典型邊界條件下任意截面縱肋加筋圓柱殼固有特性計算與分析

牛寧 孫玲玲 邢澤智 趙國棟 王秀和 吳優(yōu)優(yōu)

摘要 針對縱向加肋圓柱殼自由振動問題，考慮結構邊界條件的復雜性和縱肋截面的任意性，在殼體兩端引入連續(xù)可變的彈性約束，推導任意截面縱肋剪切中心與圓柱殼中面位移協(xié)調關系，并利用Gram?Schmidt正交法構造的級數表示殼體軸向振型函數。采用Novozhilov殼體理論，計及殼體和縱肋能量泛函中各向平移與轉動慣性項貢獻，基于Rayleigh?Ritz法得到結構自由振動的特征方程表達式，建立縱向加肋圓柱殼自由振動的統(tǒng)一動力學分析模型。調整約束彈簧剛度等效不同邊界條件，應用該模型探究了相應邊界下肋條附加位置、肋條數量和肋條偏心距對縱向加肋圓柱殼固有頻率的影響。研究表明：在一定周向波數范圍內，外部加肋和內部加肋圓柱殼固有頻率之差的絕對值與周向波數n的變化呈正相關；增加肋條數量會降低內部加肋圓柱殼的固有頻率；增大肋條偏心距會降低內部加肋圓柱殼固有頻率，且偏心距與肋條數量對固有頻率的影響會產生疊加效應。研究結果與驗證了所提的統(tǒng)一動力學分析模型的精確性和有效性。

關鍵詞

自由振動; 圓柱殼; 典型邊界條件; 任意非對稱截面; Gram?Schmidt正交法; Rayleigh?Ritz法

引 言

圓柱殼體采用縱肋加強，增強了結構強度和穩(wěn)定性，同時可以保持較輕的結構重量，兼具良好的力學性能和經濟性，因此被廣泛應用于水下機器人機身、航天器外殼等重要結構部位?？v向加肋圓柱殼結構常受到復雜多變的激勵作用，若被誘發(fā)共振，振動能量的集中傳輸會嚴重影響其使用壽命與聲輻射特性。

對縱向加肋圓柱殼自由振動問題的研究主要有兩種方法。一種是以正交各向異性模型等效加肋圓柱殼，該方法適用于加密肋或振動波長大于肋條間距的情況；另一種是將肋條離散化處理，對肋條數量沒有限制，適用性更加廣泛［1?2］。早期研究以第一種方法為主，主要對幾種簡單邊界條件下縱向加肋圓柱殼的自由振動特性進行了初步建模研究，部分研究給出了實驗結果［3?6］。隨后，文獻［7?8］將肋條看作離散單元，并假設肋條高度遠小于殼體半徑且沿周向均勻分布，考慮縱肋周向和徑向彎曲、扭轉及拉伸運動，同時采用梁函數模擬殼體軸向振型函數，在此基礎上研究了加肋圓柱殼的自由振動特性。文獻［9?11］基于上述研究，提出的解析模型不再受肋條高度、分布間距及長度參數的限制，但縱肋橫截面為規(guī)則幾何形狀，并未給出非對稱截面縱肋與殼體的位移協(xié)調關系，這在理論上限制了肋條的類型及其附加方式。文獻［2］指出，對于較?。ㄈ鏡/h>20）或較長的殼體，隨著周向波和縱向波數量的增加，殼體面內轉動慣量對其自由振動求解精度的影響變大；同時，采用不同殼體理論也會導致結構自由振動求解結果差異較大。近年來，研究人員對加環(huán)肋和加正交肋圓柱殼自由振動問題進行了進一步研究［12?16］，雖然得到一些結論，但是肋條截面為規(guī)則矩形，子結構能量泛函則引用以往簡化模型，其中殼體面內轉動慣量、縱肋彎扭耦合運動及翹曲變形等因素仍然被忽略。為探究不同殼體理論對結構固有頻率計算精度的影響，文獻［17］分別運用Donnell理論和Flugge理論對簡支邊界下縱向加肋圓柱殼的自由振動進行了求解，得到了前者計算精度良好的結論，實際上，由于計算模型單一，上述結論具有一定局限性。文獻［18?21］進一步分析了各種殼體理論對無肋圓柱殼自由振動的計算結果，在明確給出了Donnell殼體理論應用范圍的同時，指出Novozhilov理論具備高精度特性，尤其在高頻段，可以明顯減弱厚徑比和長徑比等參數波動對殼體自由振動求解造成的誤差。

