負載不確定振動基機械臂的有限時間魯棒鎮(zhèn)定控制

梅瑞麟 郭宇飛 王志剛 郝志強

摘要 針對存在外部振動激勵與負載變化的機械臂在實現(xiàn)位置控制時耗時長、精度低等問題，提出了一種魯棒有限時間控制方法。使用第二類Lagrange方法建立了含外部擾動的機械臂動力學方程，將基座所受振動激勵處理為系統(tǒng)慣性不確定項，設(shè)計了基于隱式Lyapunov函數(shù)的有限時間控制器；結(jié)合有限時間穩(wěn)定性引理，采用Lyapunov理論證明了所提控制算法可以在有限時間內(nèi)收斂穩(wěn)定，給出了控制器計算流程；以基座存在振動的兩連桿機械臂為對象，搭建試驗裝置并考慮外部振動與負載變化的情況進行多組對比試驗。研究結(jié)果表明：所提出的方法能克服基座振動與負載變化的影響，使控制對象快速趨近目標位置，具有較好的抗干擾性與魯棒性。

關(guān)鍵詞 機械臂; 振動激勵; 鎮(zhèn)定控制; 負載變化; 隱式Lyapunov函數(shù)

引 言

振動基機械臂是一類安裝在振動基座上的機械系統(tǒng)，包括彈藥傳輸機械臂［1?2］、移動機械臂［3?4］、空間機械臂［5?6］等，吸引了許多學者的關(guān)注。文獻［7］研究了具有彈性基座的空間機械臂魯棒控制問題，通過級聯(lián)控制法同時抑制機構(gòu)自身彈性振動與基座彈性振動。文獻［8］研究了一種在飛行過程中受到劇烈擾動影響的無人機機械臂跟蹤控制問題，設(shè)計了魯棒自適應(yīng)控制器對外部擾動進行抑制。文獻［9］研究了空間柔性機械臂在臂體大范圍運動后產(chǎn)生劇烈彈性振動的抑制問題，設(shè)計了模糊自適應(yīng)控制器來提高機械臂定位控制精度。但是，這些研究都建立在系統(tǒng)是線性的假設(shè)之上，并且基礎(chǔ)振動的頻率范圍可以提前預(yù)測。

坦克彈藥傳輸機械臂可以被視作一類典型的振動基機械臂，會受到坦克行進時由于路面不平整產(chǎn)生的外部非線性振動激勵與坦克開火時火炮的后坐力產(chǎn)生的內(nèi)部非線性沖擊激勵的影響，具有振動激勵不可預(yù)測的特點。同時，當彈藥傳輸機械臂執(zhí)行裝彈操作時，機械系統(tǒng)外部負載的大幅增加會顯著影響控制器的控制時間，增大控制難度。此外，將坦克單次裝彈時間限制在有限時間內(nèi)是提升坦克整體作戰(zhàn)能力的重要前提之一。然而，目前大部分控制方法只能在時間趨于無窮大時才能實現(xiàn)漸進穩(wěn)定，且難以保證存在外部擾動和負載變化時的穩(wěn)定性［10］。因此，對于振動基機械臂在變負載工況下的有限時間控制問題的研究勢在必行。

目前，有限時間控制器的設(shè)計通常采用終端滑?？刂疲?1?12］、自適應(yīng)控制［13?14］、分數(shù)階控制［15］等方法，其具有實現(xiàn)控制目標所耗時間最短的特性，但是上述有限時間控制的研究，尚未應(yīng)用于振動基機械臂中。然而，底座振動與彈藥裝載造成的負載增加是作用在坦克彈藥傳輸機械臂上的控制器在實戰(zhàn)中實現(xiàn)快速精準裝填時面臨的重大挑戰(zhàn)。

在考慮了外部振動激勵的有限時間控制研究中，文獻［16］基于對雅可比轉(zhuǎn)置矩陣的估計，設(shè)計了適用于兩自由度機械臂的有限時間控制器，但沒有設(shè)置考慮振動情況的對照組并且缺少考慮慣量改變的對照組仿真。文獻［17］通過反步法設(shè)計了無需考慮模型的抗干擾控制器，但這種方法難以嚴格證明其有限時間收斂性質(zhì)。此外，上述有限時間控制的研究缺少試驗驗證，難以確保其在實際應(yīng)用中的有效性。

