and analysis［J］. Applied Mechanics Reviews： an Assessment of the World Literature in Engineering Sciences， 2004， 57（6）： 443?478.

5Rega G. Nonlinear vibrations of suspended cables?Part II： deterministic phenomena［J］. Applied Mechanics Reviews： an Assessment of the World Literature in Engineering Sciences， 2004， 57（6）： 479?514.

6Ying Z G， Ni Y Q， Duan Y F. Stochastic stability control analysis of an inclined stay cable under random and periodic support motion excitations［J］. Smart Structures and Systems， 2019， 23（6）： 641?651.

7亢戰(zhàn)， 鐘萬(wàn)勰. 斜拉橋參數(shù)共振問(wèn)題的數(shù)值研究［J］. 土木工程學(xué)報(bào)， 1998， 31（4）： 14?22.

Kang Zhan， Zhong Wangxie. Numerical study on parametric resonance of cable in cable stayed bridge［J］. China Civil Engineering Journal， 1998， 31（4）： 14?22.

8Zhao Y Y， Wang L H， Chen D L， et al. Non?linear dynamic analysis of the two?dimensional simplified model of an elastic cable［J］. Journal of Sound and Vibration， 2002， 255（1）： 43?59.

9趙躍宇， 蔣麗忠， 王連華， 等. 索?梁組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模理論及其內(nèi)共振分析［J］. 土木工程學(xué)報(bào)， 2004， 37（3）： 69?72.

Zhao Yueyu， Jiang Lizhong， Wang Lianhua， et al. The dynamical modelling theory and internal resonance of cable?beam composite structure［J］. China Civil Engineering Journal， 2004， 37（3）： 69?72.

10陳水生， 孫炳楠， 胡雋. 斜拉索受軸向激勵(lì)引起的面內(nèi)參數(shù)振動(dòng)分析［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2002， 15（2）： 144?150.

Chen Shuisheng， Sun Bingnan， Hu Jun. Analysis of stayed?cable vibration caused by axial excitation［J］. Journal of Vibration Engineering， 2002， 15（2）： 144?150.

11汪峰， 彭章， 劉章軍. 設(shè)置黏滯阻尼器的斜拉索參數(shù)振動(dòng)模型及控制分析［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2019， 32（6）： 977?985.

Wang Feng， Peng Zhang， Liu Zhangjun. Parametric vibration model and control analysis of cable stayed dampers with viscous dampers［J］. Journal of Vibration Engineering， 2019， 32（6）： 977?985.

12孫測(cè)世. 大跨度斜拉橋非線性振動(dòng)試驗(yàn)研究［D］. 長(zhǎng)沙： 湖南大學(xué)， 2015.

Sun Ceshi. Experimental study of nonlinear vibrations of long?span cable?stayed bridge［D］. Changsha： Hunan University， 2015.

13丁承先， 段元鋒， 吳東岳. 向量式結(jié)構(gòu)力學(xué)［M］. 北京：科學(xué)出版社， 2012.

Ting E C， Duan Yuanfeng， Wu Dongyue. Vector Mechanics of Structures［M］. Beijing： Science Press， 2012.

14倪秋斌，段元鋒，高博青. 采用向量式有限元的斜拉索振動(dòng)控制仿真［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2014， 27（2）： 238?245.

Ni Qiubin， Duan Yuanfeng， Gao Boqing. Vector form intrinsic finite element （VFIFE） based simulation on vibration control of stay cables［J］. Journal of Vibration Engineering， 2014， 27（2）： 238?245.

15Duan Y F， Wang S M， Wang R Z， et al. Vector form intrinsic finite?element analysis for train and bridge dynamic interaction［J］. Journal of Bridge Engineering， 2018， 23（1）： 4017126.

16Duan Y F， Wang S M， Yau J D. Vector form intrinsic finite element method for analysis of train?bridge interaction problems considering the coach?coupler effect［J］. International Journal of Structural Stability and Dynamics， 2019， 19（2）： 1?29.

17Wang S M， Yau J D， Duan Y F， et al. Prediction of crosswind?induced derailment of train?rail?bridge system by Vector Mechanics［J］. Journal of Engineering Mechanics， 2020， 146（12）： 4020132.

18Duan Y F， Wang S M， Wang R Z， et al. Vector form intrinsic finite element based approach to simulate crack propagation［J］. Journal of Mechanics， 2017， 33（6）： 797?812.

19Duan Y F， He K， Zhang H M， et al. Entire?process simulation of earthquake?induced collapse of a mockup cable?stayed bridge by vector form intrinsic finite element （VFIFE） method［J］. Advances in Structural Engineering， 2014， 17（3）： 347?360.

20Duan Y F， Tao J J， Zhang H M， et al. Real?time hybrid simulation based on vector form intrinsic finite element and field programmable gate array［J］. Structural Control and Health Monitoring， 2019， 26（1）： e2277.

