對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)混合建模方法研究

李旭龍 張忠 董俊輝 牛牧青 魏莎 陳立群

摘要 以建立精確的對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型為目標(biāo)，為解決對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ痛嬖诘慕缑孓D(zhuǎn)角自由度信息缺失的問(wèn)題，提出了頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)混合建模方法，采用界面剛性等效方法進(jìn)行界面轉(zhuǎn)角自由度信息的近似估計(jì)，并將其與有限元頻響結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了該方法在圓柱殼結(jié)構(gòu)中的計(jì)算精度。同時(shí)，根據(jù)子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)獲取方式、界面自由度的不同，采用子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)綜合方法進(jìn)行多種工況下的混合建模。結(jié)合對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，對(duì)比分析不同工況下的混合建模結(jié)果。結(jié)果表明：考慮界面轉(zhuǎn)角自由度信息后，可有效提高對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的混合建模精度。

關(guān)鍵詞 圓柱殼結(jié)構(gòu); 子結(jié)構(gòu)綜合; 混合建模; 頻響函數(shù); 轉(zhuǎn)角自由度

引 言

近年來(lái)，隨著航空航天、船舶和機(jī)械等工程領(lǐng)域的迅速發(fā)展，復(fù)雜結(jié)構(gòu)被廣泛地運(yùn)用于工程實(shí)際，這對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果的準(zhǔn)確性提出了更高的要求。傳統(tǒng)方法需對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)展開(kāi)大量的仿真運(yùn)算，需耗費(fèi)大量的計(jì)算成本，也不利于現(xiàn)代創(chuàng)新設(shè)計(jì)中的快速修改和結(jié)構(gòu)優(yōu)化。子結(jié)構(gòu)綜合方法為該問(wèn)題提供了新的解決思路［1］。

子結(jié)構(gòu)綜合方法可分為模態(tài)綜合方法［2?4］和基于頻響函數(shù)的子結(jié)構(gòu)綜合方法［5?6］兩種，前者采用模態(tài)模型進(jìn)行綜合，后者則直接使用頻響函數(shù)進(jìn)行綜合。模態(tài)綜合法存在主模態(tài)個(gè)數(shù)限制［7］、高階次模態(tài)截?cái)嗾`差、剩余模態(tài)難以通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法獲得［8］等問(wèn)題。基于頻響函數(shù)的子結(jié)構(gòu)綜合方法直接利用子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)進(jìn)行綜合建模，有效避免了上述問(wèn)題，因此許多學(xué)者將該方法運(yùn)用于工程實(shí)際。張勇［9］基于上述方法對(duì)整車進(jìn)行了混合建模，結(jié)果表明所建立的模型是準(zhǔn)確、可靠的；王威等［10］考慮子結(jié)構(gòu)連接特性后對(duì)桁架模型進(jìn)行綜合，計(jì)算結(jié)果在一定隨機(jī)誤差下仍具有較好的精度；吳仕超等［11］考慮了界面轉(zhuǎn)角自由度對(duì)空間剛架進(jìn)行綜合，所得結(jié)果較好地提高了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能預(yù)報(bào)的質(zhì)量。

本文采用界面剛性等效方法（EMPC）耦合多個(gè)拾振點(diǎn)的平動(dòng)自由度信息，獲取了對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)界面連接點(diǎn)的轉(zhuǎn)角自由度信息。同時(shí)，將其與有限元頻響進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所用方法對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)具有普遍適用性和較高計(jì)算精度。根據(jù)子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)獲取方式的不同，采用Jetmundsen頻域子結(jié)構(gòu)法進(jìn)行不同工況下的混合建模，以分析界面轉(zhuǎn)角自由度缺失對(duì)混合建模精度的影響。

1 子結(jié)構(gòu)混合建模方法

1.1 Jetmundsen頻域子結(jié)構(gòu)法

Jetmundsen等［12］通過(guò)子結(jié)構(gòu)分離與組合狀態(tài)間關(guān)系推導(dǎo)出組合結(jié)構(gòu)的頻響矩陣，該方法僅需對(duì)連接處頻響矩陣進(jìn)行求逆運(yùn)算，縮減了矩陣求解階次。以對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)為例，為方便表述，稱其為組合結(jié)構(gòu)C。假設(shè)其可拆分為子結(jié)構(gòu)A和B，則子結(jié)構(gòu)A，B頻響矩陣可表示為［13?14］：

式中 下標(biāo)c代表界面自由度；i和j分別代表A和B的內(nèi)部自由度。

基于耦合界面剛性假設(shè)，在耦合界面處須滿足位移協(xié)調(diào)條件和界面力平衡條件：

利用式（1），（2）和（3），可推導(dǎo)出子結(jié)構(gòu)A，B與組合結(jié)構(gòu)C間的頻響函數(shù)關(guān)系式：

式（4）右端僅包含子結(jié)構(gòu)A，B的頻響函數(shù)矩陣元素，這表明通過(guò)對(duì)子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)進(jìn)行矩陣運(yùn)算，便可得到組合結(jié)構(gòu)C的頻響函數(shù)矩陣。

