一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法

孫 濤，王 梁，霍欣明，齊 楊，王 俊，李 祺

一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法

孫 濤1，王 梁1，霍欣明1，齊 楊2，王 俊3，李 祺3

(1. 天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350；2. 天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222；3. 天津市航天機(jī)電裝備研究所天津市航天智能裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300301)

機(jī)器人機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是開展其性能建模和優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)．然而，現(xiàn)有并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方法主要是針對(duì)給定位姿下驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)變量的求解，而對(duì)于非驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)變量則需基于機(jī)構(gòu)的幾何特性，通過反復(fù)迭代消元計(jì)算獲得，因而難以形成代數(shù)化求解流程和數(shù)字化分析軟件．針對(duì)上述問題，提出一種基于有限旋量的并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)位置逆解求解方法并開展其數(shù)字化軟件研發(fā)．首先，提出并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)位置解求解流程，構(gòu)造并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端及其支鏈的初始位姿，利用有限旋量建立運(yùn)動(dòng)方程，并通過數(shù)值方法對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解．以一類兩轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)4RSR-SS為例，計(jì)算各支鏈的全關(guān)節(jié)位置解，并與仿真結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證解的準(zhǔn)確性．然后，在此基礎(chǔ)上，建立全關(guān)節(jié)位置解的數(shù)字化算法，基于B/S架構(gòu)開展并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析軟件開發(fā)，構(gòu)建運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解、軌跡仿真和工作空間等功能模塊，通過對(duì)3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析驗(yàn)證軟件的有效性．最后，從冗余參數(shù)、方程數(shù)目等方面與現(xiàn)有方法進(jìn)行比較．提出的全關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法的優(yōu)點(diǎn)在于：可構(gòu)建簡潔的運(yùn)動(dòng)方程并同時(shí)求解給定目標(biāo)位姿下的所有關(guān)節(jié)變量，避免冗余參數(shù)和計(jì)算；涉及的所有步驟均可利用代數(shù)運(yùn)算求解，有利于實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的數(shù)字化．

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)；并聯(lián)機(jī)構(gòu)；有限旋量；數(shù)字化；運(yùn)動(dòng)學(xué)分析軟件

并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于具有運(yùn)動(dòng)靈活、剛度性能好、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)而顯示出廣闊的應(yīng)用前景[1-2]．逆運(yùn)動(dòng)學(xué)旨在分析機(jī)器人機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間與操作空間的運(yùn)動(dòng)映射，是開展靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)建模、設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)．并聯(lián)機(jī)構(gòu)同時(shí)含有驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)和被動(dòng)關(guān)節(jié)，前者決定了機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動(dòng)特性，后者則對(duì)軌跡規(guī)劃、工作空間分析以及碰撞安全性檢測具有重要意義．因此，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)不僅應(yīng)求解給定末端動(dòng)平臺(tái)位姿下的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，也應(yīng)構(gòu)建被動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)變量與末端運(yùn)動(dòng)的關(guān)系．

現(xiàn)有的并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法可分為兩類：基于位移方程[3]和基于運(yùn)動(dòng)方程[4]．位移方程法以閉環(huán)矢量法[5]為代表，利用三維矢量描述機(jī)構(gòu)的位置和姿態(tài)，進(jìn)而建立關(guān)節(jié)、支鏈和末端位姿之間的位移映射關(guān)系[6]．閉環(huán)矢量法能夠快捷地求出驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)變量，但是仍涉及大量分析推導(dǎo)．運(yùn)動(dòng)方程法以D-H 法[7]為代表，主要利用含有關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)變量的齊次變換矩陣描述關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，基于機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)與支鏈末端運(yùn)動(dòng)相同的原理構(gòu)造運(yùn)動(dòng)方程．該類方法更有助于實(shí)現(xiàn)非驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的快速求解，但是齊次矩陣中含有的元素較多，需要對(duì)方程進(jìn)行篩選．基于齊次矩陣的代數(shù)特征，衍生出了矩陣?yán)钊?、?duì)偶四元數(shù)等代數(shù)方法．Wang等[8]利用矩陣?yán)钊簩?duì)一種三自由度2PUR-2RPU機(jī)構(gòu)進(jìn)行了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析．Yang等[9]利用對(duì)偶四元數(shù)對(duì)一類空間閉環(huán)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析．Aspragathos等[10]從計(jì)算成本等方面比較了上述3類數(shù)學(xué)體系，并指出相比于齊次矩陣，矩陣?yán)钊汉蛯?duì)偶四元數(shù)方法具有表達(dá)格式緊湊、計(jì)算便捷的優(yōu)點(diǎn)．然而，需要注意的是，運(yùn)動(dòng)方程法描述機(jī)構(gòu)和支鏈從初始狀態(tài)至目標(biāo)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)．由于缺乏對(duì)一般并聯(lián)機(jī)構(gòu)的初始化描述研究，目前該方法尚局限于特定并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解．