為了有效解決工程應用中縱向加肋圓柱殼的自由振動問題，本文考慮實際邊界條件的復雜性和縱肋截面的任意性，以及不同場合中薄殼厚徑比、長徑比的變化等因素。在殼體兩端引入軸向、徑向、周向和轉動方向的彈簧，以實現殼體邊界約束的連續(xù)變化，而不同邊界下殼體軸向振型函數則利用Gram?Schmidt正交法構造的級數來統(tǒng)一表示?？v肋為離散子結構，考慮其在三維空間中的各向慣性運動，并推導任意截面縱肋與圓柱殼中面的位移協(xié)調關系。同時，采用更為精確且適用范圍更廣的Novozhilov殼體理論，殼體動能泛函計入轉動慣性項，并利用Rayleigh?Ritz法構建縱向加肋圓柱殼的統(tǒng)一分析模型，在此基礎上，探究不同邊界條件下加肋方式、肋條數量及肋條偏心距對結構自振特性的影響，驗證模型的準確性和有效性。

1 理論分析

1.1 幾何模型

圖1為規(guī)則縱肋加筋圓柱殼的幾何模型。其中，圖1（a）標明了位于殼體中面的笛卡爾坐標系，殼體半徑R，厚度h，長度L；圖1（c）給出了內部加縱肋時殼體截面的具體參數，如第i個縱肋形心到殼體中面的距離esi，縱肋截面高度dsi，寬度bsi及其周向角度θi；圖1（b）和（d）分別為殼體兩端單位長度上所受的徑向、周向、軸向和轉動方向的彈性約束，并依次用kw，kv，ku，kθ表示。

2 數值模擬與結果討論

首先，計算文獻［7］模型，并將本文及各文獻計算結果與文獻實驗數據進行誤差分析，驗證本文結果的精確性，同時檢驗本文計算方法的收斂性。然后，通過改變約束彈簧剛度調整邊界條件，詳細分析兩端簡支、兩端固支和一端固支一端簡支三種經典邊界下，肋條位置、肋條數量及肋條偏心距對縱向加肋圓柱殼固有頻率的影響，進一步驗證本文計算方法的準確性，并且為后續(xù)不同不同肋條位置、肋條數量及肋條偏心距的加肋圓柱殼振動固有特性的研究做出初步探索。

2.1 計算方法精確性與收斂性驗證

加肋圓柱殼的軸向、周向及徑向振動頻譜中，同一模態(tài)下，徑向彎曲振動對應的固有頻率最小，對結構優(yōu)化具有重要指導作用［2］。因此下文以縱向加肋圓柱殼徑向振動固有頻率為討論對象。

簡支、固支及自由邊界條件分別用S，C和F表示。表2給出了文獻［7］中加縱肋圓柱殼模型參數，表3列出了幾種經典邊界下約束彈簧剛度的無量綱值［15］。

表4列出了文獻中兩端簡支縱向加肋圓柱殼固有頻率的理論結果和實驗數據，實驗數據來自文獻［9］。其中，縱肋數量Ns=4，肋條位于圓柱殼內部。以文獻實驗數據為參考，給出了文獻［7，9，17］及本文結果與文獻實驗數據之間的誤差百分比。文獻［7，9］的縱肋為矩形，文獻［17］的縱肋為帽子型。

由表4可知，本文結果與實驗數據之間的誤差基本保持在2.7%以內，相較于文獻［7，9］表現出良好的求解精度。進一步比較發(fā)現，文獻［7］的求解結果相對于實驗數據的誤差均大于文獻［9，17］及本文結果，原因是其建模過程忽略了比較重要的面內慣性項。與文獻［9］相比，本文結果與實驗數據之間的總體誤差更小，這是由于本文采用更為精確的Novozhilov殼體理論，同時圓柱殼動能泛函計及轉動慣量，并考慮其忽略的縱肋彎扭耦合運動和翹曲變形。與文獻［17］求解結果相比，本文結果誤差稍大，原因在于文獻［17］直接求解了結構運動微分方程，而本文則采用能量原理獲取近似解，但是直接求解運動微分方程，僅能求得簡單約束下圓柱殼自由振動的解，而對于實際工程中其余較為復雜的邊界條件，需要處理復雜的結構相容條件，由于耦合偏微分方程組求解的數學困難，使得工作量變得極為巨大且常常無法得到相應的準確解，在文獻［17］里面最終也采用了數值解，因此該方法不具備通用性。而本方法可以方便地推廣到不同類型、不同形狀、不同加筋方向的加筋圓柱殼，這是直接求解運動微分方程方法所無法達到的。