在設(shè)置了試驗的有限時間控制的相關(guān)研究中，文獻［18］設(shè)計了對跟蹤誤差和滑模面具有預(yù)定義約束切換的有限時間滑?？刂破?，但在試驗部分沒有對機械臂施加振動激勵。文獻［19］結(jié)合固定時間干擾觀測器，采用終端滑?？刂品椒ㄑ芯苛藦椝巶鬏敊C械臂定位控制問題，但沒有考慮彈藥裝填時的負載增加的不足。文獻［20］設(shè)計了不考慮模型的非奇異無抖振終端滑模魯棒控制器，并采用Lyapunov穩(wěn)定性理論對其有限時間收斂性進行了證明，但只能實現(xiàn)對較小外部振動的被動抑制，難以驗證機械臂在實際工作中遭受顯著沖擊時的穩(wěn)定性。

為解決上述問題，本文首次同時針對振動基機械臂、變負載工況和有限時間控制問題，設(shè)計了一種基于隱式Lyapunov函數(shù)的有限時間控制器，能夠在無需測量或預(yù)測基礎(chǔ)振動信息的前提下實現(xiàn)機械臂的定位控制，并結(jié)合有限時間穩(wěn)定性引理，采用Lyapunov理論證明了所提控制算法可以在有限時間內(nèi)收斂穩(wěn)定。搭建了兩自由度的振動基機械臂試驗裝置，通過試驗驗證了在存在振動激勵的工況下，所設(shè)計控制器在外加負載增加時仍具有較好的魯棒性，以及相比于增加了重力補償?shù)膫鹘y(tǒng)固定參數(shù)PD控制器的有效性與優(yōu)越性。

1 振動基機械臂動力學模型

1.1 模型簡化

文獻［1］提出的一種坦克彈藥傳輸機械臂示意圖如圖1所示，其主要由升降部分、翻轉(zhuǎn)部分與安裝架組成。升降部分與翻轉(zhuǎn)部分均由電機驅(qū)動，可實現(xiàn)360°翻轉(zhuǎn)裝填并推送炮彈進入炮尾。

由于對振動基彈藥傳輸機的控制方法進行研究的核心問題是對電機的控制，因此，為便于通過試驗研究本文提出的控制算法應(yīng)用于電機上的效果，本文針對一種2?DOF的振動基機械臂，建立了如圖2所示的簡化模型，該簡化模型將用于研究上述針對振動基機械臂的魯棒鎮(zhèn)定控制方法。

其中，XOY為簡化模型慣性坐標系；ys為振動基座振動位移；mi，θi，di分別為機械臂1，2的質(zhì)量、角位移、長度，i=1，2，且假定mi為連桿末端的點質(zhì)量；B為機械臂振動基座。

1.2 動力學建模

由于基座的振動運動是由外界施加的不確定性擾動引起的，而機械臂的運動對基座的振動幾乎沒有影響。因此，基座對機械臂的作用可認為是不確定的外部擾動。上述簡化模型可根據(jù)第二類Lagrange方法建立其動力學方程為：

式中 H（q）為有效慣量；C（q，q˙）q˙為系統(tǒng)的向心力與科氏力項；G（q）為重力項；Δ為由于基座振動產(chǎn)生的慣性不確定項；U為系統(tǒng)的主動控制力向量；q為機械臂的角位移。

令P1=m2d1d2，P2=m2d22，P3=m1+m2，g為重力加速度，各項表達式為：

2 控制器設(shè)計與收斂性分析

2.1 位置控制器設(shè)計

在作者之前的研究中［1?2］，已經(jīng)對該控制算法在柔性條件下的穩(wěn)定性進行了分析，給出了鎮(zhèn)定控制與軌跡跟蹤控制的數(shù)值仿真結(jié)果。與之前的研究不同的是，本文首次搭建試驗裝置研究了該控制算法實現(xiàn)鎮(zhèn)定控制的有效性，并首次提出了控制算法的有限時間收斂特性與控制器計算流程。

