高速與高階的超奈奎斯特比較

摘要：超奈奎斯特（Faster-than-Nyquist， FTN）可以提高通信系統(tǒng)的頻譜效率（Spectrum Efficiency， SE）。除了較小時(shí)間壓縮因子（Time Packing Factor， TPF）和星座點(diǎn)數(shù)M的高速 FTN 之外，較大TPF和M的高階FTN也可以增加SE。在相同SE的條件下，本文采用外信息轉(zhuǎn)移（Extrinsic Information Transfer， EXIT）圖分析和數(shù)值仿真等方法來(lái)比較高速和高階FTN。 針對(duì)高速和高階FTN，本文采用基于EXIT 圖的骨干粒子群優(yōu)化（Bare-Bones Particle Swarm Optimization， BB-PSO）算法來(lái)優(yōu)化兩者的信道編碼，獲得高速和高階FTN的最優(yōu)性能。結(jié)果表明：與高速 FTN 相比，高階 FTN 在性能和復(fù)雜度方面更有優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞：高速；高階；超奈奎斯特；外信息轉(zhuǎn)移圖；骨干粒子群優(yōu)化算法

一、介紹

頻譜效率（Spectrum Efficiency，SE）是傳輸系統(tǒng)的關(guān)鍵性能指標(biāo)。與奈奎斯特系統(tǒng)相比，超奈奎斯特 （Faster-than-Nyquist， FTN） 能以更快的符號(hào)速率傳輸數(shù)據(jù)從而增加SE。FTN是未來(lái)毫米波和太赫茲通信中的一項(xiàng)潛在關(guān)鍵技術(shù)。對(duì)于 FTN，符號(hào)周期 Ts＝τT，其中τ是時(shí)間壓縮因子（Time Packing Factor，TPF），T是τ=1時(shí)的參考符號(hào)周期（一般為奈奎斯特符號(hào)周期）。 因此，對(duì)于FTN系統(tǒng)，除了增加星座點(diǎn)數(shù)M，減小TPF也可以增加SE。隨著TPF趨于零，F(xiàn)TN的二進(jìn)制信息速率收斂到高斯容量限[1]。在相同SE條件下，小TPF和M 引導(dǎo)高速FTN，大TPF和M引導(dǎo)高階FTN。高速和高階FTN都隨著復(fù)雜度的增加而提高了SE。但是，目前還鮮有文獻(xiàn)在相同SE的前提下對(duì)高階和高速FTN的性能和復(fù)雜度進(jìn)行比較。

本文分別優(yōu)化了高階和高速FTN的信道編碼，在兩者都匹配最優(yōu)信道編碼的前提下解決上述開(kāi)放問(wèn)題。本文考慮兩種類型的信道編碼，卷積碼（Convolutional Code， CC）和低密度奇偶校驗(yàn)（Low Density Parity Check， LDPC）碼。文獻(xiàn)[2]中的高階FTN沒(méi)有優(yōu)化相應(yīng)的信道編碼。Yu等人在文獻(xiàn)[3]中首次研究了基于LDPC碼的高階FTN。然而，由于信道響應(yīng)的截?cái)?，高階FTN具有次優(yōu)性能。Bedeer等在文獻(xiàn)[4]中研究了高階FTN，但是沒(méi)有優(yōu)化對(duì)應(yīng)的信道編碼。

本文采用基于外信息傳輸（Extrinsic Information Transfer， EXIT）圖的骨干粒子群優(yōu)化（Bare-Bones Particle Swarm Optimization， BB-PSO）算法，分別優(yōu)化高速FTN和高階FTN的信道編碼。BB-PSO算法是人工智能（Artificial Intelligence， AI）優(yōu)化算法之一，它是一種優(yōu)化非線性函數(shù)的智能算法。最后，基于信道編碼優(yōu)化，本文在相同SE的條件下比較高階FTN和高速FTN的性能和復(fù)雜性。