近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，運(yùn)動(dòng)分析數(shù)字化軟件為實(shí)現(xiàn)不同并聯(lián)機(jī)構(gòu)高效運(yùn)動(dòng)學(xué)求解提供了新思路，已成為重要的發(fā)展趨勢．Gosselin[11]基于Matlab率先提出了球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置、工作空間、靈巧度與奇異性分析的可視化軟件SMAPS．Kucuk 等[12]和Inner等[13]則分別針對(duì)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)和六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)開展了正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)、奇異性和工作空間分析，設(shè)計(jì)了SIDEP和STEWSIM兩款軟件．針對(duì)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)與空間三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，Gil等[14]開發(fā)了基于Java 3D技術(shù)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)示教軟件．與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有復(fù)雜多樣的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)方法難以針對(duì)不同并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的系統(tǒng)化構(gòu)建，因此制約了上述軟件的適 用性．

針對(duì)上述并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及其數(shù)字化軟件研發(fā)中的難點(diǎn)問題，本文擬提出一種基于有限旋量的全關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法，并開展數(shù)字化研究．有限旋量是描述剛體連續(xù)運(yùn)動(dòng)的最簡格式，以此作為數(shù)學(xué)工具可以統(tǒng)一、同步地求出機(jī)構(gòu)的全關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)變量．而且有限與瞬時(shí)螺旋理論可以將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整個(gè)建模、分析、設(shè)計(jì)過程統(tǒng)一于一個(gè)數(shù)學(xué)框架內(nèi)，使得逆運(yùn)動(dòng)學(xué)與其他運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)建模分析不會(huì)割裂．

本文旨在建立通用有效的并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的方法流程，并探索數(shù)字化實(shí)現(xiàn)方法．全文討論基于有限旋量理論的并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)解的方法流程，并開展算例驗(yàn)證，提出并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)位置逆解的數(shù)字化算法，構(gòu)建在線運(yùn)動(dòng)學(xué)分析軟件，從冗余參數(shù)、方程數(shù)目等方面討論本方法與現(xiàn)有方法的區(qū)別.

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法

如圖1所示，剛體從初始位姿運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)位姿所經(jīng)歷的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可以視為螺旋運(yùn)動(dòng)[15]．基于有限旋量理論，該剛體運(yùn)動(dòng)在坐標(biāo)系中可描述為

圖1 剛體連續(xù)運(yùn)動(dòng)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)單自由度關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)均可以看作是一個(gè)部件相對(duì)于另一部件的旋轉(zhuǎn)或平移，因此可以用有限旋量描述．串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈的連續(xù)運(yùn)動(dòng)是關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的累積，由有限旋量三角積計(jì)算．并聯(lián)機(jī)構(gòu)由兩個(gè)或兩個(gè)以上的支鏈連接靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)，需要注意的是，每個(gè)支鏈的末端運(yùn)動(dòng)與并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)相同，動(dòng)平臺(tái)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可以用各支鏈連續(xù)運(yùn)動(dòng)的交集表示．受此啟發(fā)，本文提出了一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法，如圖2所示．