一個同時考慮重力、外部擾動與負載變化的2?DOF機械臂模型的不確定動力學方程可寫為：

2.4 控制回路與計算流程

定義：

其中：

將式（11），（12）和（50）代入式（13），可得：

對于式（52），有如下定理：

定理? ［21］：

所有形式如下的方程：

其系數(shù)滿足不等式（51）時，具有唯一的正實根，且其重數(shù)為1。

因此，可以通過牛頓迭代法求解方程（47）得到x的值，然后依次求出V，kp，kd，U的值，機械臂位置控制回路如圖3所示。

3 試驗驗證與分析

3.1 試驗設(shè)置

搭建振動基機械臂試驗裝置如圖4所示。

試驗裝置主要由機械部分和控制部分組成。機械部分由機械臂1，2（包括臂體、直流電機、行星齒輪減速器）、振動裝置、夾具板、用于保持底座振動方向的四個導(dǎo)向桿、固定基座、振動基座等組成。兩機械臂均為45號鋼材料，均由Maxon公司生產(chǎn)的EC45型直流無刷電機經(jīng)GP52C型行星齒輪減速器進行驅(qū)動，均可繞電機軸360°旋轉(zhuǎn)。其中，機械臂1，2與其驅(qū)動電機均采用鍵連接，機械臂1的驅(qū)動電機固定在振動基座上，機械臂2的驅(qū)動電機固定在機械臂1上。垂直振動裝置固定在振動基座下端，其振動激勵由一個供電電壓為24 V，最大頻率為2 Hz的DS?400.110/S555S型直流減速電機驅(qū)動的曲柄滑塊機構(gòu)提供，所選曲柄滑塊機構(gòu)的行程為0～80 mm。在固定基座的四角上設(shè)置有四個滑動軸承，可以使固定基座沿著安裝在固定底板上的導(dǎo)向桿垂直滑動，振動基座被垂直振動裝置支撐。

控制系統(tǒng)數(shù)據(jù)通訊方案如圖5所示?？刂撇糠钟蒔C機、控制器、激光位移傳感器、信號采集器、電源組成，試驗控制算法在PC機內(nèi)采用LABVIEW編寫，每個EC45型電機的末端設(shè)置有HEDL5540型光電編碼器與霍爾傳感器，編碼器與70/10型EPOS2數(shù)字位置控制器連接，兩個位置控制器之間通過CAN總線傳遞數(shù)據(jù)并均通過USB接口和PC機進行通訊交換數(shù)據(jù)，振動位移測量傳感器采用日本松下公司生產(chǎn)的HG?C1400型激光位移傳感器，其測試精度為0.3 mm，供電電源為MCH?303D?II型直流穩(wěn)壓電源。

本試驗采用電流環(huán)、速度環(huán)與位置環(huán)的三環(huán)控制，其中，電流環(huán)采用EPOS2數(shù)字位置控制器系統(tǒng)內(nèi)嵌的PI控制，速度環(huán)以電流環(huán)為內(nèi)控回路，采用PI反饋、速度反饋、加速度反饋的控制策略，位置環(huán)采用如圖3所示的機械臂位置控制回路，系統(tǒng)控制原理如圖6所示。

經(jīng)激光位移傳感器測量與信號采集器采集，由振動裝置產(chǎn)生的振動位移如圖7所示。

為驗證本文提出算法在控制時間與準確度方面的優(yōu)越性，采用目前工程上機械臂常用的固定參數(shù)PD控制器并增加重力補償項后進行對照試驗，其控制率如下：

設(shè)置機械臂1，2的初始角位置分別為0.25 rad，0.65 rad，初始角速度均為0，定位目標角位置與角速度均為0。試驗裝置的系統(tǒng)參數(shù)與控制參數(shù)如表1所示，其中J1，J2分別為機械臂1，2驅(qū)動減速器與電機的轉(zhuǎn)動慣量，Ju為機械臂相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，U為控制輸入。此外，由于本試驗采用三環(huán)控制，因此在試驗中電機的控制輸入通過電流環(huán)的電流輸入實現(xiàn)。

