以數(shù)線為載體，促進(jìn)對(duì)計(jì)數(shù)單位的理解與轉(zhuǎn)化*
——“神奇的數(shù)線”教學(xué)實(shí)踐與思考

□蘇英姿 章勤瓊

【課前思考】

計(jì)數(shù)單位是數(shù)與運(yùn)算的核心概念［1］，數(shù)的讀、寫、表征、運(yùn)算都要借助計(jì)數(shù)單位。計(jì)數(shù)單位對(duì)十進(jìn)制數(shù)認(rèn)識(shí)的一致性教學(xué)起著統(tǒng)領(lǐng)作用。針對(duì)計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》在不同學(xué)段提出了不同的要求。具體要求包括：第一學(xué)段，在實(shí)際情境中感悟并理解萬以內(nèi)數(shù)的意義，理解數(shù)位的含義，了解計(jì)數(shù)單位；第二學(xué)段，通過認(rèn)識(shí)萬以上的數(shù)，了解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，初步認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)，感悟分?jǐn)?shù)單位，理解計(jì)數(shù)單位的意義；第三學(xué)段，結(jié)合具體情境探索并理解小數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義，感悟計(jì)數(shù)單位。認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位是為了更好地認(rèn)識(shí)數(shù)，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)十進(jìn)制數(shù)意義理解的貫通，達(dá)到數(shù)感培養(yǎng)的目的。計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)需要達(dá)成以下兩個(gè)目的：（1）建構(gòu)計(jì)數(shù)單位并感悟其意義和價(jià)值，其中，計(jì)數(shù)單位“十”的建構(gòu)尤為關(guān)鍵，它是建構(gòu)其他計(jì)數(shù)單位并進(jìn)行方法遷移的起點(diǎn)。（2）感悟十進(jìn)制，能運(yùn)用進(jìn)率進(jìn)行單位轉(zhuǎn)化，即將10個(gè)低級(jí)單位合成1個(gè)高級(jí)單位，將1個(gè)高級(jí)單位分成10個(gè)低級(jí)單位。

如何幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位？克萊門茨和薩拉馬提出：在任意長度、給定端點(diǎn)的數(shù)線上標(biāo)記數(shù)字的心理結(jié)構(gòu)的能力對(duì)年幼兒童尤其重要，這種能力支持著計(jì)算、估計(jì)以及其他數(shù)學(xué)過程的發(fā)展和表現(xiàn)。［2］數(shù)線是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)的重要載體，在數(shù)的認(rèn)識(shí)的各個(gè)階段均有數(shù)線的“身影”。很多數(shù)線都是已標(biāo)注好起點(diǎn)、方向和單位長度的結(jié)構(gòu)化數(shù)線（數(shù)軸），且都平均分成10份，這樣的呈現(xiàn)形式不利于幫助學(xué)生真正理解計(jì)數(shù)單位及其轉(zhuǎn)化。以只有端點(diǎn)和方向的半結(jié)構(gòu)化數(shù)線為載體，創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生根據(jù)不同要求確定單位長度進(jìn)行表征的活動(dòng)，能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位的理解和轉(zhuǎn)化。為此，筆者以二年級(jí)學(xué)生為教學(xué)對(duì)象，在他們學(xué)習(xí)了萬以內(nèi)數(shù)，會(huì)用直觀學(xué)具表征數(shù)之后，以“神奇的數(shù)線”為主題創(chuàng)設(shè)了一次教學(xué)實(shí)踐。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷根據(jù)不同要求確定單位長度，在數(shù)線上進(jìn)行表征的過程，建構(gòu)計(jì)數(shù)單位十、百、千、萬，體會(huì)其產(chǎn)生的意義。

2.借助數(shù)線，進(jìn)行計(jì)數(shù)單位的轉(zhuǎn)化，表征包含多級(jí)計(jì)算單位的數(shù)，感悟十進(jìn)制。

3.建立計(jì)數(shù)單位間的聯(lián)系，建構(gòu)計(jì)數(shù)單位體系，培養(yǎng)數(shù)感。

教學(xué)重點(diǎn)：借助數(shù)線，根據(jù)數(shù)的大小，靈活選擇合適的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行表征。