步驟1 機(jī)構(gòu)初始化．

運(yùn)動(dòng)學(xué)描述動(dòng)平臺(tái)和運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)從初始位姿到目標(biāo)位姿的運(yùn)動(dòng)，因此，在構(gòu)建運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，須定義動(dòng)平臺(tái)的初始位姿并獲得此位姿下關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軸線方位．為便于對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行初始化，本步驟提出了支鏈虛擬位姿的構(gòu)建方法，將在第1.1節(jié)中詳細(xì)闡述．

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法

步驟2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模．

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建?？煞譃閮蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)階段：第1階段是從虛擬位姿到初始位姿；第2階段是從初始位姿到目標(biāo)位姿．所有關(guān)節(jié)從初始位姿到目標(biāo)位姿的運(yùn)動(dòng)變量可以通過兩個(gè)階段的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)相減來 求解．

步驟3 運(yùn)動(dòng)變量求解．

關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角度和平移位移被視為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的未知變量，關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的合成使得逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程呈現(xiàn)非線性的特點(diǎn)，難以計(jì)算求解，因此，將非線性的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，并采用數(shù)值算法進(jìn)行求解．在尋找精確解之前，先通過遺傳算法獲得變量的初始值以提高計(jì)算效率．

1.1 機(jī)構(gòu)初始化

如圖3所示，動(dòng)平臺(tái)和關(guān)節(jié)的目標(biāo)位姿由它們相對(duì)初始位姿的角度或線位移來描述，在逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題中將它們視為運(yùn)動(dòng)變量．動(dòng)平臺(tái)的初始位姿可以在可達(dá)工作空間內(nèi)任意選擇，但是由于其他支鏈的約束，此時(shí)無法直接確定支鏈中關(guān)節(jié)的初始位姿，因此，需要通過定義虛擬位姿來初始化動(dòng)平臺(tái)及其對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)空間．

圖3 初始位姿和目標(biāo)位姿

（a）虛擬位姿到初始位姿 （b）虛擬位姿到目標(biāo)位姿

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

在完成機(jī)構(gòu)初始化后，利用有限旋量構(gòu)建機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程．并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端動(dòng)平臺(tái)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可以表示為各支鏈連續(xù)運(yùn)動(dòng)的交集

1.3 運(yùn)動(dòng)變量求解

對(duì)于具有-DoF運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的支鏈，存在個(gè)未知變量．為了降低計(jì)算成本，將方程分兩個(gè)階段求解，如圖5所示．

在獲得運(yùn)動(dòng)變量的基礎(chǔ)上，第條支鏈第個(gè)關(guān)節(jié)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可表述為

方程右側(cè)可簡化為六維向量形式

目標(biāo)位姿下第條支鏈中第個(gè)關(guān)節(jié)的方向和位置向量可以描述為

利用上述方法，可獲得動(dòng)平臺(tái)任意目標(biāo)位姿下所有關(guān)節(jié)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)，此外，還可用于建立雅可比矩陣.

1.4 算 例

求解該并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)的全關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解．定義4條RSR支鏈和SS支鏈的虛擬位姿分別為動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)重合和SS桿垂直于靜平臺(tái)，此時(shí)

根據(jù)式(6)，RSR支鏈的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可以描述為

RSR支鏈中S關(guān)節(jié)的位置向量為

不考慮沿連桿方向的局部自由度，SS支鏈的運(yùn)動(dòng)可等效為SU支鏈，其末端運(yùn)動(dòng)為

基于式(18)～(20)，構(gòu)建Helix機(jī)器人的全關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)方程

由于RSR和SS支鏈均少于6自由度，因此方程組(25)是超定的，解的迭代初始值應(yīng)首先通過遺傳算法獲得，然后通過數(shù)值優(yōu)化方法得到精確解，算法流程與圖5一致．給定初始位姿和移動(dòng)軌跡

