采用自適應Woodbury公式的框架結(jié)構(gòu)高效動力分析與易損性計算方法

余丁浩 李鋼 李宏男

摘要 地震易損性分析是評價工程結(jié)構(gòu)抗震安全性的重要手段，但在計算過程中通常需進行大量的動力時程分析，這導致其計算效率通常較低。該文旨在建立框架結(jié)構(gòu)強震下的高效動力分析與倒塌易損性計算方法。使用纖維梁單元建立框架結(jié)構(gòu)數(shù)值分析模型，引入隔離非線性理論進行局部材料彈塑性行為模擬，并通過對考慮P?Δ效應的幾何剛度進行矩陣分解和攝動變換，提出了能夠同時對局部材料彈塑性行為和幾何非線性行為進行隔離表達的纖維梁模型控制方程，結(jié)合Woodbury公式進行控制方程求解，所提方法在結(jié)構(gòu)動力非線性分析時能夠避免整體剛度矩陣的反復更新，顯著提升了求解效率；為克服動力Woodbury公式對時間步長選取的限制，進一步建立不同時間步長下該公式中相關(guān)系數(shù)矩陣的預處理機制和自適應調(diào)度機制，提出了基于自適應Woodbury公式的框架結(jié)構(gòu)高效動力分析方法，在此基礎(chǔ)上結(jié)合多條帶法，建立了結(jié)構(gòu)倒塌易損性曲線的快速計算方法。使用一個9層框架結(jié)構(gòu)驗證了所提方法的高效性和準確性。

關(guān)鍵詞 易損性分析; 框架結(jié)構(gòu); 高效動力分析方法; Woodbury公式; 隔離非線性有限元法

引 言

對建筑結(jié)構(gòu)在強震下的抗震性能進行快速準確評估對于保障結(jié)構(gòu)安全性具有重要現(xiàn)實意義。結(jié)構(gòu)抗倒塌能力作為避免強震下出現(xiàn)人員大量傷亡的最終防線，可通過倒塌易損性曲線或以其為基礎(chǔ)發(fā)展而來的抗倒塌性能指標（如倒塌安全儲備系數(shù)）進行評價，其中易損性分析通過考慮影響結(jié)構(gòu)地震反應的不確定性因素，能夠較為合理地描述結(jié)構(gòu)在不同強度地震下的倒塌概率。

當前已發(fā)展出多種易損性分析方法，如增量動力分析（Incremental Dynamic Analysis，IDA）方法、云圖法等［1?4］，其中以IDA方法最具代表性，該方法通過選取一組能夠表征地震動不確定性的地震記錄，將每條地震記錄按照某個強度指標（IM）進行多次調(diào)幅并對結(jié)構(gòu)進行相應動力時程分析，可以確定結(jié)構(gòu)在不同地震記錄下的倒塌點及其概率分布。然而，上述方法均需涉及數(shù)十乃至上百次的非線性地震反應分析，計算效率較低。在對于結(jié)構(gòu)抗倒塌性能進行評價時，相應易損性曲線的計算通常僅需關(guān)注結(jié)構(gòu)倒塌點，而較小地震強度下的地震反應數(shù)據(jù)并不需要參與計算，鑒于此，近年來相繼有學者提出多種能夠快速計算結(jié)構(gòu)倒塌易損性的方法［5?6］，這些方法大多通過減少地震反應分析次數(shù)的方式提高倒塌易損性的計算效率，如截斷IDA方法、多條帶法等，其中截斷IDA方法僅需分析部分地震記錄引起結(jié)構(gòu)倒塌的地震強度水平［6］，多條帶法（Multiple?stripe Analysis， MSA）需在若干特定地震強度下對結(jié)構(gòu)進行多次地震反應分析［7?8］，其所需地震反應分析的次數(shù)相較于截斷IDA方法更少，該方法中每個地震強度可分別選用代表該強度地震風險水平的不同地震記錄進行動力時程分析，亦可選用經(jīng)調(diào)幅的相同地震記錄［8］。此外，有學者基于Pushover分析提出了簡化的結(jié)構(gòu)倒塌易損性分析方法［9］，盡管此類方法能夠避免耗時的動力時程分析，但本質(zhì)上屬于近似分析方法，計算結(jié)果包含一定誤差。綜上可見，雖然以動力分析為基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)易損性分析方法可以得到具有較高精度的結(jié)構(gòu)抗地震倒塌能力評價結(jié)果，但均需進行大量耗時的地震反應分析。盡管眾多學者為減少此類方法的動力分析次數(shù)進行了多方面研究，但強震下較為高昂的非線性分析成本依然是制約其被廣泛應用的主要障礙，因此，發(fā)展更為高效的地震反應分析理論就成為了提高結(jié)構(gòu)抗倒塌性能分析效率的有效途徑。