教學(xué)難點(diǎn)：通過計(jì)數(shù)單位的轉(zhuǎn)化，在數(shù)線上準(zhǔn)確表征數(shù)。

【教學(xué)過程】

一、多元表征9和76，體會(huì)“十”的意義

教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)：畫圖表示出9和76。要求每名學(xué)生在學(xué)習(xí)單上獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

1.交流9的表征方法

教師呈現(xiàn)一名學(xué)生表征9的作品。

師：向大家介紹一下你是怎么畫的？

生：我是1個(gè)1個(gè)畫的，畫了9個(gè)圓。

師：你畫了9個(gè)一。

2.對(duì)比、勾連76的表征方法

教師呈現(xiàn)表征76 的①號(hào)、②號(hào)學(xué)生作品（如圖1）。

圖1

師：對(duì)比這兩種畫法，你覺得有什么不同？

生：①號(hào)作品是1個(gè)1個(gè)畫的，畫了76個(gè)一；②號(hào)作品先10個(gè)10個(gè)畫，畫了7個(gè)十，再1個(gè)1個(gè)畫，畫了6個(gè)一。

師：②號(hào)作品為什么要10個(gè)10個(gè)圈起來？

生：先每10個(gè)圈起來，畫出7個(gè)十，再畫6個(gè)一來表示，這樣更容易看出76。

教師呈現(xiàn)表征76的③號(hào)學(xué)生作品（如圖2）。

圖2

師：對(duì)比②號(hào)和③號(hào)作品，哪種方法能更簡潔地表示7個(gè)十和6個(gè)一，為什么？

生：③號(hào)作品更簡潔。因?yàn)棰厶?hào)作品是將10個(gè)看成1份，只要畫7個(gè)十和6個(gè)一，而②號(hào)作品是1個(gè)1個(gè)畫，到10個(gè)再圈起來，畫了70個(gè)圓后再畫6個(gè)圓，一共畫了76個(gè)圓。

師：②號(hào)作品中每個(gè)圓代表幾？③號(hào)作品中每個(gè)圓代表幾？

生：②號(hào)作品中每個(gè)圓代表一。③號(hào)作品中，左邊7個(gè)圓，每個(gè)圓代表十；右邊6個(gè)圓，每個(gè)圓代表一。

教師呈現(xiàn)表征76 的④號(hào)、⑤號(hào)學(xué)生作品（如圖3）。

圖3

師：對(duì)比③號(hào)、④號(hào)和⑤號(hào)作品，這三種方法有什么相同的地方？

生：它們都表示出了7個(gè)十和6個(gè)一，都出現(xiàn)了用一個(gè)圖形代表十。

設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生畫圖表征9 和76，教師了解了學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位“十”和計(jì)數(shù)單位“一”關(guān)系的理解水平。教師依次呈現(xiàn)表征76 的不同方法，并進(jìn)行了三次比較：第一次對(duì)比①號(hào)和②號(hào)作品，讓學(xué)生體會(huì)產(chǎn)生計(jì)數(shù)單位“十”的必要性；第二次對(duì)比②號(hào)和③號(hào)作品，對(duì)表征的方法進(jìn)行優(yōu)化；第三次對(duì)比③號(hào)、④號(hào)和⑤號(hào)作品，勾連計(jì)數(shù)器、數(shù)位圖與學(xué)生自創(chuàng)表征方法之間的共性，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)計(jì)數(shù)單位“十”的價(jià)值及用計(jì)數(shù)單位“十”來表征76的優(yōu)勢。

二、建構(gòu)計(jì)數(shù)單位“十”，勾連“一”和“十”

1.用數(shù)線表征9，學(xué)會(huì)表征方法

教師用課件出示數(shù)線（如圖4）。

圖4

師：如果有這樣一條線，你覺得9 應(yīng)該畫在哪里，為什么？

生：（學(xué)生用手指著從0 往右數(shù)的第9 個(gè)點(diǎn)）在這個(gè)點(diǎn)上。

師：你是怎么看出來它是9，而不是其他數(shù)的呢？

生：從0 到1 為一格，表示1，從1 到2 為一格，也表示1，從0 到2 就是兩格，表示2，這樣往下數(shù)，一直數(shù)到9。

2.用數(shù)線表征76，建構(gòu)計(jì)數(shù)單位“十”