圖7 第1支鏈和第2支鏈非驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量

圖8 驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)變量

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)字化分析軟件

快速準(zhǔn)確地求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解對(duì)實(shí)現(xiàn)機(jī)器人軌跡規(guī)劃、工作空間分析和運(yùn)動(dòng)檢測具有重要意義．基于有限旋量的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法無須利用經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷，便于編程實(shí)現(xiàn)．本節(jié)擬開展并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的數(shù)字化軟件設(shè)計(jì)．

2.1 軟件架構(gòu)和設(shè)計(jì)

該軟件旨在實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和分析，基于有限旋量的并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解數(shù)字化實(shí)現(xiàn)算法如下．

選擇機(jī)構(gòu)，輸入尺度參數(shù)

選擇功能模塊

輸入初始、目標(biāo)位姿和相應(yīng)約束條件

識(shí)別支鏈數(shù)量，對(duì)于支鏈執(zhí)行

選擇迭代步長和求解范圍[min，max]

調(diào)用遺傳算法解得初值

超定，調(diào)用數(shù)值優(yōu)化算法求解精確解

恰定，調(diào)用迭代算法求解精確解

將解代回方程驗(yàn)證

if 驗(yàn)證通過

end

else

返回并重新確定初始值

輸出結(jié)果

生成圖形

end

end

軟件共包含3個(gè)模塊：逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解、軌跡仿真和工作空間分析，如圖9所示．

圖9 功能模塊和輸入輸出

機(jī)構(gòu)類型和尺度是3個(gè)功能模塊共享的輸入，其他不相同的輸入?yún)?shù)作為3個(gè)模塊各自獨(dú)立的輸入.

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模塊主要是求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)在給定目標(biāo)位姿下的運(yùn)動(dòng)變量．當(dāng)機(jī)構(gòu)及其參數(shù)、初始位姿和目標(biāo)位姿確定后，就可以得到從初始位姿到目標(biāo)位姿的所有關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)變量．

軌跡模擬模塊旨在檢查在幾何約束下機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否可行，幾何約束由用戶根據(jù)具體應(yīng)用給出．在軌跡模擬中，如果關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)違反給定的約束，機(jī)器人停止運(yùn)動(dòng)并響起警報(bào)，這是為了防止并聯(lián)機(jī)構(gòu)碰撞或損壞，將進(jìn)一步保證運(yùn)行過程中的安全性．此外，用戶可查看關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)隨軌跡的變化曲線．

工作空間分析模塊輸入機(jī)器人的搜索邊界和關(guān)節(jié)約束，輸出為動(dòng)平臺(tái)的可達(dá)工作空間．

該軟件基于B/S架構(gòu)，采用Python的Flask框架進(jìn)行開發(fā)，其功能架構(gòu)如圖10所示．

圖10 軟件架構(gòu)

2.2 軟件驗(yàn)證

[PP]S類機(jī)構(gòu)[21]是一類含有3條PPS等效支鏈的1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，軟件以本文所提出的方法為基礎(chǔ)，將經(jīng)典的10種[PP]S類機(jī)構(gòu)的建模與分析過程數(shù)字化，本節(jié)以3-PRS機(jī)構(gòu)為例說明軟件的功能與有效性．

首先，在“機(jī)構(gòu)”對(duì)話框中選擇“PPS Class”和“Central Symmetry”選項(xiàng)，如圖11所示．

式中：如果支鏈中沿靜平臺(tái)徑向存在一個(gè)P關(guān)節(jié)，則，反之，則；和分別為動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)的半徑；和分別為連桿1和連桿2的 長度．

1) 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

給定初始位姿和目標(biāo)位姿分別為

自動(dòng)計(jì)算得到的所有關(guān)節(jié)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解如圖12所示．

2) 軌跡仿真

給定初始位姿與逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解模塊相同，關(guān)節(jié)和軌跡的約束為

當(dāng)移動(dòng)平臺(tái)沿給定軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，軟件自動(dòng)獲取關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡并返回給用戶，如圖13所示．

