一類廣義二項指數(shù)和的四次均值

孟園園

(西北大學 數(shù)論及其應用研究中心,陜西 西安 710127)

設p是一個奇素數(shù),χ是模p的任意狄利克雷特征。對任意整數(shù)k>h≥1,m以及n且(n,p)=1,廣義二項指數(shù)和S(m,n,k,h,χ;p)定義為

S(m,n,k,h,χ;p)=

其中:e(y)=e2πiy;i2=-1。

廣義二項指數(shù)和在解析數(shù)論研究中起著非常重要的作用,許多重要的數(shù)論問題都與之密切相關,如素數(shù)分布以及華林問題等。因此,不少數(shù)論專家和學者對S(m,n,k,h,χ;p)的各種性質(zhì)進行了研究,取得了一系列有意義的研究成果。例如,Zhang H等[1]證明了對于任意奇素數(shù)p,有

(1)

式中,n為整數(shù)且滿足(n,p)=1。

Zhang W P等[2]利用初等和解析的方法得到了如下結(jié)論。

(2)

最近,Zhang W P等研究了S(m,n,3,1,χ0;p)的六次冪均值計算問題[3],并證明了對任意奇素數(shù)p和整數(shù)n且(n,p)=1,有恒等式

(3)

式中:4p=d2+27·b2;d是由d≡1 mod 3唯一確定。

另一方面,以Chen L等研究了二項指數(shù)和S(m,1,4,1,χ0;p)的四次均值的計算問題[4],并得到了計算公式

(4)

p=α2+β2=

一些與指數(shù)和相關的結(jié)論可參閱文獻[6-15],這里不再一一列舉。

從式(1)～式(4)可以看出,所有這些論文的內(nèi)容都只涉及S(m,n,k,h,χ;p)中的h=1。通過對文獻的檢索,到目前為止還沒有發(fā)現(xiàn)關于廣義二項指數(shù)和S(m,n,k,2,χ;p)的四次均值的相關研究內(nèi)容。這說明當k>h=2時,研究工作是具有相當難度的,不易得到理想的結(jié)果。

本文利用初等和解析方法以及一些同余方程解的個數(shù)等性質(zhì)研究了2k次冪均值的計算問題,并給出了當p≡3 mod 4以及k=2時該式的一個精確的計算公式。

即就是證明下面的結(jié)果。

定理1設p是素數(shù),p≡3 mod 4,那么,有

式中,模p的六次特征定義為存在模p的特征χ1,使得χ=χ16。

由定理1可推出以下推論。

推論1設p是素數(shù),p≡3 mod 4,那么對模p的任意非主偶特征χ,有漸近公式

16p3+O(p2)。

注1本文只討論了p≡3 mod 4的情況。如果p≡1 mod 4,暫時不能得到一個令人滿意的結(jié)果。因為無法得到下式的精確值或平非凡的上界估計。

另一方面,假定χ是模p的一個非主偶特征。否則其均值為零。事實上,如果χ是模p的一個奇特征,即χ(-1)=-1,那么可以得到

所以有

此外,考慮這種形式的四次均值的主要原因是研究單個四次均值不能得到一個精確的計算結(jié)果。這種形式的和抵消了在單個均值中無法計算的部分。

1 若干引理

為了完成定理1的證明,需要借助3個簡單的引理。這些引理的證明需要一些初等數(shù)論和解析數(shù)論的知識[5-6]。

引理1設p是一個奇素數(shù),χ為模p的任意非主偶特征,有恒等式

證明由模p的同余方程解的性質(zhì)可知

(5)

(a2+b2)(a2-1)(b2-1)≡0 modp,

當且僅當a2≡1 modp或者b2≡1 modp時成立。這種情況下注意到χ(-1)=1,有

8(p-1)-8=8(p-2)

(6)

若p≡1 mod 4,那么a2+b2≡0 modp,1≤a,b≤p-1,有2(p-1)個解。a2-1≡0 modp有2個解。這種情況下,有

8(p-2)+4(p-1)-16=

12(p-3)

(7)

結(jié)合式(5)～式(7),引理1得證。

引理2設p是一個奇素數(shù)。則對于模p的任意非主偶特征χ,有恒等式

(8)

由經(jīng)典高斯和的性質(zhì)可知

(9)

(10)

(11)

同樣,也有

(12)

(13)

(14)

結(jié)合式(8)～式(14),得到

(15)

若3|(p-1),設整數(shù)r滿足r≠1,r3≡1 modp。若χ(r)≠1,則

或者

(16)

若χ(r)=1,令χ=χ16,ψ是模p的六階本原特征。由模p的六階本原特征的性質(zhì)和式(8)～式(14)的證明思路,有

O(p)

(17)

結(jié)合式(15)～(17),有

引理2得證。

引理3設p是一個奇素數(shù),p≡3 mod 4。對于模p的任意非主偶特征χ,有恒等式

引理3得證。

2 定理1的證明

現(xiàn)在應用第1節(jié)中的3個引理來完成定理1的證明。對任何整數(shù)n,顯然有三角恒等式

對任意整數(shù)n且(n,p)=1,有

由模p的簡化剩余系的性質(zhì),有

(18)

同樣,也有

(19)

由引理3的證明方法也有

(20)

和

(21)

若χ不是模p的一個六次非主偶特征,結(jié)合式(18)～(21),引理1～3,有

16·p2·(p-2)

(22)

若χ是模p的一個六次非主偶特征,有

16·p2·(p-2)+O(p2)=

16p3+O(p2)

(23)

結(jié)合式(22)和式(23),定理1得證。

3 結(jié)語

本文的主要結(jié)果是給出了一類二項指數(shù)和四次均值的一個精確的計算公式。

式中:p≡3 mod 4;χ是模p的一個非主偶特征。

同時,研究的結(jié)果也為高次二項指數(shù)和均值的計算問題提供了一些新的有效方法,這些工作將對相關問題的研究發(fā)揮積極的作用。

致謝:作者對導師張文鵬教授的悉心指導表示衷心感謝!