提高學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的理解及運(yùn)用能力

黎淑儀

一、案例背景

數(shù)學(xué)家羅素說過：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯?！狈栃允菙?shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)，數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的基本語言，是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維方法的載體。教師往往比較重視運(yùn)算，忽視了學(xué)生對符號的理解及運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用符號的意識比較薄弱。學(xué)生雖然每天都在和符號打交道，但深層次理解符號思想的并不多，大部分學(xué)生沒有體會到數(shù)學(xué)符號應(yīng)用的意義，學(xué)生自主運(yùn)用符號的能力還沒有達(dá)到課標(biāo)要求。

從符號意識概念的轉(zhuǎn)變過程來看，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出“符號感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示；理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表達(dá)的問題”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》修改為“符號意識主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》則指出“符號意識主要是指能夠感悟符號的數(shù)學(xué)功能，知道符號表達(dá)的現(xiàn)實(shí)意義；能夠初步運(yùn)用符號表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律；知道用符號表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性；初步體會符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式，符號意識是形成抽象能力和推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)”。從“符號感”到“符號意識”的改變，不僅是改換了一個(gè)表述，而是鮮明地體現(xiàn)了“主動”和“被動”的差異，數(shù)學(xué)符號對于學(xué)習(xí)者來說主要的不是潛意識、直覺或感覺，而是一種主動的使用符號的心理傾向，是一種自覺的心理活動。更加側(cè)重符號在現(xiàn)實(shí)情境中的意義和運(yùn)用，有利于學(xué)生分析問題和理解問題能力的提高，對學(xué)生高階思維能力的形成以及核心素養(yǎng)的提高有著推動作用?！敖鉀Q‘之間有幾個(gè)的問題”一課來源于人教版教材一年級上冊第六單元，其教學(xué)定位是讓學(xué)生靈活地解答“之間有幾個(gè)”的簡單問題，體會策略的多樣性，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)。通過對案例中兩個(gè)教學(xué)片斷的研究，揭示這一素材在數(shù)學(xué)符號方面所蘊(yùn)含的深刻數(shù)學(xué)思想及內(nèi)涵。

二、教學(xué)片斷

（一）片斷一：初步感知，掌握基本方法

例題：在一列隊(duì)伍中，小麗排第10，小宇排第15，小麗和小宇之間有幾人？（出示圖例）

師：從題目中你知道了什么？要解決什么問題？你是怎樣解決的？

生1：我知道小麗排第10，小宇排第15。問題是“小麗和小宇之間有幾人？”

生2：從前向后數(shù)，小麗排在第10位，她前面有9人。

生3：從前向后數(shù)，小宇排在第15位，他前面有14人。小麗在小宇的前面。

師：“之間”又是什么意思？小麗和小宇要數(shù)嗎？

生：小麗和小宇之間就是不包括小麗和小宇。

生4：不數(shù)，所以我從小麗后面一個(gè)開始數(shù)，應(yīng)該是4人。

生5：我直接從第11開始數(shù)，11、12、13、14，也能數(shù)到他們之間有4人。

師：我們可以用“數(shù)一數(shù)”的方法，解決這一類的問題。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生剛接觸解決問題不久，從具體情境中抽象出問題并解決問題的能力還比較薄弱。充分利用主題圖呈現(xiàn)生活情境，幫助學(xué)生把抽象的問題具體化、直觀化，有利于學(xué)生對基數(shù)與序數(shù)的理解。讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程。激活學(xué)生舊知的經(jīng)驗(yàn)，以最簡單易懂的“數(shù)數(shù)法”解決問題，讓學(xué)生獲得解決問題的基本經(jīng)驗(yàn)和方法，從而提高學(xué)生分析和解決問題的能力。

（二）片斷二：拓展延伸，內(nèi)化規(guī)律

1. 自主探究解決問題的方法，體會畫圖、運(yùn)算等“符號化”過程

師：還可以怎么解決“小麗和小宇之間有幾人？”這個(gè)問題？請?jiān)谒娜诵〗M內(nèi)交流討論，找出更多的解決方法。

生1：可以用15－10＝5（人）計(jì)算。

學(xué)生受之前解決問題的列式計(jì)算影響，直觀地以為用“大數(shù)減小數(shù)”就能解決。這時(shí)教師不要急著否定他們，而是給學(xué)生自主開展深入的考究與辯證。

生2：他們算的5人不對，因?yàn)槲覀兘M用數(shù)的方法，得出結(jié)果是4人。

于是該組同學(xué)請了15個(gè)同學(xué)出來排一排，經(jīng)實(shí)操再次驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)第10與第15之間確實(shí)只有4人。

