加速試驗(yàn)缺失數(shù)據(jù)的樣條插值分析

徐志昆

（貴州商學(xué)院經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院，貴陽 550014）

0 引言

數(shù)據(jù)缺失現(xiàn)象普遍存在于各應(yīng)用領(lǐng)域的統(tǒng)計(jì)抽樣中。機(jī)械原因、人的主觀失誤、歷史局限、有意隱瞞是數(shù)據(jù)缺失的主導(dǎo)原因。樣本數(shù)據(jù)的缺失在很大程度上影響分析建模和研究結(jié)果的準(zhǔn)確性。

長(zhǎng)壽命、高可靠性是科技進(jìn)步帶來的產(chǎn)品發(fā)展趨勢(shì)，而傳統(tǒng)壽命試驗(yàn)周期過長(zhǎng)，時(shí)間成本巨大，加速試驗(yàn)便成為解決這個(gè)問題的極佳選擇。但過去的大部分加速試驗(yàn)研究都是在沒有數(shù)據(jù)缺失的前提下進(jìn)行，若僅因?yàn)閿?shù)據(jù)存在缺失就重作試驗(yàn)是極不現(xiàn)實(shí)的，代價(jià)非常高昂。

目前針對(duì)數(shù)據(jù)缺失主要有加權(quán)法、插補(bǔ)法和構(gòu)造特殊統(tǒng)計(jì)模型三類處理方法。對(duì)于單元無回答的情況多采用加權(quán)法對(duì)缺失值進(jìn)行補(bǔ)救，而對(duì)于項(xiàng)目無回答的處理多采用插補(bǔ)的方法，包括單一插補(bǔ)和多重插補(bǔ)，及根據(jù)工程背景構(gòu)造特殊統(tǒng)計(jì)模型。Politz 等（1949）提出了經(jīng)典的Politz-Simmons調(diào)整法［1］。Dempster等［2］首次提出一種使得不完全數(shù)據(jù)得到有效估計(jì)的EM 算法。Rubin 等［3］基于EM 算法，率先提出了多重插補(bǔ)方法。Brick 等［4］提出了最近鄰插補(bǔ)方法，也即樹枝分類的距離函數(shù)匹配方法。Liu 等［5］在1994年進(jìn)一步提出了ECME 等。1998 年金勇進(jìn)［6］探討了處理缺失數(shù)據(jù)中對(duì)輔助信息的利用問題。2002 年Schafer 等［7］提出的極大似然估計(jì)和多重填補(bǔ)法具有較好的處理精度和較廣的應(yīng)用范圍。王乃生等［8］給出恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)中數(shù)據(jù)缺失時(shí)的統(tǒng)計(jì)方法。2009 年劉寶慧［9］利用回歸插補(bǔ)給出方差分析。楊貴軍等［10］對(duì)高相關(guān)輔助變量擇優(yōu)回歸插補(bǔ)法進(jìn)行了研究。但從20 世紀(jì)90 年代初至今，缺乏處理缺失數(shù)據(jù)的全新思想［11-12］。

針對(duì)加速試驗(yàn)數(shù)據(jù)一般隨時(shí)間呈現(xiàn)單調(diào)變化趨勢(shì)且精度高的特點(diǎn)，立足于單一插補(bǔ)的角度，提出插值填補(bǔ)法，分別運(yùn)用Lagrange 插值、三次樣條插值和B 樣條插值，給出缺失數(shù)據(jù)合理的替補(bǔ)值，達(dá)到減小估計(jì)量偏差和數(shù)據(jù)集完整的目的。

1 基于樣條插值原理的缺失值處理

三次樣條插值曲線具有良好的性質(zhì)，在實(shí)用中最為普遍。設(shè)Δ是［a,b］的一個(gè)劃分，則：

若函數(shù)S（x）滿足：

（1）S(x) ∈C2[a,b]（注：Ck[a,b]表示區(qū)間［a,b］上具有k階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)集）；