地震作用下結(jié)構(gòu)的塑性變形通常集中于局部區(qū)域，對于框架結(jié)構(gòu)，塑性變形主要集中于部分梁、柱構(gòu)件的端部，相應的結(jié)構(gòu)高效非線性數(shù)值分析方法大多利用這一特點展開，例如，孫寶印等［10?12］通過在分析前使用簡化彈性梁單元建立結(jié)構(gòu)分析模型，并在分析過程中使用精細化單元對出現(xiàn)彈塑性變形的少量構(gòu)件進行實時替換，提出了用于框架結(jié)構(gòu)高效分析的數(shù)值子結(jié)構(gòu)方法。方明等［13］根據(jù)結(jié)構(gòu)局部損傷的分布情況對結(jié)構(gòu)不同部位進行自適應網(wǎng)格細分和自由度縮聚，提出了一種適用于局部非線性問題的動力分析方法。文獻［14?16］提出了能夠?qū)Y(jié)構(gòu)局部非線性問題進行高效求解的顯式降維迭代分析法，并基于該方法實現(xiàn)了高效易損性分析。汪夢甫等［17］基于Wilson針對局部非線性問題提出的快速非線性分析方法（FNA），建立了快速增量動力彈塑性分析方法?？紤]到結(jié)構(gòu)的局部非線性行為可以轉(zhuǎn)變?yōu)槌跏紡椥詣偠鹊牡椭葦z動表達，眾多學者通過引入數(shù)學領(lǐng)域中用于低秩攝動問題快速求解的Woodbury公式，提出了多種高效的局部非線性分析方法［18?26］。文獻［18?24］將擬立法中的變形分解思想與有限元理論相結(jié)合，并引入額外非線性自由度，提出了具有較好適用性的隔離非線性有限元法，該方法使用Woodbury公式對控制方程進行求解，能夠在迭代計算過程中有效避免傳統(tǒng)非線性分析方法所需的大規(guī)模整體剛度矩陣反復更新和分解，極大提高了結(jié)構(gòu)非線性分析效率，同時也結(jié)合算法復雜度理論證明了該方法中Woodbury公式的效率優(yōu)勢。隨后，文獻［20］基于該方法提出了纖維梁單元模型，實現(xiàn)了對一般框架結(jié)構(gòu)的高效非線性分析。

既有基于Woodbury公式的分析方法主要由材料非線性問題發(fā)展而來，本文主要關(guān)注框架結(jié)構(gòu)在強震下的高效動力分析和倒塌易損性計算，為此，還需進一步考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性影響，雖然當前已有多種較為成熟的幾何非線性分析格式可供使用，如完全拉格朗日格式、更新拉格朗日格式、共旋坐標法等，但由于結(jié)構(gòu)幾何非線性具有全局性特征，與Woodbury公式對于非線性變形的局部化要求相悖，因而該公式難以直接用來進行高效分析。近期Li等［21］參考完全拉格朗日格式，結(jié)合隔離非線性法理論提出了一種用于幾何非線性行為模擬的近似Woodbury求解方法，雖然該方法相較于傳統(tǒng)求解方法能夠?qū)崿F(xiàn)更為高效的分析，但其需在分析過程中根據(jù)結(jié)構(gòu)幾何位形的變化對控制方程中的整體剛度項進行多次更新，且對Woodbury公式的修改也在一定程度上增加了求解過程的計算復雜度。此外，在進行地震反應分析時，Woodbury公式中結(jié)構(gòu)整體剛度項為包含計算時間步長的有效彈性剛度，為實現(xiàn)基于Woodbury公式的高效分析，結(jié)構(gòu)整體剛度項及與之相關(guān)的系數(shù)矩陣不能隨意改變，這導致分析過程中時間步長難以根據(jù)地震激勵和結(jié)構(gòu)非線性狀態(tài)的變化而實時變化，而使用較小的時間步長將引起計算步數(shù)增多，最終使得整體分析效率難以得到有效保障，當涉及到倒塌易損性分析這類需考慮大量不同地震記錄和高強度激勵的計算問題時，這一點顯得尤為突出。盡管文獻［27］曾結(jié)合Woodbury公式提出一種能夠?qū)崿F(xiàn)時間步長隨地震強度變化的IDA分析方法，但其中時間步長參數(shù)的確定依賴分析者經(jīng)驗判斷，因而適用性有限。綜上可見，基于Woodbury公式的非線性分析方法具有數(shù)學基礎(chǔ)嚴格、適用性好、計算效率高等特點，然而，為充分發(fā)揮其效率優(yōu)勢，實現(xiàn)框架結(jié)構(gòu)高效地震倒塌易損性分析，還需對幾何非線性模式方法和運動方程求解方法進行更為深入的探索。

本文僅考慮對框架結(jié)構(gòu)在強震下的抗倒塌性能具有顯著影響的幾何二階效應（即P?Δ效應），通過對相應幾何剛度進行矩陣分解和攝動展開，并進一步與既有的纖維梁單元隔離材料非線性控制方程進行融合，提出了能夠?qū)Σ牧蠌椝苄孕袨楹蛶缀味A效應同時進行隔離表達的纖維梁模型控制方程，該方程可使結(jié)構(gòu)整體剛度項在分析過程中保持不變，進而可以直接采用Woodbury公式提升方程求解效率。在此基礎(chǔ)上，提出了一種用于高效非線性地震反應分析的自適應動力Woodbury求解方法，進一步結(jié)合多條帶法實現(xiàn)了框架結(jié)構(gòu)的快速倒塌易損性分析，所提方法通過在前處理階段預先計算出對應于不同時間步長的有效彈性剛度和相關(guān)系數(shù)矩陣，并在實際分析時引入時間步長和相應系數(shù)矩陣的自適應更新與調(diào)度機制，能夠克服動力分析時Woodbury公式對時間步長選取的限制，充分發(fā)揮其高效計算優(yōu)勢，有效提升框架結(jié)構(gòu)倒塌易損性分析的效率。