收斂性體現了計算效率，對數值模擬的實現起關鍵作用。文中計算特定模態(tài)下縱向加肋圓柱殼固有頻率過程中，隨著正交多項式累加項數增多，該階固有頻率的近似值也相應增多，并最終收斂于某一恒定值，該值即為此模態(tài)下的固有頻率。將保留多位有效數字的固有頻率的相鄰近似值做差，若差值為零，則認為計算結果收斂于該項，其中有效數字的選取滿足求解精度即可。本文選取m=1，n=1～6階模態(tài)下，保留10位有效數字的無量綱固有頻率（f*=ω*/（2π））相鄰近似值之差的絕對值（Δf*Nt=∣∣f*Nt+1?f*Nt∣∣，Nt≥1）來評估本文計算方法的收斂性，橫坐標（ΔNt=1，2，…，9）表示多項式后項減去前項的自然數計數。圖3為固有頻率相鄰近似值之差的絕對值隨多項式累加項遞增的變化情況。圖中顯示，隨著累加項數的遞增，Δf*Nt在ΔNt=2時迅速收斂，隨后收斂速度變緩，但固有頻率相鄰近似值的差值仍在變小。從局部放大圖可以看出，當ΔNt=7，即Nt=8時，Δf*Nt≈0，這表明固有頻率的計算結果可以迅速收斂于某一恒定值，由此證明本文所采用的固有頻率計算方法具有良好的收斂性。

2.2 加肋方式、肋條數量及肋條偏心距對自由振動的影響

殼體結構參數對加肋圓柱殼自由振動特性的影響一直是研究熱點［14，16］。文中算例采用表2模型部分參數，僅將殼體厚度擴大10倍，并根據研究需要改變截面尺寸。以ST（Stringer）表示縱肋，CS（Cross Section）表示縱肋橫截面，其中肋條數量Ns=4，8，16，CS1：40 mm×8 mm，CS2：17.9 mm × 17.9 mm，CS3：8 mm×40 mm。例如符號ST4CS1（+）表示外部加肋（“?”為內部加肋），肋條數量為4，橫截面為類型1。殼體長徑比L/R=5，厚徑比h/R=0.024。

2.2.1 內、外部分別加肋時圓柱殼結構固有頻率差異

縱肋通常附加在圓柱殼體的內側或外側，若僅改變加肋位置，結構的質量與剛度均不發(fā)生明顯變化，但在兩種加肋方式下其固有頻率如何變化則需要進一步研究。

圖4～6分別是三種經典邊界條件下，內、外部分別加肋時圓柱殼無量綱固有頻率之差（Δf*=f*（+）?f*（?））隨周向波數n的變化曲線。綜合分析圖4～6可知，Δf*隨n的變化趨勢在各邊界下基本一致，這說明邊界條件并不是Δf*的決定因素，但是不同邊界下，當肋條數量相等，截面相同，周向波數一定時，Δf*的絕對值大小依次為∣∣Δf*（C?C）∣∣>∣∣Δf*（C?S）∣∣>∣∣Δf*（S?S）∣∣。分別分析圖4～6可知，在m=1， n=1～20范圍內，隨著n變大，Δf*>0的差值增大速度遠大于Δf*<0的差值降低速度，且Δf*<0的情況僅出現在n≥6的偶數項波數中。若肋條數量成倍增加，Δf*<0的數值個數以相同比例減少，即在一定周向波數范圍內，增加肋條數量，外部加肋大于內部加肋圓柱殼固有頻率的概率也增大。由此可以預測：若繼續(xù)增加肋條數量，一定周向波數范圍內，外部加肋將全面大于內部加肋時圓柱殼的固有頻率。上述預測恰與文獻［24］中加密肋時所得結論相吻合，驗證了文中結論的一般性。

2.2.2 縱肋數量對加肋圓柱殼固有頻率的影響

從結構角度看，肋條數量的變化會顯著改變加肋圓柱殼的剛度和質量參數；從能量角度看，不同肋條數量下結構振動時的動能和勢能不盡相同，最終導致自由振動特征方程中的剛度和質量矩陣發(fā)生變化。因此，肋條數量的變化必然會對結構固有頻率產生較大影響。

圖7（a）～（c）分別是三種經典邊界下，不同肋條數量的縱向加肋圓柱殼無量綱固有頻率f*隨周向波數n的變化曲線。首先，分別分析圖7（a）～（c）可知，同一周向波數下，肋條數量增大時，結構對應模態(tài)下的固有頻率均降低。由式（17），（18）可知，縱肋數量變化對結構振動時動能的影響大于對勢能的影響。上述分析與文獻［10］中肋條數量變化對較大長徑比薄殼固有頻率影響的結論相吻合；同時將肋條數量對結構固有頻率的分析拓展至較高周向波數，完善了該參數對縱向加肋圓柱殼自振特性影響的相關結論。然后，進一步綜合分析圖7（a）～（c）可知，隨著周向波數的增大，由肋條數量變化引起的結構固有頻率的差值變大，在圖中表現為不同曲線的間距均變大；同時可以看出，當n≥10時，曲線波動狀態(tài)發(fā)生了明顯變化，說明邊界條件和縱肋截面（不同偏心距）對結構固有頻率也有一定影響，其中邊界條件的影響在文獻［15］中已有詳細闡述。下文將繼續(xù)分析縱肋偏心距對加肋殼體固有頻率的影響。