二、系統(tǒng)模型

高速和高階FTN的系統(tǒng)模型如圖1所示。信道編碼器的碼率為r。對(duì)于高速 FTN，比特交織器的輸出d饋送到Doping編碼器。Doping編碼器是一個(gè)碼率為1的遞歸卷積碼，用于消除錯(cuò)誤平層。對(duì)于高階 FTN，發(fā)射器不包含Doping編碼器。FTN調(diào)制器的成型脈沖為h（t）。成型脈沖一般為滾降因子β的T-正交根升余弦（root Raised-Cosine， rRC）。FTN 信號(hào)可表示為

（1）

其中。h（t）具有單位能量 ， 其雙邊帶帶寬 。

FTN信號(hào)s（t）通過(guò)AWGN信道傳輸，接收信號(hào)為 r（t）。在接收機(jī)中，r（t）對(duì)應(yīng)的采樣信號(hào)r通過(guò)前端濾波器hr[5]。接收機(jī)采用基于max-log-MAP的低復(fù)雜度FTN均衡器，該均衡器采用Ungerboeck模型和信道縮短（Channel Shortening， CS）方法[5]。CS 算法計(jì)算前端濾波器hr和目標(biāo)響應(yīng)gr。對(duì)數(shù)似然比（Log Likelihood Ratio， LLR）值在FTN 均衡器和信道譯碼器之間傳遞。在很小BER條件下（例如10-5），編碼調(diào)制（Coded Modulation， CM）-FTN的SE為

（2）

其中m=log2M，TsW為每個(gè)FTN符號(hào)占用的時(shí)頻資源。

三、FTN 的信道編碼優(yōu)化

本文使用BB-PSO來(lái)找到CC的最優(yōu)生成多項(xiàng)式和LDPC的最優(yōu)度分布[6]，該算法的關(guān)鍵是確定適應(yīng)度函數(shù)f和粒子位置Ψ，BB-PSO的拓?fù)錇榄h(huán)形結(jié)構(gòu)。

（一）卷積碼優(yōu)化

基于CC的FTN系統(tǒng)在均衡器（內(nèi)譯碼器）和CC解碼器（外譯碼器）之間的進(jìn)行迭代。基于CC的FTN系統(tǒng)的內(nèi)譯碼器的EXIT [7]特性定義

（3）

其中是比特流d（或v）與先驗(yàn)LLRs（或）之間的互信息；是比特流d（或v）與外LLRs （或）之間的互信息；外譯碼器的EXIT特性與Eb / N0無(wú)關(guān)

（4）

其中是編碼比特c與先驗(yàn)LLR值L額之間的互信息；是編碼比特c和外LLR值L之間的互信息。

CC的生成多項(xiàng)式?jīng)Q定了CC譯碼器的EXIT特性。生成多項(xiàng)式優(yōu)化描述為

（5）

其中CC的生成多項(xiàng)式為有寄存器，則適應(yīng)度函數(shù)為

（6）

其中表征生成多項(xiàng)式對(duì)收斂隧道的影響

（7）

表示內(nèi)譯碼器在（5）中 EXIT 特征， 是在（6）中的反函數(shù)，。

碼率為1/、個(gè)寄存器的CC有個(gè)生成多項(xiàng)式。遍歷方法的復(fù)雜性太高。是生成多項(xiàng)式的非線性函數(shù)。本文采用BB-PSO算法對(duì)生成多項(xiàng)式進(jìn)行優(yōu)化。為BB-PSO的粒子位置，為適應(yīng)度函數(shù)。

