在開放的數(shù)學課堂中培養(yǎng)學生發(fā)散思維品質

梁修曦

摘要：新課程改革，除了讓學生掌握基礎知識和基本技能外，更注重培養(yǎng)學生的思維能力及創(chuàng)新意識.在高中數(shù)學課堂中，只有讓學生積極思考，大膽設想，從多角度嘗試解決問題，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維品質，才可以為國家各領域培養(yǎng)創(chuàng)新人才.本文從教學實踐出發(fā)，通過五個案例對比，總結了一些開放式課堂的操作要點以及培養(yǎng)學生發(fā)散思維品質的方法.

關鍵詞：開放式課堂；發(fā)散思維；高中數(shù)學課堂；情境創(chuàng)設；信息技術

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）15-0065-03

發(fā)散思維是創(chuàng)造力的核心，是靈活應用知識的重要前提.數(shù)學課堂中要培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，教師不僅要采用新穎的教學模式和先進的教學手段增添課堂的活力，更需要開放的態(tài)度和足夠的耐心，給學生足夠的平臺展示自己的思維潛力.1 開放的課堂能激發(fā)學生更大的潛力筆者在高中數(shù)學人教版（2019）必修二第六章《解三角形》復習時，遇到下面的例題.

例1已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若tanB=2tanC，b=1，求ΔABC面積的最大值.

學生1：由tanB=2tanC可得sinBcosC=2sinCcosB，（*）

進而sinA=3sinCcosB，cosB=a3c=a2+c2-b22ac，得到a2+3c2=3，

SΔABC=12acsinB=12ac1-c29a2=16-4a4+9a2，利用函數(shù)求最值可得面積最大值為38.

師：這是從正余弦定理、三角恒等變換和函數(shù)最值的角度思考的，同學們還有其他解法嗎？

學生2：這道題沒必要用三角恒等變換，利用三角形中的結論bcosC+ccosB=a，再聯(lián)立（*）式解方程，即可得cosB=a3c，后面與解法1相同.

師：確實，利用已有結論讓解題過程變得更快捷.還有更好的解法嗎？

學生3：借助圖形更簡單，因為tanB=2tanC，作右圖，問題轉化為：已知x2+4y2=1，求S=32xy的最大值.利用基本不等式，可求得面積的最大值為38.

師：非常棒，這個解法利用了數(shù)形結合的思想.而且綜合運用了第二章基本不等式的知識，解答方法更方便了！還有同學有不同的解法嗎？

學生4：從初中平面幾何的角度來思考這個問題，補形更簡單.將圖1補成圖2，使B為ED的中點，則ΔAEC為等腰三角形，S△ABC=34S△AEC，△AEC面積的最大值為12，從而△ABC面積的最大值為38.

師：太棒了！這個解法最簡潔！由此可見，思考問題的角度不同，解決問題的方法就不同，就會有很多意外的收獲.

在這段教學過程中，老師給了學生足夠的空間，讓學生充分思考和表達，突破章節(jié)學習的局限，突破高中學段的認知束縛，反而獲得了更好的解題途徑.

2 在開放的課堂中培養(yǎng)學生發(fā)散思維，需要教師更強的隨機應變能力

開放的數(shù)學課堂意味著課堂有很多不可控的地方，比如出現(xiàn)問題過于復雜、學生討論的過于激烈、學生的想法不太常見等一些問題，這就需要教師更強的隨機應變能力.

例2已知菱形ABCD的邊長為1，∠BAD=60°，現(xiàn)沿對角線BD將此菱形折成直二面角A-BD-C（如圖）.（1）求直線AC與面BCD所成的角；（2）求二面角A-CD-B的正弦值.

學生4：取BD的中點O，連接OA，OC，易證∠ACO為直線AC與面BCD所成的角，且∠ACO=45°.所以，直線直線AC與面BCD所成的角為45°.

學生5：可證AO⊥面BCD，故過O作OE⊥CD于E，連接AE，易證∠AEO為二面角A-CD-B的平面角.AO=32，OE=34，tan∠AEO=2，從而二面角A-CD-B的正弦值為255.

學生6：第（2）可以用三正弦定理，不需要做輔助線.

師：三正弦定理不是高考要求的內(nèi)容，大家不必掌握.

老師在課堂上忽略了學生6的解法，下課后，學生6再次找到了老師，介紹了自己的好方法：設二面角A-CD-B的大小為α，由三正弦定理可得，sin∠ACO=sinαsin∠ACDsin∠ACD=104，從而sinα=255.

