追求自然的數(shù)學(xué)教學(xué)
——蘇科版數(shù)學(xué)教材八（下）第五章“平面直角坐標(biāo)系”教學(xué)過(guò)程分析

■陳磊

本節(jié)課是蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第五章第二節(jié)的第一課時(shí)。平面直角坐標(biāo)系是初中教材中的基礎(chǔ)性知識(shí)，是串聯(lián)“數(shù)”與“形”的重要載體，旨在構(gòu)建點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)一維向二維的轉(zhuǎn)變。本課主要從學(xué)生的生活、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，關(guān)注學(xué)生概念自然生成的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、問(wèn)題引導(dǎo)，激活舊知

問(wèn)題1：有關(guān)七年級(jí)所學(xué)的數(shù)軸，同學(xué)們還記得哪些內(nèi)容？

新課伊始，教師設(shè)計(jì)開(kāi)放性的問(wèn)題，讓學(xué)生各抒己見(jiàn)，在調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性的同時(shí)，指引學(xué)生深度回顧，為后續(xù)知識(shí)的自然生長(zhǎng)打下基礎(chǔ)。

問(wèn)題2：（教師給出一個(gè)數(shù)軸，如圖1）請(qǐng)同學(xué)們思考：（1）數(shù)-2、0、3 在數(shù)軸上是如何表示的？（2）數(shù)軸上的點(diǎn)P又如何表示？

圖1

學(xué)生舊知被激活后，教師從問(wèn)題出發(fā)，讓學(xué)生回顧實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，激活實(shí)數(shù)與點(diǎn)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生重溫?cái)?shù)形結(jié)合的思想。

二、情境引入，生活感知

問(wèn)題3：2023 年春節(jié)檔國(guó)產(chǎn)電影好評(píng)如潮，同學(xué)們都看了嗎？小麗也買了一張電影票，她如何在電影院快速地找到座位？

對(duì)國(guó)產(chǎn)電影的肯定，能激發(fā)學(xué)生的自豪感和愛(ài)國(guó)情懷，起到學(xué)科育人目的；從學(xué)生實(shí)際生活出發(fā)，設(shè)置問(wèn)題情境，讓學(xué)生初步感悟描述位置的關(guān)鍵點(diǎn)，為后面數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究創(chuàng)造條件。

三、經(jīng)歷過(guò)程，生成概念

問(wèn)題4：數(shù)學(xué)中，如何確定一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)的位置？（教師在黑板右上角放一個(gè)小磁力貼，記為點(diǎn)A）請(qǐng)同學(xué)們描述黑板平面內(nèi)點(diǎn)A的大致位置。

大多數(shù)學(xué)生很快能根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，不經(jīng)思索“蹦”出答案：“右上角?！边@說(shuō)明對(duì)于八年級(jí)學(xué)生而言，他們通過(guò)生活經(jīng)驗(yàn)的積累，腦子里已經(jīng)有了“隱形的平面直角坐標(biāo)系”?！坝摇钡拿枋?，其實(shí)說(shuō)明在其腦海里已經(jīng)有了豎直的一條線；“上”的描述，其實(shí)說(shuō)明在其腦海里也已經(jīng)有了水平的一條線。這樣通過(guò)對(duì)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的喚醒，引出接下來(lái)要研究的數(shù)學(xué)內(nèi)容，自然生成，而不是教師強(qiáng)拉硬拽。

在學(xué)生回答后，教師在黑板上畫(huà)出兩條相互垂直的直線。

問(wèn)題5：剛才回答“右上角”很對(duì)，請(qǐng)小組交流如何更準(zhǔn)確地描述該點(diǎn)在黑板平面的位置。

學(xué)生上黑板度量，量出該點(diǎn)到兩直線的距離，得出用兩個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示的初步結(jié)論。

問(wèn)題6：能將這兩個(gè)數(shù)據(jù)換個(gè)位置嗎？作點(diǎn)A關(guān)于豎直的直線的對(duì)稱點(diǎn)，那該對(duì)稱點(diǎn)又該如何描述呢？

通過(guò)問(wèn)題串鋪設(shè)，讓學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，先感悟有序，然后，面對(duì)“點(diǎn)A與所對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)一樣”這個(gè)實(shí)際困難，學(xué)生自然想到用正、負(fù)來(lái)區(qū)別，順理成章地將已學(xué)數(shù)軸遷移到新知識(shí)的建構(gòu)中來(lái)，自然地將兩條垂直的直線“生長(zhǎng)”為兩條具有公共原點(diǎn)的相互垂直的數(shù)軸，生成平面直角坐標(biāo)系、x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)等概念。