教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)：請(qǐng)你在圖4這條線上表示出76。要求每名學(xué)生在學(xué)習(xí)單上獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

教師呈現(xiàn)表征76 的①號(hào)、②號(hào)學(xué)生作品（如圖5），并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比。

圖5

師：對(duì)比這兩種畫法，你覺得哪種方法更好，為什么？

生：②號(hào)作品的畫法更好，因?yàn)樗鼫?zhǔn)確地表示出了76，而①號(hào)作品中的76 是不是真的在這里并不能確定。

師：②號(hào)作品是怎么表示出76的？

生：1大格表示10，7大格就是70，1小格表示1，6小格就是6，相加就是76。

師：②號(hào)作品中，70～80 之間為什么要畫小格，1小格代表幾？

生：76比70大，比80小，這1大格表示10，沒法表示76 里面的6，所以將70～80 這格分一分，用每小格表示1，就可以表示出6了。

師：這里的每小格是不是一樣大？70～80 之間畫了幾小格？

生：每小格是一樣大的，它們之間畫了10 小格，表示十里面有10個(gè)一。

師：10 小格剛好是這里的1 大格，也就是十。將這個(gè)十分成10 個(gè)一，從中找到6 個(gè)一，和7 個(gè)十合起來就準(zhǔn)確地表示出了76。

設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生在數(shù)線上表示9，使學(xué)生易于將數(shù)與形進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)。接著讓學(xué)生挑戰(zhàn)在同一數(shù)線上表示76，促使學(xué)生確定數(shù)線的單位長度為十。最后在對(duì)76 的表征方法的對(duì)比中，引導(dǎo)學(xué)生通過單位轉(zhuǎn)化，將1個(gè)十平均分，得到10個(gè)一，進(jìn)而表征出76。由此，學(xué)生對(duì)76 中6 的表征從一個(gè)模糊的范圍走向了準(zhǔn)確，且學(xué)生經(jīng)歷了由計(jì)數(shù)單位“十”向計(jì)數(shù)單位“一”轉(zhuǎn)化的過程，對(duì)“一”和“十”的十進(jìn)關(guān)系有了深刻的理解。

三、建構(gòu)計(jì)數(shù)單位“百”“千”“萬”，理解相鄰計(jì)數(shù)單位的關(guān)系

1.建構(gòu)計(jì)數(shù)單位“百”，建立“十”和“百”的關(guān)系

教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)：請(qǐng)你在圖4這條線上表示出300、500、860。要求每名學(xué)生在學(xué)習(xí)單上獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

教師呈現(xiàn)①號(hào)學(xué)生作品（如圖6），并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解釋。

圖6

師：像圖6這樣畫可以嗎？怎么知道他畫的是對(duì)的？

生：可以這樣畫。因?yàn)? 大格表示100，3 大格就是300，5 大格就是500。畫860 時(shí)，他在800 和900之間平均分了10個(gè)十，取了6個(gè)十，將8個(gè)百和6個(gè)十合起來，就是860。

師：（教師用手指著800～900 之間的小格）你怎么知道這里的1小格就是10？

生：100里有10個(gè)十，10個(gè)十就是100。

教師呈現(xiàn)②號(hào)學(xué)生作品（如圖7）。

圖7

師：你們覺得畫②號(hào)作品的同學(xué)是怎么想的？這里的1格表示幾？

生：這幅圖中，前面的幾格表示每格是150，后面1格又表示100。

師：在這樣的數(shù)線上能表示出300、500 和860嗎？會(huì)遇到什么問題？

生：每格要變得一樣長，后面的數(shù)線每格也要變成150，所以要把550改成600。

生：雖然現(xiàn)在每格都一樣長，都表示150，但要在1格表示150的線上準(zhǔn)確地表示出500比較有難度，要表示出860就更困難了。

師：你們覺得要想在這條線上準(zhǔn)確地表示出300、500、860，需要注意哪些問題？

生：線上每格的長度要一樣，且每大格最好是100，這樣表示起來更準(zhǔn)確、更方便。

2.建構(gòu)計(jì)數(shù)單位“千”和“萬”，勾連相鄰計(jì)數(shù)單位

教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)：請(qǐng)你在圖4這條線上表示出2000、8700、10000。要求每名學(xué)生在學(xué)習(xí)單上獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