1.2 界面剛性等效方法

由公式（4）可得，子結(jié)構(gòu)A，B中包含了大量的耦合界面自由度信息，這其中既需要平動(dòng)自由度信息，也需要轉(zhuǎn)角自由度信息。但由于實(shí)驗(yàn)過(guò)程中采用三軸加速度傳感器進(jìn)行響應(yīng)的測(cè)量，所得界面響應(yīng)數(shù)據(jù)均為平動(dòng)自由度響應(yīng)。故當(dāng)子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣由實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)獲得時(shí)，存在界面轉(zhuǎn)角自由度信息丟失問(wèn)題。本文采用界面剛性等效方法［15］，通過(guò)耦合界面連接點(diǎn)附近的多個(gè)平動(dòng)自由度響應(yīng)，對(duì)連接點(diǎn)的轉(zhuǎn)角自由度信息進(jìn)行近似估計(jì)。以對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)為例，其可根據(jù)連接特性分為子結(jié)構(gòu)A，B且由輸入、輸出關(guān)系可得子結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)方程為：

式中 ui，uc分別為子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度響應(yīng)與界面自由度響應(yīng)，fc和fi分別為界面節(jié)點(diǎn)力向量和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力向量；上標(biāo)“a”表示子結(jié)構(gòu)A的頻率響應(yīng)方程。

式（5）可寫(xiě)為如下形式：

為敘述方便，式（6）省略上標(biāo)a。其中：R為描述界面主模態(tài)信息的變換矩陣；E為單位矩陣；ueq為界面主自由度響應(yīng)；μ為剩余自由度響應(yīng)。

此時(shí)，利用剩余自由度響應(yīng)與界面主模態(tài)信息的正交關(guān)系（GTγu=0），可將剩余自由度響應(yīng)從上述表達(dá)式中脫離。子結(jié)構(gòu)A，B的原自由度響應(yīng)便可由變換矩陣R進(jìn)行表達(dá)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化運(yùn)算可得：

式中 Y=（GTG）?1GT。

經(jīng)過(guò)上述運(yùn)算便可對(duì)界面連接點(diǎn)轉(zhuǎn)角自由度信息進(jìn)行近似估計(jì)，界面剛性等效變換得到的頻響函數(shù)矩陣H?包含了界面連接點(diǎn)的轉(zhuǎn)角自由度信息。

2 有限元頻響與實(shí)驗(yàn)頻響的獲取

2.1 仿真模型及有限元頻響函數(shù)獲取

在有限元分析過(guò)程中，有限元模型及其網(wǎng)格劃分的合理性對(duì)于分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和經(jīng)濟(jì)性有較大的影響。已知圓柱殼結(jié)構(gòu)整體采用6061鋁合金進(jìn)行加工制作，密度為2750 kg/m3，彈性模量為71 GPa，泊松比為0.33，圖1為圓柱殼結(jié)構(gòu)示意圖，基本參數(shù)如表1所示。

本節(jié)根據(jù)實(shí)驗(yàn)件實(shí)際尺寸進(jìn)行有限元建模以及網(wǎng)格劃分，法蘭部分采用八結(jié)點(diǎn)六面體單元（CHEXA），薄壁圓柱殼采用四結(jié)點(diǎn)四邊形殼單元（CQUAD4），共21760個(gè)單元。圖2為圓柱殼結(jié)構(gòu)的有限元模型。

為獲取有限元頻響函數(shù)，本節(jié)采用Nastran中序號(hào)為SOL 108的求解器進(jìn)行目標(biāo)點(diǎn)頻響函數(shù)的求解。為表征法蘭盤(pán)處的螺栓連接，在螺栓孔中心處建立節(jié)點(diǎn)并用MPC約束將其與孔周的節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)，隨后采用RBE2單元進(jìn)行螺栓的模擬，相應(yīng)的命令卡片如表2所示。

2.2 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ图皩?shí)驗(yàn)頻響函數(shù)的獲取

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中采用單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)形式，利用沖擊力錘施加脈沖激勵(lì)，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)結(jié)合力傳感器信號(hào)和拾振點(diǎn)處的三軸加速度傳感器信號(hào)進(jìn)行曲線擬合，進(jìn)而識(shí)別系統(tǒng)的模態(tài)振動(dòng)參數(shù)，所采用的實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)如圖3所示。