1 基于隔離非線性的纖維梁模型

本文基于李鋼等［20，24］提出的隔離非線性纖維梁單元建立結(jié)構(gòu)數(shù)值分析模型，該單元模型最初僅考慮了材料彈塑性行為的模擬。使用圖1所示框架結(jié)構(gòu)對該單元基本原理和相應Woodbury求解方法進行說明。圖1（b）為截面纖維材料的彈塑性分解過程，可以看出，任意時刻的材料應變增量均可基于其初始彈性模量分解為線彈性應變增量與非線性應變增量兩部分，通過將截面中各纖維材料的應變進行集成，可進一步實現(xiàn)截面變形的彈塑性分解，隨后，基于插值方法建立單元的截面非線性變形場模型，可在任意計算步中建立如下形式的控制方程

式中 Ke為整體結(jié)構(gòu)的初始彈性剛度矩陣，假設(shè)結(jié)構(gòu)模型的位移自由度數(shù)為n，則該矩陣階數(shù)為n×n；ΔX，ΔF和ΔΕ"分別代表結(jié)構(gòu)的位移增量向量、荷載增量向量和截面塑性變形增量向量，其中ΔΕ"的階數(shù)為m×1，m為結(jié)構(gòu)的塑性自由度的數(shù)目，由于向量ΔΕ"在集成時僅考慮產(chǎn)生塑性變形的截面，因此m與塑性區(qū)域的規(guī)模有關(guān)；K'和K′′p為與局部塑性行為有關(guān)的系數(shù)矩陣，其階數(shù)分別為n×m和m×m，其中K'與結(jié)構(gòu)中當前產(chǎn)生塑性變形的區(qū)域位置有關(guān)，K′′p與塑性截面切線剛度有關(guān)。

通過對塑性自由度進行凝聚，式（1）可以轉(zhuǎn)化為初始彈性剛度的低秩攝動形式：

式中 等號左邊括號中表達式的計算結(jié)果代表了結(jié)構(gòu)切向剛度，對于框架結(jié)構(gòu)，地震下其非線性變形通常集中在部分梁、柱構(gòu)件的端部，塑性變形的局部化特征顯著，此時有m?n，從而可引入Woodbury公式對控制方程進行高效求解，如下式所示：

其中：

式中 （K′′p?Kinf）稱為Schur補矩陣，其階數(shù)為m×m。

由于結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣在整個非線性分析過程中保持彈性，僅需在分析前分解一次即可，因而式（3）的主要計算消耗將集中于m×m階小規(guī)模Schur補矩陣的更新和分解。這表明Woodbury公式的使用可以避免傳統(tǒng)非線性分析方法所需的大規(guī)模整體剛度矩陣實時更新和分解，取而代之的是對一個規(guī)模極小的Schur補矩陣進行相應運算，從而極大提升了結(jié)構(gòu)非線性分析效率?？梢?，該方法本質(zhì)上實現(xiàn)了大規(guī)模結(jié)構(gòu)非線性問題的降維分析，其高效性也主要來源于此，當結(jié)構(gòu)規(guī)模較大或計算工況較多時，該方法的效率優(yōu)勢將尤為明顯。

2 考慮P-Δ效應的纖維梁模型隔離非線性控制方程

框架結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件在出現(xiàn)幾何變形后由軸向荷載引起的二階效應（即P?Δ效應）是地震下引發(fā)并加劇結(jié)構(gòu)倒塌的主要因素，本文提出了一種將結(jié)構(gòu)幾何二階效應與材料彈塑性行為進行統(tǒng)一隔離表達的方法，以使結(jié)構(gòu)剛度在倒塌易損性全過程分析中保持不變，從而充分利用Woodbury公式的效率優(yōu)勢。

以圖2所示的二維梁單元為例，AB為單元初始位置，A0B0為單元變形后位置，圖中fN代表作用于單元兩個端結(jié)點上的軸向力，uν1和uν2分別為單元兩端結(jié)點沿y方向的位移。本文使用下式構(gòu)造考慮P?Δ效應的單元簡化幾何剛度：

式中 L代表單元長度。

上式表明，當僅考慮P?Δ效應時，單元幾何剛度僅與其軸向力有關(guān)。當進行結(jié)構(gòu)地震反應時，由于各單元之間存在復雜的相互作用，單元軸力并非恒定。考慮到動力分析前通常需施加用于模擬結(jié)構(gòu)自重作用的靜力荷載，因此，對于某個單元，可將地震反應分析過程中任意計算步的單元軸向力分解為如下兩部分：

式中 fN，v代表結(jié)構(gòu)自重作用引起的單元軸力；fN，h代表當前計算步中單元軸力與fN，v的差值，對于柱構(gòu)件，該部分軸力主要用于抵抗由地震作用產(chǎn)生的傾覆力矩。

基于式（6）給出的軸力分解表達式，可將式（5）給出的剛度項kg進一步分解為如下形式：

式中 kg，v和kg，h分別代表考慮fN，v和fN，h時產(chǎn)生的單元幾何剛度。

由于結(jié)構(gòu)模型一旦給定，各單元在自重作用下的軸向力即可求出，因而式（7）中的剛度項kg，v將在地震反應分析過程中保持不變，而kg，h代表了由軸力變化引起的幾何剛度擾動。對kg，h進行攝動變換，可將式（7）改寫為如下形式：