教師呈現(xiàn)③號(hào)學(xué)生作品（如圖8），并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解釋。

圖8

師：這樣表示對(duì)嗎？誰來說一說。

生：這樣表示是對(duì)的。這里1 大格是1000，2 大格是2000，8大格7小格就是8700，10大格是10000。

教師呈現(xiàn)圖6和圖8，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較。

師：觀察這兩條表示數(shù)的線，比較一下有什么不同？

生：圖6 這條線上1 大格表示100，1 小格表示10；圖8這條線上1大格表示1000，1小格表示100。

師：你怎么知道圖8這條線上1小格就是100？

生：10 個(gè)百是1000，1 小格是把1000 平均分成了10份。

設(shè)計(jì)意圖：教師通過創(chuàng)設(shè)不同的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生經(jīng)歷通過表征不同大小的數(shù)，靈活選擇計(jì)數(shù)單位的過程，幫助學(xué)生積累用數(shù)線表征數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)計(jì)數(shù)單位“百”“千”“萬”，理解相鄰計(jì)數(shù)單位的十進(jìn)關(guān)系，感悟十進(jìn)制。在理解計(jì)數(shù)單位“百”的教學(xué)中，教師通過呈現(xiàn)一個(gè)單位長度不是百且單位長度不一致的反例，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)線的均分特征（單位長度要一致），體會(huì)計(jì)數(shù)單位“百”產(chǎn)生的意義，體驗(yàn)用十進(jìn)制計(jì)數(shù)單位來表示十進(jìn)制數(shù)的優(yōu)越性。

四、橫聯(lián)縱拓，建構(gòu)計(jì)數(shù)單位體系

1.在數(shù)線上找9900、9990、9999，提煉轉(zhuǎn)化規(guī)則

教師呈現(xiàn)0～10000的數(shù)線（如圖9）。

圖9

師：大家能在這條線上找到9900 嗎？要怎么找？

生：先找到9000，再將9000～10000 這1 大格平均分成10 小格，每小格就是100，9 小格就是900，這樣就能找到9900了。

師：能找到9990嗎？會(huì)在哪里？

生：將9900 和10000 之間的這格再平均分成10小格，1小格是10，9小格是90。

生：將9990～10000之間的這格再平均分成10小格，1小格是1，9小格是9。

教師用課件動(dòng)態(tài)演示找9900、9990的過程（如圖10）。

圖10

師：回顧一下，我們是怎么找到9990里千位上的9的？這么分的依據(jù)是什么？

生：因?yàn)槿f里面有10 個(gè)千，將萬平均分成10份，每份是1000，9份是9000。

師：百位上的9 呢？十位上的9 呢？如果找9999的位置，該怎么找個(gè)位上的9在哪里呢？依據(jù)又是什么？

生：都是將1大格平均分成10小格，找9小格。依據(jù)是千里面有10個(gè)百，百里面有10個(gè)十，十里面有10個(gè)一。

2.揭示課題，體會(huì)數(shù)線的價(jià)值

師：今天我們?cè)谶@條線上表示出了很多數(shù)，其實(shí)大家在一年級(jí)時(shí)就遇到過它，它叫作數(shù)線。在學(xué)習(xí)用數(shù)線表示數(shù)之前，我們已經(jīng)可以用畫圖、計(jì)數(shù)器、數(shù)位圖等來表示數(shù)了，那為什么還要學(xué)習(xí)用數(shù)線表示數(shù)呢？