四、回顧歷史，感受文化

弗賴登塔爾曾強(qiáng)調(diào)對(duì)歷史的運(yùn)用要體現(xiàn)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，平面直角坐標(biāo)系的發(fā)展最初起源于圓錐曲線研究的桎梏。對(duì)于八年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這樣的歷史背景雖不能完全理解，但在教師解讀后，學(xué)生也能感受在歷史長(zhǎng)河中平面直角坐標(biāo)系產(chǎn)生的“自然”。另外，為激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)習(xí)的趣味性，教師滲透笛卡爾觀察蜘蛛網(wǎng)從而發(fā)明了坐標(biāo)系的故事，鼓勵(lì)學(xué)生在生活中多觀察，多思考，多感悟。

五、問(wèn)題探究，深入理解

問(wèn)題7：如何在平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)A、B、C的位置？

如圖2，學(xué)生動(dòng)手操作，由A點(diǎn)向x軸、y軸作垂線，垂足M在x軸上的坐標(biāo)是3，垂足N在y軸上的坐標(biāo)是4，我們說(shuō)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是3，縱坐標(biāo)是4，有序數(shù)對(duì)（3，4）就叫作點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A（3，4）。以此類推，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，-3）。

圖2

問(wèn)題8：怎樣在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)（2，3）、點(diǎn)（-1，3）、點(diǎn)（2，-2）？

學(xué)生畫(huà)出圖形，歸納作圖方法：先在x軸上找到表示2 的點(diǎn)，再在y軸上找到表示3的點(diǎn)，過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)就是點(diǎn)（2，3）。

問(wèn)題9：數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。通過(guò)剛才的研究，平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)跟什么存在對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題7 感悟平面內(nèi)任意一點(diǎn)對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，反過(guò)來(lái)，通過(guò)問(wèn)題8 感悟任意一個(gè)有序數(shù)對(duì)也對(duì)應(yīng)唯一的一點(diǎn)。學(xué)生在動(dòng)手動(dòng)腦的同時(shí)自然感悟坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

問(wèn)題10：觀察平面內(nèi)不同位置的點(diǎn)，說(shuō)出它們的坐標(biāo)，并歸納出這些點(diǎn)的坐標(biāo)分別具有什么特征。

學(xué)生在探究中，通過(guò)觀察、操作、歸納，最后得出結(jié)論，既是對(duì)數(shù)學(xué)概念的深入理解和掌握，也培養(yǎng)了分類的意識(shí)。

六、反思?xì)w納，遷移延伸

問(wèn)題11：請(qǐng)同學(xué)們帶著問(wèn)題，回顧和總結(jié)本節(jié)課所學(xué)：

（1）什么是平面直角坐標(biāo)系？

（2）數(shù)軸與平面直角坐標(biāo)系的異同點(diǎn)有哪些？

（3）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？

（4）平面直角坐標(biāo)系將平面分成了幾個(gè)部分？每個(gè)部分的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？

通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)進(jìn)行梳理、歸納，并與之前所學(xué)的數(shù)軸知識(shí)建立聯(lián)系，通過(guò)對(duì)比，形成理性認(rèn)識(shí)，將新知轉(zhuǎn)化為自己的認(rèn)知。

問(wèn)題12：大家觀察我們的教室空間，在我們這個(gè)教室空間里，對(duì)于講臺(tái)上的這個(gè)小粉筆頭（看成一個(gè)點(diǎn)），又該如何描述它的位置呢？

本節(jié)課學(xué)生通過(guò)探究，由一維走向了二維，自然會(huì)思考：三維位置又該如何表述？作為本節(jié)課的延伸，筆者讓學(xué)生課后查閱資料，自主探究，豐富學(xué)生的課后學(xué)習(xí)，也讓學(xué)生對(duì)未來(lái)的學(xué)習(xí)充滿期待。

夸美紐斯曾強(qiáng)調(diào)，我們的教學(xué)應(yīng)遵循自然規(guī)律。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，其產(chǎn)生與發(fā)展存在著自然性。我們的課堂在情境設(shè)置、問(wèn)題串的設(shè)計(jì)等方面要立足學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，圍繞知識(shí)和能力的本質(zhì)，以提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)為目的，合情合理，追求自然。