3) 工作空間分析

輸入搜索邊界和約束

自動(dòng)計(jì)算得到3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)期望運(yùn)動(dòng)的工作空間和伴隨運(yùn)動(dòng)的工作空間如圖14所示．

圖12 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的計(jì)算結(jié)果

圖13 軌跡仿真的計(jì)算結(jié)果

圖14 工作空間分析的計(jì)算結(jié)果

3 討 論

從適用性、計(jì)算成本和可編程性等角度對(duì)本文提出的基于有限旋量逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法與現(xiàn)有方法進(jìn)行比較．

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法可以分為兩類．一類是基于位移方程，主要利用關(guān)節(jié)和連桿之間的幾何關(guān)系來建立矢量環(huán)路．一般地，該方法需要先求得驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)變量，然后利用更多的幾何條件來求解其他變量．雖然采用易于求解的線性矢量方程提高了求解效率，但目前尚未有通用、系統(tǒng)的方法來構(gòu)造幾何條件和方程．因此，該方法較難應(yīng)用于軟件開發(fā)．另一類是基于運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法，無需通過觀察構(gòu)造幾何條件，主要方法包括D-H法、矩陣?yán)钊汉蛯?duì)偶四元數(shù)，本文提出的方法也屬于此種類型，該類方法的核心是構(gòu)造并求解運(yùn)動(dòng)方程．D-H法和對(duì)偶四元數(shù)分別使用了12個(gè)和8個(gè)參數(shù)描述剛體運(yùn)動(dòng)，其中包含了部分被重復(fù)使用的參數(shù)，冗余參數(shù)將會(huì)提高分析和數(shù)值計(jì)算成本．而有限旋量使用6個(gè)元素，被認(rèn)為是最緊湊的連續(xù)運(yùn)動(dòng)表達(dá)形式，因此，本文提出的方法能夠以一種通用而簡潔的方式解決逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題．此外，有限旋量的代數(shù)特征和易于數(shù)值計(jì)算的特點(diǎn)使得該方法特別適用于軟件開發(fā)．

閉環(huán)矢量法、D-H法和有限旋量法之間的差異如表1所示．以UPS支鏈為例，在運(yùn)動(dòng)學(xué)求解中可以建立從U到S關(guān)節(jié)的閉環(huán)矢量，得到位移方程．首先求解P關(guān)節(jié)的變量和方向，由于方程不包括所有運(yùn)動(dòng)變量，因此通過添加幾何條件來求解其他關(guān)節(jié)變量．應(yīng)用D-H法則需要建立6個(gè)移動(dòng)參考系，每個(gè)齊次矩陣有12個(gè)元素，方程數(shù)量多于運(yùn)動(dòng)變量，需要篩選方程．相比之下，有限旋量建立的方程包含6個(gè)元素和所有運(yùn)動(dòng)變量，可以直接求解．

表1 3種方法的比較

Tab.1 Comparison among three methods

基于有限旋量的方法由于方程是通過旋量三角積這一非線性運(yùn)算求得，所以不易得到解析解，但與此同時(shí)，其在逆運(yùn)動(dòng)學(xué)建模中涉及最少的變量和方程，使得其在數(shù)值求解上較為方便，為開展并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析數(shù)字化軟件研發(fā)奠定了理論 基礎(chǔ)．

4 結(jié) 論

針對(duì)現(xiàn)有并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法依賴觀察和經(jīng)驗(yàn)、存在冗余方程、難以實(shí)現(xiàn)數(shù)字化等不足，本文提出了一類基于有限旋量的并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法，并研發(fā)了數(shù)字化逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析軟件，全文結(jié)論總結(jié)如下．

(1) 提出了一種求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)變量的方法，涉及機(jī)構(gòu)初始化、運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和運(yùn)動(dòng)學(xué)變量求解．為了方便獲取關(guān)節(jié)軸線，在機(jī)構(gòu)初始化中定義了虛擬位姿．基于有限旋量的簡潔格式，可以在不觀察幾何條件的情況下列寫運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，以數(shù)值法對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行求解，有效地得到所有關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)變量．以一類兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，對(duì)所提方法進(jìn)行了說明和驗(yàn)證．