其中：

式（8）代表單元幾何剛度的攝動展開。將各單元幾何剛度進行集成，可建立考慮P?Δ效應時整體結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣Kg的攝動展開表達式：

式中 Kg，v代表結(jié)構(gòu)自重對幾何剛度的貢獻，可將其看作為動力分析時結(jié)構(gòu)幾何剛度的初始狀態(tài)；K'g， h和K?g， h分別由各單元系數(shù)矩陣k'g， h和k?g， h集成得到，其中K?g， h為對角矩陣。

將式（11）與前述僅考慮材料彈塑性行為模擬的攝動式控制方程（即式（2））相結(jié)合，即可得到同時考慮材料彈塑性和P?Δ效應的攝動式結(jié)構(gòu)控制方程，進一步參考從式（1）到（2）的過程，可反推出如下形式的隔離非線性控制方程：

其中：

式中 ΔΣ′′代表虛擬的幾何非線性影響向量，其中的每一項均代表一個虛擬的幾何非線性自由度；Keg為考慮幾何非線性影響后的整體剛度項，代表了在動力分析初始時刻的結(jié)構(gòu)整體剛度，該矩陣在動力分析過程中將始終保持恒定。

本文方法通過對幾何剛度進行分解，可以使整體剛度項在分析過程中保持初始狀態(tài)不變，在分析過程中由各單元軸力變化導致的幾何剛度變化的影響，通過額外引入的虛擬幾何非線性自由度予以考慮，其在控制方程中與表征彈塑性影響的塑性自由度一并被隔離表達。式（12）與式（1）具有完全一致的矩陣特征，可直接采用Woodbury公式求解。

由于本文方法僅考慮了P?Δ效應的模擬，幾何剛度僅與各單元軸力有關(guān)。在構(gòu)造上述隔離非線性控制方程時，若在某個計算步中某個單元軸力相較于初始狀態(tài)不發(fā)生變化，則該單元將不會引起幾何剛度的改變，相應幾何非線性自由度可直接從控制方程中消除。然而，通常大部分單元的軸力在動力分析時并不會保持恒定，這將產(chǎn)生較多的非線性自由度，并導致在使用Woodbury公式進行求解時由于Schur補矩陣的階數(shù)偏高而不利于充分發(fā)揮其高效性?？紤]到在實際地震反應分析過程中，軸力變化較大的單元通常僅存在于結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域內(nèi)，相應的單元幾何剛度改變也較為明顯，而其他大部分單元的軸力僅在小范圍內(nèi)浮動，幾何剛度的變化并不明顯，其對最終計算結(jié)果的影響也較小，本文使用下式在每次迭代求解時對各單元軸力的變化程度進行判別，以便于僅激活少量對計算結(jié)果影響顯著的幾何非線性自由度：

式中 EA為單元截面的彈性軸向剛度。

式（17）所得計算結(jié)果實質(zhì)上代表了由軸力改變量引起的彈性截面軸向應變。進一步引入預先設(shè)定的狀態(tài)閾值λth，在某個迭代步中若某個單元滿足條件λp>λth，則相應幾何剛度將根據(jù)式（6）～（8）推導過程參與控制方程中相關(guān)矩陣的集成和Woodbury公式求解，若不滿足上述條件則忽略單元幾何剛度攝動項的影響，即使用kg，v近似表示單元幾何剛度（即若λp≤λth，則令kg≈kg，v），此時該單元不產(chǎn)生額外的幾何非線性自由度。由于使用式（17）對單元狀態(tài)進行識別后結(jié)構(gòu)非線性自由度可保持在較低的水平，Woodbury公式的高效性能夠得到保證。應當指出的是，此時Woodbury公式的計算結(jié)果將存在一定的近似誤差，但該誤差可在迭代求解過程中予以消除，因而上述近似處理并不會顯著影響最終分析精度。

3 動力Woodbury求解公式自適應更新方法

3.1 運動方程求解

基于上述框架結(jié)構(gòu)的隔離雙重非線性控制方程式（12），可建立如下增量形式的結(jié)構(gòu)運動微分方程：

式中 M代表結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；CR為阻尼矩陣；ΔX¨和ΔX˙分別代表結(jié)構(gòu)的相對加速度增量和相對速度增量；ι為影響系數(shù)向量；Δx¨g=x¨g（tk）?x¨g（tk?1），代表第k-1個時間步到第k個時間步的地面加速度增量。

上式中，等號左端的剛度項可始終保持彈性，等號右端增加了考慮結(jié)構(gòu)非線性影響的虛擬荷載項（即K'egΔE′′eg）。將上式等號右端的兩項作為施加在彈性結(jié)構(gòu)上的外荷載，使用Newmark平均加速度方法進行數(shù)值積分，并結(jié)合式（12）中的第二個等式，可建立如下形式的隔離雙重非線性動力分析控制方程：

式中 K?eg和ΔF?分別代表結(jié)構(gòu)有效整體彈性剛度和有效荷載增量，相應計算表達式為：

式中 Δt為時間步長；X˙（tk?1）和X¨（tk?1）分別代表結(jié)構(gòu)在第k-1個時間步的相對速度和相對加速度；γ 和β 分別取為0.5和0.25。