2.2.3 肋條偏心距對加肋圓柱殼固有頻率的影響

圖8（a）～（c）給出了三種經典邊界下，不同縱肋橫截面尺寸的加縱肋圓柱殼無量綱固有頻率f*隨周向波數n的變化情況。保持肋條橫截面積不變，不同截面肋條偏心距大小關系為ecs18后，增加偏心距會降低結構的固有頻率，這種效果在周向波數較大時尤其突出。綜合分析圖8（a）～（c）可知，不同邊界條件下，如果在肋條數量增加的同時，增大肋條偏心距，可以發(fā)現，在較高周向波數時，結構固有頻率明顯降低。結合第2.2.2節(jié)結論可知，這是由于肋條數量和肋條偏心距對結構固有頻率的影響效果發(fā)生了疊加所致。

3 結 論

（1） 相較于以往研究，本文模型不再受邊界條件和縱肋截面類型的限制。同時，由于圓柱殼和縱肋子結構的能量泛函均為精確形式，因此，對于不同厚徑比和長徑比的加縱肋薄壁圓柱殼，利用本文模型均可求得較為精確的固有頻率值。本文模型同時考慮縱肋周向和徑向彎曲、扭轉及拉伸運動，還考慮了殼體面內轉動慣量對自由振動求解精度的影響，并選用了具備高精度特性的Novozhilov理論。綜上可知，本文所建理論模型兼顧一般性和精確性，可以為工程實際提供一定的理論指導。

（2） 在一定周向波數范圍內，外部加肋和內部加肋圓柱殼固有頻率之差的絕對值與周向波數n的變化呈正相關，此外，外部加肋大于內部加肋圓柱殼固有頻率的概率隨縱肋數量的增多而增大；內部加肋時，增加或減少肋條數量會使縱向加肋圓柱殼固有頻率降低或升高，由此可知，縱肋數量變化對結構振動時動能的影響大于對勢能的影響；保持縱肋橫截面積不變，增大肋條偏心距，縱向加肋圓柱殼的固有頻率變小，反之，固有頻率增加，同時，偏心距與肋條數量對結構固有頻率的影響會產生疊加效應。與文獻［7，9，17］的結論對比進一步證明了本文模型的準確性和一般性。

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Calculation and analysis of inherent properties of stiffened cylindrical shells with longitudinal stiffeners of arbitrary cross section under typical boundary conditions

NIU Ning 1 ?SUN Ling-ling 1 ?XING Ze-zhi 2ZHAO Guo-dong 1WANG Xiu-he 2WU You-you 1

1. Key Laboratory of High Efficiency and Clean Mechanical Manufacture， Ministry of Education， Shandong University， Jinan 250061， China；

2. School of Electrical Engineering， Shandong University， Jinan 250061， China

Abstract Aiming at the problem of free vibration of longitudinal stiffened cylindrical shells， considering the complexity of the boundary conditions of the stringer stiffened cylindrical shell and the arbitrariness of the stringer section， the elastic constraints that can vary continuously were introduced at both ends of the shell and the displacement relationship between the displacement compatibility between the center of a stiffer with arbitrary cross section and the middle surface of a cylindrical shell was deduced， the axial mode shape function of the shell was constructed by Gram-Schmidt orthogonal method. Based on the Novozhilov shell theory， taking into account the contribution of the each translational and rotational inertia terms in the energy functional of shell and stringer， a unified dynamic analysis model for free vibration of stringer stiffened cylindrical shell was established by the Rayleigh-Ritz method. The accuracy of the results was verified by literature model. The stiffness of restrained spring was adjusted to simulate different boundary conditions， and the model is used to explore the influence of the additional position of the ribs， the number of ribs and the rib eccentricity on the natural frequency of the longitudinally ribbed cylindrical shell under the corresponding boundary. Studies have shown that within a certain range of circumferential wavenumbers： the absolute value of the difference between the natural frequency of the external ribbed and the internally ribbed cylindrical shell is positively correlated with the change of the circumferential wavenumber n； increasing the number of ribs reduces the natural frequency of the internally ribbed cylindrical shell Increasing the eccentricity of the ribs reduces the natural frequency of the internally ribbed cylindrical shell， and the effect of the eccentricity and the number of ribs on the natural frequency produces a superposition effect. The comparison between the research results and the literature verifies the accuracy and validity of the unified dynamic analysis model proposed in this paper.

Keywords free vibration; cylindrical shell; typical boundary condition; arbitrary asymmetric cross section; Gram-Schmidt orthogonal method; Rayleigh-Ritz method