對(duì)于對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)C，可按照螺栓連接特性分為子結(jié)構(gòu)A，B。其中子結(jié)構(gòu)A頻響矩陣由實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)頻響函數(shù)組成，子結(jié)構(gòu)B的頻響矩陣視具體工況而定。圖4為子結(jié)構(gòu)與對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)示意圖，選取a，b分別為子結(jié)構(gòu)A，B內(nèi)部點(diǎn)，選取1～4號(hào)連接點(diǎn)作為子結(jié)構(gòu)A，B界面點(diǎn)。

由于實(shí)驗(yàn)條件下界面連接點(diǎn)的轉(zhuǎn)角自由度信息不可測(cè)，故對(duì)實(shí)驗(yàn)子結(jié)構(gòu)A采用界面剛性等效方法進(jìn)行界面連接點(diǎn)轉(zhuǎn)角自由度信息的近似估計(jì)。分別在1～4號(hào)連接點(diǎn)附近布置如圖5（a）所示的三軸加速度傳感器（藍(lán)色），并通過(guò)附加質(zhì)量塊對(duì)每個(gè)拾振點(diǎn)進(jìn)行三向激勵(lì)（如圖5（b）所示），以獲取各拾振點(diǎn)的自身頻響函數(shù)和各拾振點(diǎn)之間的跨點(diǎn)頻響函數(shù)。

通過(guò)EMPC方法耦合上述拾振點(diǎn)平動(dòng)自由度響應(yīng)，便可完成對(duì)1～4號(hào)連接點(diǎn)轉(zhuǎn)角自由度信息的近似估計(jì)，表3為1號(hào)點(diǎn)EMPC頻響與有限元頻響峰值誤差匯總。

通過(guò)表3可以發(fā)現(xiàn)，EMPC頻響在各階固有頻率處均有共振峰的出現(xiàn)，且與有限元頻響相比具有較小的相對(duì)誤差，其中最大的相對(duì)頻率誤差為1.68%。結(jié)果表明：1）界面剛性等效方法同樣適用于圓柱殼結(jié)構(gòu)，以進(jìn)行界面轉(zhuǎn)角自由度信息的近似估計(jì)；2）通過(guò)界面剛性等效方法計(jì)算得到的轉(zhuǎn)角自由度信息具有較高的計(jì)算精度，可用于對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的混合建模。

2.3 對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析

為正確評(píng)估子結(jié)構(gòu)綜合結(jié)果的正確性，需結(jié)合對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)模態(tài)振動(dòng)特性［16］進(jìn)行分析。采用M10螺栓進(jìn)行圓柱殼結(jié)構(gòu)的對(duì)接，并通過(guò)數(shù)顯式力矩扳手控制螺栓扭矩為30 N?m。同樣采用圖3所示的實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)，可得到對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)前3階模態(tài)振型結(jié)果，如圖6所示。表4為對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果與有限元模態(tài)分析結(jié)果匯總。

表3和4對(duì)比分析結(jié)果表明：對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)保留子結(jié)構(gòu)模態(tài)振動(dòng)特性的同時(shí)，出現(xiàn)了289.02 Hz的頻率成分。該頻率對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)模態(tài)振型表現(xiàn)為以法蘭面為分界的對(duì)稱振動(dòng)，如圖6所示。

3 頻響綜合結(jié)果及誤差分析

3.1 頻響綜合結(jié)果

本節(jié)采用Jetmundsen頻域子結(jié)構(gòu)法對(duì)對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行混合建模，計(jì)算b點(diǎn)X向至a點(diǎn)X向的目標(biāo)點(diǎn)頻響函數(shù)Hax，bx。計(jì)算過(guò)程中采用與試驗(yàn)工況相同的激勵(lì)，所用到的數(shù)據(jù)均為單位激勵(lì)下的頻響函數(shù)，已通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試、有限元頻響分析、EMPC等方法獲取。

為正確評(píng)估界面轉(zhuǎn)角自由度信息對(duì)子結(jié)構(gòu)混合建模精度的具體影響，可將綜合過(guò)程分為以下兩種不同的工況，如表5所示。

通過(guò)Jetmundsen頻域子結(jié)構(gòu)法，可計(jì)算得到對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)在不同工況下的目標(biāo)點(diǎn)頻響函數(shù)Hax，bx。為驗(yàn)證Jetmundsen頻域子結(jié)構(gòu)法混合建模的正確性，將計(jì)算結(jié)果與采用NASTRAN命令卡片綜合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示。

通過(guò)圖7的比較可知，NASTRAN計(jì)算結(jié)果與Jetmundsen頻域子結(jié)構(gòu)法計(jì)算結(jié)果在前400 Hz頻段內(nèi)具有很好的一致性，前者驗(yàn)證了Jetmundsen頻域子結(jié)構(gòu)法計(jì)算結(jié)果的正確性。隨后，將不同工況下目標(biāo)點(diǎn)頻響函數(shù)Hax，bx的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)頻響函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，如圖8所示。表6和7分別為不同工況下二者峰值頻率及幅值的誤差匯總。