3.2 試驗結(jié)果與分析

試驗一工況下機械臂的運動響應(yīng)結(jié)果如圖8所示，其中：圖8（a），（b）分別給出了機械臂1，2的角位移曲線；圖8（c），（d）分別給出了機械臂1，2的角速度曲線；圖8（e），（f）分別為機械臂1，2的電流曲線。由圖8（a）～（d）可知，采用基于IL控制算法的有限時間控制器在0，0.125，0.25 kg負載下機械臂1的定位誤差分別為：-0.0027，0.0061，-0.0089 rad；機械臂2的定位誤差分別為：0.0072，-0.0193，-0.0273 rad。相對于標稱系統(tǒng)主要差別體現(xiàn)在圖8（a），（b）中機械臂1，2的最大角位移的絕對值相對增加，以及圖8（e），（f）中最大電流相對增加，這主要是由于兩組負載相對于機械臂本體質(zhì)量分別大幅增加約54.35%，109.65%，但對整體控制效果沒有明顯影響。此外，IL控制算法有著根據(jù)外部負載的增加自行調(diào)節(jié)控制電流輸入大小的特點，表現(xiàn)為連續(xù)時變反饋的PD型控制，這是由于IL控制器的控制增益結(jié)合了反映系統(tǒng)穩(wěn)定程度的Lyapunov函數(shù)值，當系統(tǒng)越趨于不穩(wěn)定時，控制輸入反而大幅增加，從而最終使系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定。

然而，由于PD控制器在增加外部擾動后無法滿足控制精度的條件，同時其控制輸入在2.5 s后基本趨于穩(wěn)定，為便于對比兩種控制方法的效果，設(shè)置于3.1 s時停止試驗?；赑D控制算法的控制器在0，0.125，0.25 kg負載下機械臂1的定位誤差分別為：0.0126，0.0526，0.0651 rad；機械臂2的定位誤差分別為：0.0173，0.0500，0.0624 rad，均顯著高于IL控制器的定位誤差。這主要是由于PD控制器的控制電流輸入采用的是常數(shù)增益值，當機械臂的外部負載增加時，控制電流輸入無法根據(jù)定位誤差自適應(yīng)調(diào)節(jié)大小，導(dǎo)致圖8（f）中PD控制器的輸入電流在0～0.5 s的初始試驗時間內(nèi)產(chǎn)生了顯著的振蕩，繼而導(dǎo)致在機械臂外部負載增加后的定位精度顯著下降。

試驗二工況下機械臂的運動響應(yīng)結(jié)果如圖9所示，其中：圖9（a），（b）分別給出了機械臂1，2的角位移曲線；圖9（c），（d）分別給出了機械臂1，2的角速度曲線；圖9（e），（f）分別為機械臂1，2的電流曲線。由圖9（a）～（d）可知，在機械臂遭受垂直振動激勵時，采用IL控制算法在0，0.125，0.25 kg負載下機械臂1的定位誤差分別為：-0.0063， -0.0002， -0.0011 rad；機械臂2的定位誤差分別為：0.0069，-0.0190，-0.0006 rad。

在垂直振動工況下，IL控制器的收斂時間幾乎保持不變，說明控制器能完全抑制施加的垂直振動激勵，在有限時間內(nèi)完全實現(xiàn)機械臂準確定位。相對于存在振動激勵的標稱系統(tǒng)與負載增加的無振動系統(tǒng)，其主要差別體現(xiàn)在圖9（e），（f）中0～1 s區(qū)間的電流數(shù)值變化較為劇烈，從而導(dǎo)致圖9（a），（b）中機械臂1，2的初始角位移更大，但仍能快速收斂，這主要是由于添加的負載相對機械臂本體的質(zhì)量較大且同時存在劇烈振動造成的。但在這類惡劣工況下，IL控制器仍能控制機械臂快速收斂至期望位置，充分地體現(xiàn)了本文設(shè)計的基于隱式Lyapunov函數(shù)的有限時間控制器在振動與負載增加同時存在的惡劣工況下仍能根據(jù)其自身特點自適應(yīng)調(diào)整控制增益使系統(tǒng)快速趨于穩(wěn)定，且具有很好的控制性能，充分反映了IL控制器具有較好的抗干擾性與魯棒性。