（二）LDPC碼優(yōu)化

FTN的LDPC碼優(yōu)化分為三個(gè)步驟： （1）尋找好的度分布；（2）構(gòu)造好的基矩陣；（3）尋找合適的度矩陣。優(yōu)化步驟（2）和（3）的主要思想是搜索圍長(zhǎng)較大的碼字，文獻(xiàn)[8]中的算法1和3分別對(duì)應(yīng)步驟 （2）和（3）。注意，步驟（1）是優(yōu)化的關(guān)鍵，度分布是影響基于LDPC的CM-FTN系統(tǒng)整體性能的關(guān)鍵參數(shù)。文獻(xiàn)[3][8]通過(guò)最小化誤幀率（Frame Error Rate， FER）來(lái)優(yōu)化度分布。但是基于FER的窮舉搜索復(fù)雜度非常高。本文利用EXIT圖來(lái)優(yōu)化度分布。對(duì)于度分布優(yōu)化，重點(diǎn)關(guān)注變量節(jié)點(diǎn)譯碼器（Variable Node Decoder， VND）和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)譯碼器（Check Node Decoder， CND）之間的迭代。將內(nèi)譯碼器與VND的級(jí)聯(lián)視為譯碼器 I，CND視為譯碼器II。通過(guò)匹配譯碼器I和解碼器II的EXIT特性，從而優(yōu)化度分布。譯碼器I的EXIT特性為

（8）

其中，變量節(jié)點(diǎn)度分布，根據(jù)（5），與有關(guān)。譯碼器Ⅱ的EXIT特性為

（9）

其中校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度分布。度分布優(yōu)化可描述為

（10）

其中度分布，適應(yīng)度函數(shù)為·

（11）

其中，表征對(duì)EXIT圖收斂通道的影響，

（12）

其中是（11）中的反函數(shù)。度分布向量的值是粒子的位置，是適應(yīng)度函數(shù)。

四、結(jié)果與討論

本文分別通過(guò)BB-PSO找到了高速FTN和高階FTN的最優(yōu)信道編碼，最后在相同SE的條件下，比較高速FTN和高階FTN的性能。 高速FTN和高階FTN的參數(shù)如表1所示。

（一）高速FTN優(yōu)化結(jié)果

1.基于卷積碼的優(yōu)化

對(duì)于表1中的高速FTN，BB-PSO算法找到的全局最佳位置，其碼長(zhǎng)為21000。該碼字參考碼字為[2]-[2]使用的。與相比，的自由距離或碼重更小?；贑C的CM-FTN，自由距離小容易出現(xiàn)錯(cuò)誤平層，為此采用doping方法改善錯(cuò)誤平層性能。

基于和的高速FTN的BER 性能如圖2所示。圖中，Nyquist系統(tǒng)與FTN系統(tǒng)的滾降系數(shù)相同。Nyquist系統(tǒng)分別使用碼率1/2 DVB LDPC、和。BER=10-5時(shí)，比較Nyquist系統(tǒng)與FTN系統(tǒng)的性能。FTN（τ=0.25）-NonDoping-CC（7，5）與Nyquist-CC（7，5）相比具有4.9dB 的FTN增益。然而，與Nyquist-DVB LDPC相比，F(xiàn)TN（τ=0.25）-NonDoping-CC（7，5）沒(méi)有FTN增益。與FTN（τ=0.25）-NonDoping-CC（7，5）相比，F(xiàn)TN（τ=0.25）-NonDoping-CC（3，2）具3.6dB的編碼增益。與Nyquist-DVB LDPC相比，F(xiàn)TN（τ=0.25）-NonDoping-CC（3，2）具0.5dB 的編碼增益。Nyquist系統(tǒng)的弱碼在高速 FTN中可以獲得更好的性能。