引入Woodbury公式，可對式（19）的動力控制方程進行高效求解：

其中：

可以看出，式（22）～（23）與式（3）～（4）在矩陣表達格式上一致，但在荷載項和整體剛度項中包含了時間步長等動力分析相關(guān)信息。

3.2 變步長加載策略

為計算結(jié)構(gòu)的倒塌易損性曲線，需選取大量地震記錄對結(jié)構(gòu)進行多次高強度激勵下的動力時程分析。圖3為某典型強震記錄的加速度時程曲線，可以看出，雖然其峰值強度較高，但整個時間域中地面高強振動通常僅出現(xiàn)在較小的時間區(qū)間內(nèi)，其余大部分時間區(qū)間內(nèi)的振動強度相對較低。本文所采用的Newmark方法具有無條件數(shù)值穩(wěn)定性，因而在低強度時間區(qū)間內(nèi)可將計算時間步長適當放大，然而，在高強度時間區(qū)間內(nèi)則需減小時間步長，以保證迭代求解過程的計算穩(wěn)定性。從前文論述可知，為保證Woodbury求解公式的計算高效性，就要求其中的整體剛度項在分析過程中不得隨意變化，從式（20）和（23）可以看出，動力Woodbury公式中有效彈性剛度矩陣K?eg及與之相關(guān)的系數(shù)矩陣K?inf均與時間步長有關(guān)，這就對時間步長的選取提出了較為苛刻的要求。若采用固定時間步長進行動力分析，就需選取較小值，以保證高強度時間區(qū)間內(nèi)的迭代穩(wěn)定性，盡管此種情況下使用Woodbury公式可以提高每個計算步的計算效率，但這將增加分析所需總計算步數(shù)，并導致整體分析效率難以得到有效提升。

為實現(xiàn)時間步長的自適應更新，本文首先在結(jié)構(gòu)地震反應分析前預先設(shè)定若干時間步長，基于式（20）計算對應的有效彈性剛度，分別進行矩陣分解運算并存儲相應計算結(jié)果。假設(shè)一共預設(shè)c個時間步長，并采用LDLT方法進行矩陣分解運算，則有：

式中 Δt_1，Δt_2，…，Δt_c代表c個預設(shè)的時間步長（按降序排列）；（K?eg）Δt_i代表對應于第i個預設(shè)時間步長的有效彈性剛度；L?Δt_i和D?Δt_i分別為有效彈性剛度（K?eg）Δt_i分解得到的下三角矩陣和對角矩陣。

對于動力Woodbury公式中用于合成Schur補的系數(shù)矩陣K?inf（式（23）），可在相應整體剛度項K?eg完成分解后通過多次回代的方式進行計算，該矩陣不僅與時間步長有關(guān)，還與結(jié)構(gòu)中進入非線性狀態(tài)的單元位置有關(guān)（原因在于合成該矩陣的K'eg與進入非線性狀態(tài)的單元位置有關(guān)），因此分析過程中需根據(jù)時間步長和結(jié)構(gòu)非線性區(qū)域的演化而不斷更新。為避免在迭代求解過程對矩陣K?inf進行反復的重新計算，同時為提高Woodbury公式的執(zhí)行效率，本文在分析前預先計算出全局非線性狀態(tài)下對應于不同時間步長的矩陣K?inf（即假設(shè)所有單元均進入非線性狀態(tài)）并將其存儲，為便于區(qū)分，使用符號K?INF表示全局非線性狀態(tài)下的K?inf矩陣，在實際分析時，可根據(jù)當前分析步中產(chǎn)生非線性變形的單元編號和選取的時間步長直接從相應K?INF矩陣中提取對應元素合成Schur補矩陣。不同預設(shè)時間步長下的K?INF矩陣可使用下式進行計算

式中 K?'eg代表當結(jié)構(gòu)處于全局非線性狀態(tài)時相應控制方程中的矩陣K'eg。

在進行動力反應分析時，可根據(jù)結(jié)構(gòu)的實時非線性狀態(tài)確定每個計算步的適用時間步長，同時根據(jù)所選時間步長從式（24）和（25）的計算結(jié)果中調(diào)取相應系數(shù)矩陣快速構(gòu)造出對應的動力Woodbury公式并參與迭代求解。考慮到每個計算步求解所需迭代次數(shù)能夠較為簡單、直觀地反映出相應時間步長選取的適宜性，本文以當前計算步的迭代次數(shù)為判定依據(jù)，自適應確定下一個計算步的時間步長，假設(shè)某條地震激勵下第k個增量計算步的時間步長為Δtk=Δt_i （1 ≤ i ≤ c），且該步計算收斂所需迭代次數(shù)為Nk，則本文根據(jù)如下原則自適應確定第k+1個增量計算步的時間步長：

① 若Nk小于或等于預先設(shè)定的迭代閾值N0（即Nk≤N0），且已連續(xù)u個計算步滿足該條件（即max｛Nk-u+1，…，Nk｝≤N0），則認為結(jié)構(gòu)此時非線性程度較輕，若當前增量計算步所采用時間步長并非預設(shè)時間步長序列中的最大值，可在下一個計算步中增加時間步長，并調(diào)用相關(guān)系數(shù)矩陣，否則不對時間步長進行修改（即若Δtk=Δt_1，則令Δtk+1=Δt_1，否則Δtk+1=Δt_（i-1））。