三正弦定理確實不是高考要求掌握的內(nèi)容，但如果學生學習到了此結論，在解決某些二面角問題中，會有更簡潔的解法.而新課程改革正是要加強培養(yǎng)學生的自學能力，學生能掌握更多的知識，擁有更寬闊的眼界，老師為什么不能大大鼓勵呢？

3 在開放的課堂中培養(yǎng)學生發(fā)散思維，需要更好的情境創(chuàng)設

認知的需要是從實際情境中產(chǎn)生的，沒有情境，就很難有認知的需要，更不會引起思維的發(fā)散.新課標也提出教師要注重創(chuàng)設情境，并在實際的情境中培養(yǎng)出學生提出、分析、解決問題的能力．

例如，在高中數(shù)學人教版（2019）選擇性必修1第三章《圓錐曲線的方程》中講橢圓的概念時，引導學生一起來做實驗：取一條沒有彈性的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的兩點F1和F2，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在畫圖板上慢慢移動，觀察畫出的圖形特征.

經(jīng)過這樣的啟發(fā)和思考，學生不僅能總結出橢圓的定義，還能探究出定義中“距離之和為常數(shù)（大于F1F2）”的重要性，進而延伸構建出“繩長等于兩定點間的距離時，畫出圖形的是線段；繩長小于兩定點間的距離時，畫不出圖形”的完整知識體系.

4 在開放的課堂中，可應用更多的信息技術手段培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

立體幾何學習對于學生的空間思維能力有著很高的要求，尤其是面對復雜的立體幾何圖形，教師只依靠粉筆和黑板，很難展現(xiàn)實物的真實效果，學生更難理解其中的線面平行、垂直關系．將信息技術應用于幾何教學，借助各種軟件可以輕松幫助學生構建空間圖形，上述問題迎刃而解，還能極大地培養(yǎng)學生的思維能力.

例3在棱長為42的正方體空盒內(nèi)，有四個半徑為r的小球在盒底四角，分別與正方體底面處交于某一頂點的三個面相切，另有一個半徑為R的大球放在四個小球之上，與四個小球相切，并與正方體盒蓋相切，無論怎樣翻轉盒子，五球相切不松動，則小球半徑的最大值為；大球體積的最小值為．

后來發(fā)現(xiàn)，借助Geogebra軟件很容易做出如下圖1模型，學生很快就有了求解思路，并提煉出簡易模型圖2，當正方體盒內(nèi)四個小球最大時，四個小球相切，且與正方體側面相切，易求此時小球半徑r=424=2，則小球體積最大值為43πr3=823π，顯然大球此時最小，大球球心O與四個小球球心O1，O2，O3，O4構成一個正四棱錐，O1O2=2r=22，側棱OO1=R+2，設正方形O1O2O3O4的中心H1，則O1H1=2，高OH1=OO21-O1H21=R+22-22=R2+22R-2，將OH1向兩端延長交上底面于H，交下底面于K，則：HK=OH+OH1+H1K=R+OH1+r=42，故R+R2+22R-2+2=42，即R2+22R-2=32-R，解得R=524．

∴大球體積的最小值為43π×5243=125224π．

5 培養(yǎng)學生發(fā)散思維，仍應注重夯實學生的基礎知識

眾所周知，高中數(shù)學具備很強的綜合性與抽象性，要求學生具備一定的發(fā)散思維能力．而發(fā)散思維正是要有完善的知識結構、準確的知識領域觀念，還常?？珙I域、跨層次，有時還想得更遠、更寬.因此我們的課堂既要開放，也需要重視學生基礎知識的夯實，讓學生深入地理解數(shù)學定義、公式、定理等基礎內(nèi)容，為之后的學習與能力的培養(yǎng)提供有力的保障.2021年湖北高考數(shù)學第8題就是一個很好的例子.

例3有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）.

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

總之，在高中數(shù)學課堂上開放式的教學是大勢所趨，促進學生創(chuàng)新精神和培養(yǎng)創(chuàng)造能力也是十分迫切的．只有教師多多創(chuàng)設開放的學習環(huán)境，設計開放的教學課題，才能更好地培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，強化學習的技能，推動新課標改革活動的持續(xù)發(fā)展，培養(yǎng)出符合社會發(fā)展要求的高素質人才.

參考文獻：

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［責任編輯：李璟］