（2）S(xi)=f(xi),i= 0,1,…,n；

（3）S（x）在每個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,…,n- 1)上都是次數(shù)不超過三次的多項(xiàng)式，且至少在一個(gè)子區(qū)間上為三次多項(xiàng)式。則稱S（x）為關(guān)于劃分Δ的三次樣條函數(shù)。

提出使用三轉(zhuǎn)角法、三彎矩法和B樣條基函數(shù)法完成石英擺片加速退化試驗(yàn)的缺失值處理。

1.1 基于三轉(zhuǎn)角法的插值處理

設(shè)S（x）在節(jié)點(diǎn)xi(i= 0,1,…,n)處的一階導(dǎo)數(shù)值為S'(xi)=mi其中mi是待定參數(shù)。記

則有方程組

第二邊界條件S"(a) =f"(a),S"(b) =f"(b),有方程組：

第三邊界條件m0=mn,m1=mn+1，得方程組：

其中：

1.2 基于三彎矩法的插值處理

選擇二階導(dǎo)數(shù)作為待定參數(shù)：

三彎矩法基本方程［13］：

其中：

在實(shí)際應(yīng)用中，若三次樣條插值沒有邊界條件，最常用的方法就是采用非扭結(jié)條件，即：

再由三彎矩基本方程，可得：

利用上述兩種方法均可解出mi(i=0,1,…,n)后，分別代入

即得插值函數(shù)S（x），用于插值計(jì)算。

1.3 基于B樣條基函數(shù)法的插值處理

B 樣條曲線具有局部性，控制頂點(diǎn)只影響部分曲線的形狀，對(duì)其余部分不產(chǎn)生影響，比較具有穩(wěn)健性，且其造型靈活，還可進(jìn)行統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的光滑化處理。

設(shè)有控制頂點(diǎn)P0,P1,…,Pn，則p階（p-1次）B樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中：Ni,p(μ)是p-1 次B 樣條曲線的基函數(shù)。B樣條基函數(shù)是一個(gè)稱為節(jié)點(diǎn)矢量的非遞減的參數(shù)μ的序列所決定的p階分段多項(xiàng)式，也即為p階（p-1次）多項(xiàng)式樣條。

B樣條de Boor-Cox遞推定義：

給定一組數(shù)據(jù){Qk}(k= 0,1,…,n)，找一條p次B 樣條曲線順序通過這組數(shù)值點(diǎn)［14］，即是根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布情況選定一組合適的節(jié)點(diǎn)矢量U=和控制頂點(diǎn)確定p次B樣條曲線

2 加速試驗(yàn)的退化數(shù)據(jù)及結(jié)果分析

2.1 2010-11-15號(hào)石英擺片在加速應(yīng)力85℃下試驗(yàn)的等效撓度數(shù)據(jù)

石英擺片（2010-11-15）在加速應(yīng)力85℃下試驗(yàn)的等效撓度數(shù)據(jù)（單位：10-1mm）如表1 所示，為驗(yàn)證方法可行性，設(shè)定空白處為缺失數(shù)據(jù)。實(shí)際觀測(cè)到T1、T2、T6 時(shí)刻正面等效撓度分別為7.3856、7.3949、7.3670，T3、T8、T9 時(shí)刻反面等效撓度分別為7.3960、7.3900、7.3930。

在實(shí)驗(yàn)中，分別用Lagrange 線性和三次插值、三轉(zhuǎn)角和三彎矩插值法、均勻和非均勻B樣條基函數(shù)法插值進(jìn)行內(nèi)推，得到插補(bǔ)結(jié)果如表2 所示，并計(jì)算誤差平方和（SSE）如表3 和4所示。

插補(bǔ)效果如圖1、圖2所示。

從石英擺片加速退化試驗(yàn)的兩組數(shù)據(jù)來看，通過比較圖像和誤差平方和，Lagrange 插值、三轉(zhuǎn)角法和非均勻B 樣條在兩組缺失數(shù)據(jù)的插補(bǔ)中均取得了較高的精度，效果理想。