② 若Nk≤N0，但未連續(xù)u個計算步滿足該條件（即max｛Nk-u+1，…，Nk｝>N0），則不改變下一個計算步的時間步長（即令Δtk+1=Δt_i）

③ 若Nk大于N0，且小于預設(shè)的最大迭代步數(shù)Nmax（即N0

④ 若Nk等于Nmax，則認為該計算步迭代發(fā)散，若此時所用時間步長并非預設(shè)時間步長序列中的最小值，則降低時間步長，調(diào)用相關(guān)系數(shù)矩陣并重新計算該步（即令Δtk=Δt_（i+1）），否則分析終止。

雖然本文方法中式（24）和（25）增加了額外的計算量，但相關(guān)計算僅與結(jié)構(gòu)模型有關(guān)，因而僅需在動力分析前執(zhí)行一次，對于結(jié)構(gòu)倒塌易損性分析這類需開展大量地震反應分析的計算問題，額外增加的計算量對于整體計算效率的影響并不顯著，這也可以從后文的算例中看出。圖4給出了使用本文時間步長自適應更新策略進行大量地震反應分析的實施流程，可以看出，本文引入的額外計算量均僅集中于前處理階段。

4 倒塌易損性高效計算方法

在計算結(jié)構(gòu)倒塌易損性時，首先需明確結(jié)構(gòu)的倒塌判據(jù)，本文參考已有研究，以結(jié)構(gòu)最大層間位移角超過0.1作為易損性分析過程中判定結(jié)構(gòu)倒塌的依據(jù)。

使用多條帶法計算結(jié)構(gòu)的倒塌易損性曲線，該方法需將選取的地震記錄統(tǒng)一調(diào)幅至若干強度水平，并計算每個地震強度下的倒塌概率，考慮到在對結(jié)構(gòu)抗倒塌性能進行評價時主要關(guān)注其倒塌易損性曲線的前半部分，而較高強度下的數(shù)據(jù)點缺少實際應用價值，因此該方法無需將地震強度調(diào)幅至所有地震記錄均引起倒塌的水平［7］，從而僅需進行較少次數(shù)的地震反應。假定不同強度下結(jié)構(gòu)倒塌概率符合對數(shù)正態(tài)分布，則相應倒塌易損性曲線可使用下式計算：

式中 IM代表地震強度指標；P（C|IM=x）代表地震強度為x時的結(jié)構(gòu)倒塌概率；Φ（?）為標準正態(tài)概率分布函數(shù)；ηc和βRTR分別代表地震倒塌強度的中值和對數(shù)標準差，可采用最大似然估計方法對其進行估算，相應求解表達式如下［6?7］：

式中 Nj，Zj分別為地震動水平IM=xj下考慮的地震記錄數(shù)量和結(jié)構(gòu)倒塌次數(shù)；w為倒塌易損性分析過程中考慮的地震強度水平數(shù)。

結(jié)合本文前述建立的自適應Woodbury非線性高效地震反應分析方法，本文中結(jié)構(gòu)倒塌易損性曲線的快速計算流程如下：

① 建立結(jié)構(gòu)非線性分析模型，在分析前選取若干時間步長，并基于式（24）和（25）計算對應于不同時間步長的相關(guān)系數(shù)矩陣；

② 確定地震動強度指標IM；

③ 考慮結(jié)構(gòu)所在場地及地震動不確定性，選取多條地震記錄，將其統(tǒng)一調(diào)幅至不同強度水平xj（j=1， 2， …），首先令j=1，并繼續(xù)執(zhí)行下述步驟；

④ 利用本文所提基于時間步長自適應更新的Woodbury分析方法計算地震強度為IM=xj時每條地震記錄下的結(jié)構(gòu)反應，若結(jié)構(gòu)在某條地震記錄下出現(xiàn)倒塌，則假設(shè)提高地震強度后結(jié)構(gòu)在該地震記錄下也將發(fā)生倒塌，從而該地震記錄無需再參與后續(xù)地震反應分析，以進一步減小計算量；

⑤ 確定地震強度IM=xj時算得的結(jié)構(gòu)倒塌概率Pk，collapse，當?shù)顾怕蚀笥谀硞€給定概率閾值Pth時停止分析，并執(zhí)行步驟⑥，否則，提高地震強度（即令k=k+1）并返回步驟④繼續(xù)進行地震反應分析；

⑥ 基于式（27）計算地震倒塌強度的中值和標準差，并利用式（26）計算結(jié)構(gòu)倒塌易損性曲線。

本文方法中Woodbury公式的使用可以大幅降低每個求解步的計算量，既有研究表明［22］，該公式的計算復雜度隨結(jié)構(gòu)自由度數(shù)的增加呈線性增加趨勢，但隨非線性占比（即m/n，代表了Woodbury公式中Schur補矩陣階數(shù)與結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣階數(shù)的比值）的增加呈指數(shù)增加趨勢，因而對非線性占比的變化較為敏感。相較于傳統(tǒng)非線性方法所需的大規(guī)模整體剛度矩陣實時更新分解，當非線性占比較小時Woodbury公式具有較高的效率優(yōu)勢，如根據(jù)文獻［22］建立的算法復雜度計算模型可知，當結(jié)構(gòu)位移自由度數(shù)為10000且非線性占比為5%時，Woodbury公式的計算復雜度僅約為整體剛度分解所需計算量的12%，因而其主要適用于激活非線性自由度較小時的情況（m?n）。雖然隨非線性占比的增高Woodbury公式的效率優(yōu)勢將逐漸降低，但當前已有學者針對這一問題提出了改進Woodbury公式［19］，使其即使在非線性占比較高時亦能表現(xiàn)出顯著效率優(yōu)勢。此外，雖然本文提出的自適應時間步長更新策略能夠顯著提升動力非線性分析時的迭代穩(wěn)定性，但在強震作用下依然可能出現(xiàn)由于結(jié)構(gòu)失穩(wěn)而導致的迭代求解困難，然而，此時結(jié)構(gòu)的側(cè)向變形通常已超過倒塌判定限值，因而不會影響最終易損性計算結(jié)果。