2.基于LDPC碼的優(yōu)化

對(duì)于表1中的高速 FTN，BB-PSO 找到的全局最佳位置，變量節(jié)點(diǎn)的平均度分布約為2.06。基矩陣大小為16×32，擴(kuò)展因子為 661，碼長(zhǎng)為21152。優(yōu)化后的碼字記為d2.06 LDPC。將rate-1/2 DVB LDPC作為d2.06 LDPC的對(duì)比基準(zhǔn)。d2.06 LDPC的平均列重小于DVB LDPC，d2.06 LDPC更易出現(xiàn)錯(cuò)誤平層。為此，在基于LDPC的高速FTN中引入doping方法，以提高錯(cuò)誤平層性能?；?d2.06 LDPC 和 DVB LDPC 的高速 FTN 的 BER 性能如圖3所示。FTN（τ=0.25）-NonDoping-d2.06 LDPC與 FTN（τ=0.25）-DVB LDPC相比具有近 3.3dB 的碼字增益。 DVB LDPC 的平均列重為4.3，d2.06 LDPC 碼的平均列重為2.06?？梢钥闯?，平均列重較低的LDPC更適合高速FTN。

DVB LDPC 在 Nyquist 和高速 FTN 中的性能：具有相同SE的256QAM-Nyquist-DVB LDPC 相比，F(xiàn)TN（τ=0.25）-DVB LDPC有近5.2dB的性能損失。CC 在Nyquist和高速FTN中的性能：與具有相同SE的256QAM-Nyquist CC（3， 2）相比，具有近 11.5dB 的增益。高速FTN級(jí)聯(lián)不同信道碼：FTN（τ=0.25）-NonDoping-d2.06 LDPC與FTN（τ=0.25）-NonDoping-CC（3，2）相比有近2.4dB損失。與256QAM-Nyquist-DVB LDPC相比，F(xiàn)TN（τ=0.25）-NonDoping-CC（3，2）有0.4dB增益。可得出以下結(jié)論：①CC更適合高速FTN。與搭配最優(yōu)LDPC碼的高速FTN相比，具有最優(yōu)CC的高速FTN具有更好的性能。 ②平均列重大的LDPC不適合高速FTN。

對(duì)于內(nèi)碼EXIT圖，高速FTN均衡器比QAM解調(diào)器（Nyquist）更陡。對(duì)于高速FTN，CC比LDPC碼更適合，如圖4所示。QAM解調(diào)器的 EXIT圖匹配DVB LDPC譯碼器，如圖5所示， QAM解調(diào)器的EXIT圖不匹配CC譯碼器，兩條EXIT曲線之間總是有交點(diǎn)。EXIT圖結(jié)果與BER結(jié)果一致。從圖4和圖5可以看出，CC更適合EXIT曲線較陡的內(nèi)碼；LDPC碼更適合EXIT曲線平滑的內(nèi)碼?？梢钥闯?，CC更匹配高速FTN而不是Nyquist系統(tǒng)。在SE相同的情況下，基于CC的FTN比基于CC的Nyquist具有更好的性能。這也是[2]-[2]的FTN獲得高SE收益的原因，進(jìn)一步可知[2][3]的結(jié)論存在局限性。

（二）高速與高階FTN對(duì)比

對(duì)于表1中的高階FTN，BB-PSO算法找到的全局最佳位置，變量節(jié)點(diǎn)平均度約為3.6。基矩陣大小為6×30，擴(kuò)展因子為534，碼長(zhǎng)為16020，該碼字記為d3.6 LDPC。這里將度為3（d3.0 LDPC）的常規(guī)LDPC作為d3.6 LDPC 比較基準(zhǔn)。d3.6 LDPC的平均列重大于d3.0 LDPC。高階FTN的EXIT曲線比較平坦，d3.60 LDPC的EXIT圖適合高階FTN。高速FTN和高階FTN的BER性能如圖6所示。