表2 插補(bǔ)結(jié)果

圖1 正面等效撓度插補(bǔ)效果

表4 反面等效撓度誤差平方和

2.2 2010-01-09號(hào)石英擺片在加速應(yīng)力85℃下試驗(yàn)的等效撓度數(shù)據(jù)

石英擺片（2010-01-09）在加速應(yīng)力85℃下試驗(yàn)的等效撓度數(shù)據(jù)（單位：10-1mm）如表5 所示，仍設(shè)定空白處為缺失數(shù)據(jù)。實(shí)際觀測(cè)到T9、T10 時(shí)刻正面等效撓度分別為7.6390、7.6479，反面等效撓度分別為7.6291、7.6359。

表5 石英擺片（2010-01-09）等效撓度

由于插值法一般在外推時(shí)精度不高，甚至可能會(huì)發(fā)生龍格現(xiàn)象，造成巨大偏差。所以在外推缺失數(shù)據(jù)時(shí)，借鑒均值插補(bǔ)方法，將外推轉(zhuǎn)化為內(nèi)推處理。步驟如下：

（1）利用已知數(shù)據(jù)均值來代缺失值相鄰的下一時(shí)刻數(shù)據(jù)；

（2）利用插值法計(jì)算缺失數(shù)據(jù)；

（3）重復(fù)步驟（1）、（2）直到所有缺失值計(jì)算完成。

得到插補(bǔ)結(jié)果如表6所示，并計(jì)算誤差平方和（SSE）如表7和表8所示。

表6 插補(bǔ)結(jié)果

外推插補(bǔ)效果如圖3、圖4所示。

圖3 正面等效撓度插補(bǔ)效果

圖4 反面等效撓度插補(bǔ)效果

表7 正面等效撓度誤差平方和

表8 反面等效撓度誤差平方和

從加速試驗(yàn)數(shù)據(jù)端點(diǎn)缺失的插補(bǔ)結(jié)果來看，借助均值插補(bǔ)方法把外推轉(zhuǎn)化為內(nèi)推可以避免端點(diǎn)處的巨大波動(dòng)，降低外推風(fēng)險(xiǎn)，且又在一定程度上反映了數(shù)據(jù)自身的變化趨勢(shì)。通過比較圖像和誤差平方和，Lagrange 插值、三轉(zhuǎn)角法和非均勻B 樣條在兩組缺失數(shù)據(jù)的外推插補(bǔ)中得到了較高的精度，效果較好。

3 結(jié)語

數(shù)據(jù)缺失是統(tǒng)計(jì)工作中普遍存在的現(xiàn)象。掌握數(shù)據(jù)缺失的處理方法，有助于在進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣、統(tǒng)計(jì)分析等環(huán)節(jié)減少、規(guī)避重要信息的丟失，達(dá)到提高分析精度的目的。

通過采用Lagrange 插值、樣條插值的單一插補(bǔ)方法來研究加速試驗(yàn)缺失數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可用于填補(bǔ)缺失數(shù)據(jù)的中間點(diǎn)，且相比之下算法簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)，特別當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)呈較強(qiáng)規(guī)律變化時(shí)效果更好。在石英擺片加速退化試驗(yàn)的缺失數(shù)據(jù)插補(bǔ)中，插值法從數(shù)據(jù)點(diǎn)自身變化趨勢(shì)出發(fā)，并在外推過程中，借鑒均值插值思想把外推轉(zhuǎn)化為內(nèi)推，得到了較高精度的缺失數(shù)據(jù)。

但每一種插值填補(bǔ)方法都不是普遍適用的，都只是對(duì)缺失數(shù)據(jù)分析的一種嘗試。尤其對(duì)端點(diǎn)的缺失數(shù)據(jù)填補(bǔ)應(yīng)進(jìn)一步研究。在分析具體問題時(shí)，應(yīng)該綜合權(quán)衡考慮使用一種或者幾種方法的綜合結(jié)果。