5 數(shù)值算例

5.1 算例介紹

選取文獻［28］中的Benchmark鋼框架結(jié)構(gòu)進行倒塌易損性計算，以對本文方法進行驗證，該結(jié)構(gòu)地上9層，地下1層，共計5跨，如圖5所示。每個梁柱構(gòu)件劃分4個單元，模型共計440個單元，截面纖維材料選用雙線性隨動硬化本構(gòu)模型，材料屈服強度根據(jù)文獻［28］的建議取值，屈服后剛度系數(shù)取為0.001。用于確定單元幾何非線性狀態(tài)的閾值λth設(shè)為0.001，分析前預設(shè)3個時間步長，分別為0.02，0.002和0.0002，用于時間步長自適應更新的相關(guān)控制參數(shù)分別設(shè)為：N0=5，Nmax=10，u=10。

5.2 算法驗證

為對本文方法的有效性和準確性進行驗證，首先對結(jié)構(gòu)施加一個幅值逐漸遞增的正弦加速度激勵，同時使用有限元軟件ABAQUS對該結(jié)構(gòu)進行對比分析，其中ABAQUS模型的單元劃分、材料定義等均與本文方法分析模型相同。圖6分別對比了本文方法與ABAQUS在考慮幾何非線性和不考慮幾何非線性時計算得到的結(jié)構(gòu)一層層間位移角時程曲線，可以看出，考慮幾何非線性后結(jié)構(gòu)的位移反應明顯增加，不同情況下本文方法與ABAQUS計算結(jié)果均基本一致。圖6中同時給出了考慮幾何非線性時兩種方法在一層層間位移角達到0.1時各層的層間位移角分布，可以看出，本文方法在對框架結(jié)構(gòu)進行抗地震倒塌性能分析時的計算精度與ABAQUS基本相當，這表明本文采用考慮P?Δ效應的幾何非線性剛度及針對幾何非線性提出的攝動展開模擬方法能夠滿足框架結(jié)構(gòu)抗倒塌性能分析的精度需求。圖7給出了本文方法分析過程中時間步長隨計算步數(shù)的變化（考慮幾何非線性），可以看出，本文方法僅在結(jié)構(gòu)進入強非線性階段后進行了一次時間步長的自適應調(diào)整。圖8給出了本文方法在進行考慮幾何非線性分析時算得的結(jié)構(gòu)非線性自由度占比，圖中非線性自由度占比最大值和平均值分別僅為12.9%和7.1%，說明本文方法能夠?qū)⒔Y(jié)構(gòu)非線性自由度占比控制在極小范圍內(nèi)，從而滿足Woodbury公式的高效計算要求。

5.3 倒塌易損性

從FEMA P695［29］建議的22組遠場地震記錄中每組選取一條地震記錄進行倒塌易損性分析，共選取22條地震記錄。表1給出了所選地震記錄的詳細信息?？紤]到通常將倒塌概率為0.5時對應的地震強度作為評價結(jié)構(gòu)抗倒塌性能的重要依據(jù)，為將其包含在計算所得倒塌概率數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，并最大限度地降低所需地震反應分析次數(shù)，本例令用于終止動力分析的倒塌概率閾值Pth等于該值，以地面峰值加速度（PGA）為地震強度指標，在分析過程中將初始地震強度設(shè)為5 m/s2（即令x1=5 m/s2），每次調(diào)幅將PGA增加5 m/s2，最終PGA調(diào)幅到25 m/s2，由于本文方法在進行某個地震強度下的動力時程分析時自動排除了較低地震強度分析時出現(xiàn)倒塌的地震記錄，最終共計進行了97次動力時程分析，圖9（a）繪制了所有地震激勵下結(jié)構(gòu)最大層間位移角隨地震強度的變化，圖9（b）為最終得到的結(jié)構(gòu)倒塌易損性曲線。

本文方法的總計算耗時為1560.3 s，其中前處理階段（包括模型載入以及基于式（10）和（11）計算相關(guān)系數(shù)矩陣）耗時3.54 s，僅占總計算時間的0.227%，這說明本文方法在前處理階段引入的額外計算對總體分析效率的影響極小。此外，在所有地震反應分析中，Woodbury公式的計算耗時共計115.5 s，僅為總計算耗時的7.4%，其余計算消耗主要用于單元狀態(tài)確定及執(zhí)行其他迭代求解所必須的程序代碼，本文方法由于能夠避免整體剛度的更新和分解，迭代求解過程中用于方程組求解的計算耗時（對于本文方法為Woodbury公式計算耗時）降低到了可忽略不計的水平。為進一步驗證本文方法的計算高效性，選取表1中的4號地震記錄。表2給出了分別使用本文方法和基于固定時間步長的Woodbury公式對算例結(jié)構(gòu)進行不同強度地震反應分析的計算耗時，可以看出，地震強度較低時，使用較大的固定時間步長即可完成分析，此時固定時間步長法與本文方法的計算耗時基本相當，然而，當PGA增大至25 m/s2時，由于結(jié)構(gòu)出現(xiàn)強非線性導致使用固定時間步長將出現(xiàn)迭代不收斂現(xiàn)象，為此需將時間步長縮小至0.002 s才能保證順利完成分析，盡管此時每個計算步中Woodbury公式均可實現(xiàn)高效計算，且Woodbury公式的總計算耗時也較少，但過多的計算步數(shù)使得整體計算耗時顯著高于本文方法，這主要是由于較多的計算步數(shù)使得單元狀態(tài)確定所需計算耗時大幅增加。這表明本文方法能夠顯著提升強震作用下的迭代穩(wěn)定性和整體求解效率，對于倒塌易損性這類需進行大量強震作用分析的計算問題尤為適用。綜上可見，本文方法的計算高效性不僅來源于Woodbury公式的使用，還來源于時間步長自適應更新策略對總分析步數(shù)的有效控制。