生：以前我們表示幾個(gè)數(shù)要畫幾幅圖，現(xiàn)在我們?cè)谝粭l數(shù)線上就可以同時(shí)表示好多數(shù)。

生：要是數(shù)線很長很長，我就可以找到很多很多數(shù)。

生：只要根據(jù)數(shù)的大小，確定1大格的長度，就可以表示了。

師：是呀，一條數(shù)線上可以同時(shí)表示很多數(shù)，數(shù)線真神奇。

3.拓寬思考范圍，建構(gòu)計(jì)數(shù)單位體系

師：關(guān)于數(shù)線，你還想研究什么？

生：要是數(shù)很大很大，每格是幾呢？

生：每格是1000的能平均分成10個(gè)百，每格是100 的能平均分成10 個(gè)十，每格是10 的能平均分成10個(gè)一，每格是1的能不能再平均分呢？如果再平均分下去每格是幾呢？

……

師：看來關(guān)于數(shù)線還有很多未知的奧秘等著我們?nèi)ヌ剿鳌?/p>

設(shè)計(jì)意圖：教師先通過計(jì)數(shù)單位之間的相互轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在數(shù)線上找出9900、9990、9999，勾連相鄰計(jì)數(shù)單位“一”“十”“百”“千”，打通計(jì)數(shù)單位層層遞進(jìn)的十進(jìn)關(guān)系，幫助學(xué)生結(jié)構(gòu)化地看待這些計(jì)數(shù)單位。接著用動(dòng)態(tài)演示和思辨活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)用數(shù)線表征的意義。最后以數(shù)線的研究為抓手，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)計(jì)數(shù)單位的十進(jìn)關(guān)系，進(jìn)行前延后拓，為更多計(jì)數(shù)單位的學(xué)習(xí)和數(shù)系的貫通奠定基礎(chǔ)。

【教學(xué)反思】

一、以數(shù)線為載體，建構(gòu)理解不同計(jì)數(shù)單位

建構(gòu)計(jì)數(shù)單位，就是要讓學(xué)生在大腦中形成一個(gè)個(gè)結(jié)構(gòu)為10 個(gè)一組的計(jì)數(shù)單位，并讓他們感悟不同計(jì)數(shù)單位的意義。只有經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的必要性，充分感知、體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生的過程，才能抽象概括，把握知識(shí)的本質(zhì)，把握知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系。［3］教師要抓住計(jì)數(shù)單位“十”這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，多元表征76，并進(jìn)行方法對(duì)比優(yōu)化，在此基礎(chǔ)上用數(shù)線來表征，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“十”的建構(gòu)過程，體會(huì)計(jì)數(shù)單位“十”產(chǎn)生的意義。再以計(jì)數(shù)單位“十”的建構(gòu)為基點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法遷移，讓學(xué)生通過在同樣的數(shù)線模型上表示更大數(shù)的任務(wù)，經(jīng)歷計(jì)數(shù)單位“百”“千”“萬”的構(gòu)建過程，不斷體會(huì)用十進(jìn)計(jì)數(shù)單位來表示十進(jìn)制數(shù)的優(yōu)越性，體會(huì)十進(jìn)制的價(jià)值。

二、借助數(shù)線進(jìn)行計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化，建構(gòu)計(jì)數(shù)單位體系

對(duì)計(jì)數(shù)單位本質(zhì)的把握不僅要建構(gòu)理解每個(gè)計(jì)數(shù)單位，還要找到計(jì)數(shù)單位之間的聯(lián)結(jié)規(guī)則，將已學(xué)的計(jì)數(shù)單位放置于整個(gè)計(jì)數(shù)單位體系中，形成計(jì)數(shù)單位系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)以有限的單位表示無限數(shù)的可能。學(xué)生通過借助數(shù)線表征不同的大數(shù)的活動(dòng)，學(xué)習(xí)運(yùn)用進(jìn)率找到合適的計(jì)數(shù)單位，在數(shù)線上找到9900、9990、9999，從而提煉出計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化的規(guī)則。這些活動(dòng)可幫助學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位進(jìn)行可視勾連，達(dá)到逐步建構(gòu)計(jì)數(shù)單位體系的目的，實(shí)現(xiàn)十進(jìn)制數(shù)意義理解的貫通和數(shù)感的培養(yǎng)。