然而，基于PD控制算法的控制器在0，0.125，0.25 kg負載下機械臂1的定位誤差分別為：0.0447，0.0753，0.0596 rad；機械臂2的定位誤差分別為：0.0344，0.0384，-0.0672 rad，均顯著高于IL控制器的定位誤差。特別是圖9（a）中，增加0.25 kg負載時，機械臂1的定位誤差已經(jīng)明顯趨于惡化，無法實現(xiàn)收斂。此外，圖9（c）中試驗的0.5～2 s時，機械臂1增加負載后，其角速度產(chǎn)生了較為快速的波動。這表明在振動工況下，PD控制器的控制效果顯著下降，已經(jīng)無法保證鎮(zhèn)定控制的精度。

反映兩種控制方法定位誤差的絕對值之和以及到達目標位置的控制時長的對比如表3所示。

分析表3可知：本文所設(shè)計的基于隱式Lyapunov函數(shù)的有限時間控制器相對于增加了重力補償項的固定增益PD控制器，在外部負載為0，0.125，0.25 kg時，機械臂1，2的定位誤差的絕對值之和分別減少了0.0200，0.0772，0.0913 rad；同時存在垂直振動激勵與負載增加時，這一數(shù)值分別減少到0.0659， 0.0945， 0.1251 rad。

此外，IL控制器在自身負載增加至0.25 kg時，到達目標位置的耗時相對于無負載情況僅增加約0.1 s；在同時存在外部振動激勵與負載增加的工況下，控制時間幾乎無增加，進一步說明了基于隱式Lyapunov函數(shù)的有限時間控制算法在處理存在振動系統(tǒng)時具有較好的魯棒性與抗干擾性，能在有限時間內(nèi)引導(dǎo)系統(tǒng)到達目標位置。

4 結(jié) 論

本文以一種坦克彈藥傳輸機械臂為研究對象，提出了一種在外部振動激勵與負載變化的工況下能實現(xiàn)機械臂有限時間魯棒鎮(zhèn)定控制的方法，通過理論分析和實驗驗證，本文的主要結(jié)論與貢獻如下：

（1） 在外部負載為0，0.125，0.25 kg時，采用本文所提出的IL控制器相對于PD控制器的機械臂定位誤差絕對值之和分別減少0.0200， 0.0772，0.0913 rad；在外部負載為0，0.125，0.25 kg的基礎(chǔ)上再增加垂直振動激勵時，這一數(shù)值分別減少0.0659，0.0945，0.1251 rad。

（2） IL控制器在自身負載增加至0.25 kg時，到達目標位置的耗時相對于無負載情況僅增加約0.1 s，在同時存在外部振動激勵與負載增加的工況下，控制時間幾乎無增加。

（3） 本文結(jié)合有限時間穩(wěn)定性引理，采用Lyapunov理論證明了所提出方法的有限時間收斂性，并給出了控制器計算流程。試驗結(jié)果表明，該控制器能在有限時間內(nèi)引導(dǎo)系統(tǒng)到達目標位置，定位精度高且具有較好的魯棒性與抗干擾性。

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Finite time robust stabilization control for vibration-based manipulators with payload uncertainty

MEI Rui-lin 1，2，3 GUO Yu-fei 1，2，3 WANG Zhi-gang 1HAO Zhi-qiang 1

1. Key Laboratory of Metallurgical Equipment and Control Technology of Ministry of Education， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430081， China；

2. Precision Manufacturing Institute， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430081， China；

3. Institute of Robotics and Intelligent Systems， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430081， China

Abstract A robust finite time control method is proposed to solve the problem of long time and low precision in position control of manipulator with vibrational excitation and payload uncertainty. Firstly， the dynamic equation of the manipulator with external disturbance is established by Lagrange method of the second kind. The vibrational excitation of the base is treated as the inertial uncertainty parameter of the system. A finite time controller based on implicit Lyapunov function is designed. Secondly， in combination with the lemma of finite time stability， Lyapunov theory is used to prove the proposed control algorithm can converge and stabilize in finite time， and the calculation flow of the controller is given. Finally， the two-link manipulator arm with based-vibration is taken as the object， set up the experimental equipment and carry out several groups of contrast experiments considering the vibrational excitation and payload uncertainty. The results show that the proposed method can overcome the influence of the vibrational excitation and payload uncertainty and let the controlled member move to the desire position quickly， with better anti-interference and robustness.

Keywords robotic manipulator; vibrational excitation; stabilization control; payload uncertainty; implicit Lyapunov function