6 結(jié) 論

本文結(jié)合纖維梁單元基本理論，提出了框架結(jié)構(gòu)考慮P?Δ效應的隔離非線性控制方程，該方程可直接采用Woodbury公式進行高效求解，進一步通過建立動力分析條件下與Woodbury公式數(shù)值特征適配的時間步長自適應更新策略，克服了該公式在時間步長選取方面的限制，進一步結(jié)合多條帶法，提出了一種高效的框架結(jié)構(gòu)倒塌易損性分析方法，本文主要研究結(jié)論如下：

（1）為實現(xiàn)基于Woodbury公式的高效計算，需同時滿足結(jié)構(gòu)整體剛度恒定和非線性自由度規(guī)模小兩個條件。本文根據(jù)地震反應分析的初始狀態(tài)對考慮P?Δ效應的幾何剛度進行分解并在分析過程中對剛度變化項進行攝動展開，可將結(jié)構(gòu)的幾何非線性行為和材料非線性行為進行統(tǒng)一的隔離表達，從而使整體剛度在分析過程中保持不變，這滿足了Woodbury公式對于剛度恒定的要求。此外，通過對各單元幾何非線性狀態(tài)進行識別，并僅激活少量對計算結(jié)果影響顯著的非線性自由度，滿足了Woodbury公式對非線性自由度規(guī)模的要求。上述基本實施步驟和計算原則亦可推廣應用到更為一般的結(jié)構(gòu)幾何非線性問題高效分析中，此時需首先結(jié)合適當?shù)膸缀畏蔷€性表達格式推導出相應幾何剛度矩陣的攝動展開表達式，然后建立對應幾何非線性自由度的非線性程度判別模型，通過僅保留少量對計算結(jié)果影響較大的幾何非線性自由度，即可直接構(gòu)造出具有隔離局部非線性特征的結(jié)構(gòu)控制方程和相應的Woodbury高效求解公式。

（2）盡管本文所提自適應時間步長更新策略適當增加了前處理階段的計算量，但由于對結(jié)構(gòu)進行倒塌易損性評價時需進行大量動力時程分析，而前處理相關(guān)計算僅需執(zhí)行一次，因此額外增加的計算量對于整體分析效率的影響極小。

（3）本文方法中Woodbury公式的使用能夠保證每個計算步的高效性，提出的時間步長自適應更新策略不僅有助于在結(jié)構(gòu)進入強非線性狀態(tài)后提高迭代求解過程的收斂性，也能夠顯著降低總計算步數(shù)，從而使得整體分析效率得到大幅度提升。本文方法在地震強度較高時效率優(yōu)勢尤為明顯，因此尤其適用于倒塌易損性這類需進行大量強震分析的計算問題。

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Efficient structural dynamic analysis and fragility solution methods for frame using adaptive Woodbury method

YU Ding-hao LI Gang LI Hong-nan

State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering， Faculty of Infrastructure Engineering， Dalian University of Technology， Dalian 116024， China

Abstract Fragility analysis is of important in the evaluation of seismic safety of building structures under earthquake excitation. Such analysis usually involve a large number of dynamic time history analyses which indicate that the computational process is inefficient. This study focus on developing highly efficient dynamic nonlinearity analysis and collapse fragility analysis methods for frame structure. To this end， this study firstly use the fiber beam column element to establish the numerical model of the frame and use the inelasticity separated theory to model local material nonlinear behavior. The P-Δ effect is simulated by decomposing the corresponding geometric stiffness and formulating the decomposed stiffness as perturbation expansion form. Thus， a novel governing equation of fiber beam column element that can uniformly depict the material nonlinear behavior and P-Δ effect using a separated way is developed and it can be solve by adopting the Woodbury formula directly. Because the proposed method can avoid the repeatedly updating of global stiffness matrix in tradition method， the computational efficient is improved greatly. Then， to overcome the limitation of the dynamic Woodbury formula in the selection of time interval， a preconditioning mechanism and an adaptive scheduling mechanism for the coefficient matrices relating the implementation of Woodbury formula corresponding to various time intervals are established. Based on the above investigation， an adaptive Woodbury solution method for highly efficient dynamic nonlinear analysis of frame structure is presented. Furthermore， by incorporating the multiple-stripe method， a fast collapse fragility analysis method of frame structure can be developed. Finally， the proposed method is verified by a nine-story frame structure.

Keywords fragility analysis; frame structures; highly efficient dynamic analysis method; Woodbury formula; inelasticity-separated finite element method