關于經典高斯和及其一個新的恒等式

張文鵬,高潔潔

(西北大學 數學學院,陜西 西安 710127)

設q為整數,χ表示模q的Dirichlet特征,對任意整數m,經典高斯和G(m,χ;q)定義為:

其中e(y)=e2πiy,i2=-1。

設p為奇素數且p≡1 mod 3,λ是模p的任意3階特征,則有恒等式

(1)

Chen Z Y等[6]研究了4階特征所對應的高斯和性質,并證明了如下結論。

對任意素數p滿足p≡1 mod 4,有恒等式

(2)

這里值得指出的是在式(2)中常數α(p)有著特殊的意義。事實上當p≡1 mod 4時,一定可以表示成兩個非零整數的平方和。即(參閱文獻[3]中定理4-11)

p=α2(p)+β2(p)=

其中r是模p的任意二次非剩余。

Chen L[7]對模p的6階原特征的情況進行了討論,并證明了對任意素數p≡1 mod 6以及6階原特征ψmodp,有恒等式

式中i2=-1,d與式(1)中的定義相同。

縱觀以上幾個高斯和的結果,其特點是這些原特征的個數均為2,即歐拉函數φ(4)=φ(3)=φ(6)=2。最近,Zhang W P等[8]研究了12階特征的情況,證明了對任意素數p≡1 mod 12及12階原特征χ12modp,有

(d2-2p)·(4α2(p)-3p),

(3)

其中d和α(p)的定義與式(1)與式(2)中相同。

由式(3)立刻推出恒等式

(4α2(p)-3p)|。

因為φ(12)=4且當p≡1 mod 8時,模p的8階原特征的個數也是4,即歐拉函數φ(8)=4。所以我們自然會想到,對應的高斯和是否也存在一個類似于式(3)的恒等式,本文的主要目的就是研究這一問題,并利用初等方法以及經典高斯和的性質證明下面的結果。

定理1設p是一個奇素數且p≡1 mod 8,那么對模p的任意8階特征χ8,有恒等式

注釋本文中的定理雖然給出了8階特征高斯和的計算公式,但是其結論也有缺陷性,即表達式中含有多項式的二次特征和不能計算出具體值。對于其中包含的二次特征和,是否能計算出它的精確值是一個有趣的公開問題!

此外,注意到φ(5)=4,所以當p≡1 mod 5時,模p的5階原特征個數也是4。對于5階特征以及2h階特征(h≥4)對應的高斯和,是否也有一個類似于我們定理的計算公式,它是一個有意義的研究課題。建議有興趣的讀者與我們一起考慮!

1 若干引理

為了完成定理的證明,需要以下引理。在下文中,將用到初等數論知識以及高斯和性質,這些內容在文獻[1-3]中有詳細的描述,這里不在贅述。

引理1設p是一個奇素數,χ為模p的任意非主特征,則有恒等式

τ(χ)·τ(χχ2)

證明事實上這一結論的一般情況可參閱文獻[15],這里給出這一特殊情況的簡單證明。

對模p的任一非主特征,由經典高斯和的性質,有

(4)

另一方面,對任意整數b且(b,p)=1,由恒等式

χ2(b)·τ(χ2),

也有

(5)

結合式(4)和(5),有恒等式

(6)

τ(χ2)·τ(χ)·(χχ2)。

于是證明了引理1。

引理2設p是一個奇素數且p≡1 mod 8,χ8為模p的8階原特征,則有恒等式

(7)

類似也有

(8)

或者

于是證明了引理2。

引理3設p是一個奇素數且p≡1 mod 8,則有恒等式

證明由勒讓德符號的性質可得

(9)

應用高斯和的性質,有

(10)

同理可得

(11)

結合式(9),(10)及(11),可得

2χ4(2)·χ8(-1)·

于是證明了引理3。

2 定理的證明

(12)

由式(12)及引理3立刻推出

于是完成了定理1的證明。

3 結語

本文主要利用經典高斯和的性質研究了一類特殊高斯和方冪和的計算問題,并給出了它們的一個精確計算公式。即證明了如下結論:設p為素數滿足p≡1 mod 8,χ8為模p的任意8階特征,那么有恒等式

顯然這一研究結果是有意義的,它不僅擴充了經典高斯和的研究內容,而且有助于有關方面研究工作的進一步展開!