高速FTN和高階FTN采用最優(yōu)信道編碼。注意，CC的碼長(zhǎng)比LDPC碼更長(zhǎng)。與高速FTN （4QAM-FTN（τ=0.25）-Doping-CC（3，2））相比，高階FTN（16QAM-FTN（τ=0.8）-d3.6 LDPC）有1.9dB增益。對(duì)于高階 FTN，與d3.0 LDPC相比，d3.6 LDPC有0.2dB的編碼增益。與具有相同SE的高階 Nyquist （256QAM-Nyquist-d3.6 LDPC）相比，高階FTN （16QAM-FTN（τ=0.8）-d3.6 LDPC）有2.3dB的FTN增益。相同SE時(shí)，高階FTN比高速FTN可獲更大增益。然而，高速FTN的均衡狀態(tài)是高階FTN的兩倍；高速FTN的Turbo迭代次數(shù)是高階FTN的5倍。總的來(lái)說(shuō)，與高速FTN相比，高階FTN在性能和復(fù)雜度上都有優(yōu)勢(shì)。

五、結(jié)束語(yǔ)

在相同SE的條件下，本文分別優(yōu)化高速FTN和高階FTN的最優(yōu)信道編碼，最后基于優(yōu)化結(jié)果對(duì)高速FTN和高階FTN的性能進(jìn)行了比較。優(yōu)化參數(shù)（生成多項(xiàng)式或度分布）與EXIT特性之間為非線性關(guān)系。為此，引入基于EXIT圖的BB-PSO算法來(lái)優(yōu)化高速FTN和高階FTN的信道碼的生成多項(xiàng)式或度分布。匹配高速FTN的CC和QC LDPC碼具有較低的碼重。為了提高錯(cuò)誤平層性能，高速FTN采用doping方法但是犧牲了收斂性能。高階FTN無(wú)需采用doping方法。與高速FTN（4QAM-FTN（τ=0.25）-Doping-CC（3，2））相比，高階FTN（16QAM-FTN（τ=0.8）-d3.6 LDPC）具有1.9dB的增益。仿真結(jié)果表明優(yōu)化算法的有效性。與高速FTN相比，高階FTN在性能和復(fù)雜性方面具有優(yōu)勢(shì)。從BER性能和復(fù)雜度來(lái)看，高階FTN可能是FTN的最有前途的研究方向。

作者單位：車慧 銳捷網(wǎng)絡(luò)股份有限公司

參? 考? 文? 獻(xiàn)

[1] Y. G. Yoo and J. H. Cho， “Asymptotic optimality of binary faster-than-Nyquist signaling，” IEEE Communications Letters， vol. 14， no。 9， pp. 788–790， September 2010。

[2] S. Li， W. Yuan， J. Yuan， B. Bai， D. Wing Kwan Ng， and L. Hanzo， “Time-domain vs frequency-domain equalization for FTN signaling，” IEEE Transactions on Vehicular Technology， vol. 69， no. 8， pp. 9174–9179， Aug 2020.

[3] J. Yu， J. Park， F. Rusek， B. Kudryashov， and I. Bocharova， “High order modulation in faster-than-nyquist signaling communication systems，” in 2014 IEEE 80th Vehicular Technology Conference （VTC2014-Fall）， Sep. 2014， pp. 1–5.

[4] E. Bedeer， M. H. Ahmed， and H. Yanikomeroglu， “Low complexity detection of high-order QAM faster-than-Nyquist signaling，” IEEE Access， vol. 5， pp. 14 579–14 588， 2017.

[5] H. Che and Y. Bai， “Coded modulation faster-than-nyquist transmission with precoder and channel shortening optimization，” China Communications， vol. 18， no. 2， pp. 49–64， Feb 2021.

[6] H. Che， Z. Wu， and W. Kang， “Inner code optimization for high rate faster-than-Nyquist，” in 2019 IEEE Wireless Communications and Networking Conference （WCNC）， April 2019， pp. 1–6.

[7] M. El-Hajjar and L. Hanzo， “EXIT charts for system design and analysis，” IEEE Communications Surveys Tutorials， vol. 16， no。 1， pp. 127–153， First 2014.

[8] I. E. Bocharova， B. D. Kudryashov， and R. Johannesson， “Searching for binary and nonbinary block and convolutional LDPC codes，” IEEE Transactions on Information Theory， vol. 62， no. 1， pp. 163–183， Jan 2016.