(2) 將理論方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合，開發(fā)出適用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)全關(guān)節(jié)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的數(shù)字化軟件，功能模塊包括逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解、軌跡仿真和工作空間分析，以3-PRS為例驗(yàn)證了軟件的有效性．

(3) 討論了本方法與基于向量和基于矩陣的方法的優(yōu)缺點(diǎn)，本文所提的方法在標(biāo)準(zhǔn)化和自動(dòng)化的建模求解中有較大的優(yōu)勢，有利于編程實(shí)現(xiàn)數(shù)字化的建模求解．

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An Approach for Inverse Kinematics Analysis of Full Joint of Parallel Mechanism

Sun Tao1，Wang Liang1，Huo Xinming1，Qi Yang2，Wang Jun3，Li Qi3

(1. Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300350，China；2. School of Mechanical Engineering，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China；3. Tianjin Key Laboratory of Aerospace Intelligent Equipment Technology，Tianjin Institute of Aerospace Mechanical and Electrical Equipment，Tianjin 300301，China)

Inverse robotic kinematics is the basis of performance modeling and design. Current methods always focus on the mapping between actuator and manipulator spaces. However，for the passive joint，iterative eliminations are based on geometric characteristics. Therefore，the construction of an algebraic solution process and digital analysis software is difficult. To solve the aforementioned problems，an inverse solving method for full joint displacements of the parallel robotic mechanism is proposed by employing the finite screw and developing its digital software in this study. First，the procedure for obtaining the full joint position solution of the parallel mechanism is presented. The initial poses of the end of the parallel mechanism and its branches are constructed. Equations of motions are first established in the format of the finite screw and then solved numerically. Taking the 4RSR-SS parallel robot with two rotational motions as an example，the full joint displacement variables of each limb are calculated and compared with the simulation results to verify the accuracy of the solutions. Then，the digital algorithm for full joint displacements is established，and the inverse kinematics analysis software for parallel mechanisms is developed based on the B/S architecture，including inverse kinematics，trajectory simulation，and workspace analysis modules. The software is verified by analyzing the kinematics of the 3-PRS parallel mechanism. Finally，comparisons with the existing methods in terms of redundant parameters and number of equations are made. The advantages of the fully joint inverse kinematics analysis method proposed in this study are as follows：kinematic equations can be expressed in a general and concise manner；full joint variables under the given target pose could be solved by a single step instead of iterations；it is conducive to programming，which helps realize the digitalization of inverse kinematics analysis.

inverse kinematics；parallel mechanism；finite screw；digitalization；kinematics analysis software

10.11784/tdxbz202206033

TH112

A

0493-2137(2023)09-0942-11

2022-06-05；

2022-09-10.

孫 濤（1983— ），男，博士，教授，stao@tju.edu.cn.Email：m_bigm@tju.edu.cn

霍欣明，xmhuo@tju.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(62027812，51875391，51775367，51905378)；天津市科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(20201193，18PTLC-SY00080)；天津市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20JCQNJC00360)；天津市技術(shù)創(chuàng)新引導(dǎo)專項(xiàng)基金企業(yè)科技特派員項(xiàng)目(20YDT-PJC00450)；天津市航天智能裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放項(xiàng)目(TJYHZN2019KT002)；天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目．

the National Natural Science Foundation of China(No.62027812，No.51875391，No.51775367，No.51905378)，Tianjin Science and Technology Plan Project(No.20201193，No.18PTLCSY00080)，the Natural Science Foundation of Tianjin，China(No.20JCQNJC00360)，Tianjin Technology Innovation Guidance Special Fund Enterprise Science and Technology Specialists Project(No.20YDTPJC00450)，the Open Project Program of Tianjin Key Laboratory of Aerospace Intelligent Equipment Technology(No.TJYHZN2019KT002)，the Open Fund of the Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education of Tianjin University.

(責(zé)任編輯：王曉燕)