21Duan Y F， Chen Q Y， Zhang H M， et al. CNN?based damage identification method of tied?arch bridge using spatial?spectral information［J］. Smart Structures and Systems， 2019， 23（5）： 507?520.

22Zhang H M， Shan Y F， Duan Y F， et al. Vector mechanics?based simulation of large deformation behavior in RC shear walls using planar four?node elements［J］. Structural Engineering and Mechanics， 2020， 74（1）： 1?18.

23Yuan X F， Chen C， Duan Y F， et al. Elastoplastic analysis with fine beam model of vector form intrinsic finite element［J］. Advances in Structural Engineering， 2018， 21（3）： 365?379.

24陳沖，袁行飛，段元鋒，等. 基于精細(xì)梁模型的向量式有限元分析［J］. 土木建筑與環(huán)境工程， 2015， 37（2）： 1?7.

Chen Chong， Yuan Xingfei， Duan Yuanfeng， et al. Vector form intrinsic finite element analysis based on fine beam model［J］. Journal of Civil and Environmental Engineering， 2015， 37（2）： 1?7.

25向新岸， 董石麟， 馮遠(yuǎn)， 等. 基于向量式有限元的T單元及其在張拉索膜結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用［J］. 工程力學(xué)， 2015， 32（6）： 62?68.

Xiang Xinan， Dong Shilin， Feng Yuan， et al. T?element based on vector form intrinsic finite element and its application to tensile cable?membrane structures［J］. Engineering Mechanics， 2015， 32（6）： 62?68.

26朱明亮， 董石麟. 向量式有限元在索穹頂靜力分析中的應(yīng)用［J］. 工程力學(xué)， 2012， 29（8）： 236?242.

Zhu Mingliang， Dong Shilin. Application of vector form intrinsic finite element method to static analysis of cable domes［J］. Engineering Mechanics， 2012， 29（8）： 236?242.

27胡狄， 何勇， 金偉良. 基于向量式有限元的Spar扶正預(yù)測(cè)及強(qiáng)度分析［J］. 工程力學(xué)， 2012， 29（8）： 333?339.

Hu Di， He Yong， Jin Weiliang. VFIFE?based prediction and strength analysis on upending of spar［J］. Engineering Mechanics， 2012， 29（8）： 333?339.

28Liu M， Zheng L F， Zhou P， et al. Stability and dynamics analysis of in?plane parametric vibration of stay cables in a cable?stayed bridge with superlong spans subjected to axial excitation［J］. Journal of Aerospace Engineering， 2020， 33（1）： 4019106.

29Luongo A， Zulli D. Dynamic instability of inclined cables under combined wind flow and support motion［J］. Nonlinear Dynamics， 2012， 67（1）： 71?87.

30李永樂(lè)， 向活躍， 何向東， 等. 索端激勵(lì)對(duì)斜拉索風(fēng)?雨致振動(dòng)性能的影響［J］. 工程力學(xué)， 2012， 29（10）： 218?224.

Li Yongle， Xiang Huoyue， He Xiangdong， et al. Effects of excitation at cable ends on rain?wind?induced vibration of stayed cables［J］. Engineering Mechanics， 2012， 29（10）： 218?224.

Vector form intrinsic finite element based simulation on parametric vibration of cables

DUAN Yuan?feng 1 ?HUANG Jia?si 2DENG Nan 1WANG Su?mei 3 ?YING Zu?guang 4HE Wen 5

1. College of Civil Engineering and Architecture， Zhejiang University， Hangzhou 310058， China；

2. Huadong Engineering Corporation Limited， Power China， Hangzhou 311122， China；

3. National Rail Transit Electrification and Automation Engineering Technology Research Center （Hong Kong Branch）， Hong Kong 999077， China；

4. Department of Mechanics， School of Aeronautics and Astronautics， Zhejiang University， Hangzhou 310027， China；

5. Zhejiang Province Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology， Zhejiang University， Hangzhou 310027， China

Abstract The parametric vibration is mainly caused by the vibration of the end supports connecting the cables. The cable is the main force component of the cable?stayed bridge. A small disturbance of the stayed cable will be motivated to oscillate with large amplitude once the natural frequency of cables meets a certain multiple relationship with that of support motion， which will cause security problems of bridges. As the complexity of nonlinear problems in the parametric vibration， the traditional analytical methods are unsuitable to be applied in engineering. Hence， the vibration analysis of the stayed cable under dynamic boundary conditions were conducted based on the Vector Form Intrinsic Finite Element method （VFIFE） in this paper and the accuracy of the results were validated by comparison with numerical solution of the governing equations. In addition， the characteristics of the main resonance regions and the main parameter resonance regions excited by axial support motion were discussed. The effects of the angle of inclination， damping ratio and the wind loads on parametric vibration were also analyzed， respectively. The results showed that the VFIFE method is enable to efficiently simulate the parametric vibration of cables under various conditions， which is benefit to engineering application.

Keywords stay cable; parametric vibration; vibration simulation; Vector Form Intrinsic Finite Element method; numerical solution