分析上述不同工況的綜合結(jié)果，有下述現(xiàn)象：

（1）綜合1和綜合2的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，考慮轉(zhuǎn)角自由度信息后，第一階共振峰處的峰值誤差從8.28 dB降為了0.77 dB，第三階共振峰處的峰值誤差從17.06 dB降為了13.47 dB。結(jié)果表明，考慮經(jīng)EMPC計(jì)算得到的界面轉(zhuǎn)角自由度后，可有效提高對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的混合建模精度；

（2）綜合1，2均存在第二階模態(tài)丟失問(wèn)題，故需結(jié)合對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的討論與分析；

（3）考慮轉(zhuǎn)角自由度信息后，第三階共振峰處的峰值誤差有所下降，但仍存在較大誤差，分析其主要原因是由于子結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)頻響在該頻段質(zhì)量較差導(dǎo)致。

3.2 誤差分析

由于綜合1，2均存在第二階模態(tài)丟失問(wèn)題，下面展開(kāi)該問(wèn)題的分析。由于混合建模對(duì)象采用兩個(gè)幾何尺寸完全相同的圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)接，對(duì)接后的組合結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出幾何對(duì)稱性。這種對(duì)稱性使得對(duì)接后的結(jié)構(gòu)模態(tài)產(chǎn)生了新的頻率成分（289.02 Hz）。該頻率成分下，連接界面存在一定的面內(nèi)振動(dòng)，如圖9中虛線所示。這使得該階模態(tài)受螺栓連接預(yù)緊力的影響較大。綜上所述，混合建模對(duì)象的結(jié)構(gòu)特殊性是導(dǎo)致該階模態(tài)丟失的主要原因。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中存在的界面轉(zhuǎn)角自由度缺失問(wèn)題，采用界面剛性等效方法進(jìn)行了近似估計(jì)。同時(shí)，采用Jetmundsen頻域子結(jié)構(gòu)法對(duì)對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了混合建模。對(duì)于不同工況下的混合建模結(jié)果，結(jié)合對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)振動(dòng)特性展開(kāi)分析，可得以下結(jié)論：

（1）對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)保留子結(jié)構(gòu)模態(tài)振動(dòng)特性的同時(shí)，出現(xiàn)了289.02 Hz的頻率成分。該頻率處的結(jié)構(gòu)模態(tài)振動(dòng)為對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)所特有的振動(dòng)特性，其受連接方式的影響較大；

（2）針對(duì)對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)，通過(guò)界面剛性等效方法計(jì)算得到的轉(zhuǎn)角自由度信息具有較高的計(jì)算精度，可用于對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的混合建模；

（3）考慮轉(zhuǎn)角自由度信息后，可有效提高對(duì)接圓柱殼結(jié)構(gòu)的混合建模精度；

（4）基于Jetmundsen頻域子結(jié)構(gòu)法進(jìn)行混合建模對(duì)子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)具有較高的精度要求，若子結(jié)構(gòu)頻響質(zhì)量較差，可能會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。

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Research on sub-structure hybrid modeling method based on frequency response function for butted cylindrical shell structures

LI Xu-long 1 ZHANG Zhong 3DONG Jun-hui 4NIU Mu-qing 4WEI Sha 1，2 CHEN Li-qun 1，2

1. School of Mechanics and Engineering Science， Shanghai University， Shanghai 200444， China；

2. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics， Shanghai 200072， China；

3. Science and Technology on Reliability and Environment Engineer Laboratory， Beijing Institute of Structure and Environment Engineering， Beijing 100076， China；

4. School of Science， Harbin Institute of Technology， Shenzhen， Shenzhen 518055， China

Abstract In order to establish an accurate dynamic model of butted cylindrical shell structures and to solve the problem of lack of information of rotational degrees of freedom in the experimental model of butted cylindrical shell structures， the frequency response function based sub-structuring synthesis method is proposed. The equivalent multi-point connection method is used to approximately estimate the information of rotational degrees of freedom. Then the results are compared with the frequency response function results of the finite element method， verifying the accuracy of the method for cylindrical shell structure. At the same time， according to the different ways of obtaining the frequency response function of the substructure and the degree of freedom of the interface， the frequency response function based sub-structuring synthesis method is used for the hybrid modeling under various working conditions. Combined with the vibration characteristics of the butted cylindrical shell structure， the hybrid modeling results under different working conditions are compared and studied. Results show that the hybrid modeling accuracy of the butted cylindrical shell structure can be effectively improved by considering the information of rotational degrees of freedom of interface.

Keywords cylindrical shell structure; sub-structuring synthesis; hybrid modeling; frequency response function; rotational degree of freedom