生3：我們組是這樣想的，小麗和小宇之間不包括小麗和小宇。小麗排在第10，我就從第11開始數(shù)，11、12、13、14。所以他們之間有4人。

生4：我們組是用畫圖的方法，用“O”代替人，從第10開始畫一畫，畫到第15，再數(shù)數(shù)就知道是4人了。

……

2. 以學(xué)生最常見的錯(cuò)誤資源，拓展類推，引出字母符號的使用

師：為什么剛才用15－10＝5（人）不對呢？15－10表示什么？

生：用15減10，表示求出第10個(gè)后面有幾人。而后面的人中不包括15，所以還要減去第15這一個(gè)，即5還要再減1。

板書算式：15－10－1＝4（人）

師：如果把題目改成第7個(gè)與第16個(gè)之間有幾人？你會算嗎？

生：16－7－1＝8（人）

師：第3個(gè)與第19個(gè)之間有幾人呢？

生：19－3－1＝15（人）

……

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，并推導(dǎo)總結(jié)方法：只要求出兩個(gè)序數(shù)的差再減1，就可以求出它們之間有幾個(gè)了。

拓展了解用字母表示數(shù)，讓學(xué)生用列式計(jì)算的方法概括解決這類問題的方法，為以后的“植樹問題”積累經(jīng)驗(yàn)。

歸納小結(jié)：求兩個(gè)數(shù)之間有幾個(gè)數(shù)，我們可以用數(shù)數(shù)法、畫圖法，還可以用計(jì)算法。解決問題時(shí)可以選擇你最容易理解、最喜歡的方法。

【設(shè)計(jì)意圖】注重培養(yǎng)學(xué)生從圖中獲取信息、提出問題、分析問題的意識和能力，鼓勵(lì)學(xué)生小組合作探究不同的解決問題的策略方法；注重讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)具體物體的數(shù)量到用抽象的數(shù)字來表示的學(xué)習(xí)過程，理解作為符號的數(shù)字所表示的含義，為以后學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”鋪墊；抓住課堂生成的契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題“符號化”，逐步體會用數(shù)、圖形將實(shí)際問題“符號化”的優(yōu)越性、直觀性、簡約性；體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律、從特殊到一般的探索和歸納過程，建構(gòu)與積累符號意識。

三、教學(xué)分析

下面是執(zhí)教者就“解決‘之間有幾個(gè)的問題”這一實(shí)踐案例，談?wù)剬πW(xué)數(shù)學(xué)在解決問題教學(xué)中的實(shí)踐思考，主要圍繞“符號意識”的培養(yǎng)策略進(jìn)行簡要闡述。這也為今后開展小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的教學(xué)積累經(jīng)驗(yàn)，并有效地服務(wù)于日常教學(xué)。

（一）挖掘生活經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)符號的親切感

學(xué)生對于數(shù)學(xué)符號意識認(rèn)知不強(qiáng)烈的主要原因在于數(shù)學(xué)符號是抽象的，學(xué)生在生活中很少使用。想要培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，就要將數(shù)學(xué)符號融入學(xué)生的日常生活，讓數(shù)學(xué)符號變得更加貼近生活，更加富有親切感。如：本課以排隊(duì)這一熟悉的生活情境引入要解決的問題“小麗和小宇之間有幾人？”借助形象、直觀的生活情境圖，緊密聯(lián)系生活，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的親切感，促進(jìn)學(xué)生對于數(shù)學(xué)符號的靈活運(yùn)用，減少其與數(shù)學(xué)符號的距離。

（二）明確內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，提高符號的理解能力

在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)符號所表示的意義的理解。例如對一些枯燥無味的概念或者公式定律，教師可以根據(jù)其發(fā)展歷程及相關(guān)的有趣故事來引起學(xué)生對這些數(shù)學(xué)符號的學(xué)習(xí)興趣。也可以通過引導(dǎo)學(xué)生一起推導(dǎo)新的公式，增強(qiáng)學(xué)生的參與感，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的印象。對于一些相近的或辨識度不高的符號，則需要通過對比的方法揭示各自的本質(zhì)，從而加深學(xué)生對于數(shù)學(xué)符號的識別能力，使得學(xué)生能正確的使用數(shù)學(xué)符號。如：在學(xué)生用列式計(jì)算的方法解決問題后，再一起推導(dǎo)概括出這三個(gè)問題的計(jì)算公式b－a－1、b－a、b－a＋1，比較它們之間的區(qū)別，加深理解和記憶。

（三）積累數(shù)學(xué)語言，提升符號的表達(dá)能力

基于研學(xué)后教3.0課堂教學(xué)改革理念下，日常的課堂教學(xué)更注重引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動思考、主動合作探究，有利于學(xué)生積極表達(dá)自己的觀點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的語言表達(dá)能力與合作交流能力，為學(xué)生提供更寬廣的認(rèn)識與交流符號知識的平臺。幫助學(xué)生學(xué)會在數(shù)學(xué)問題中提取有用的數(shù)學(xué)信息，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，并將煩瑣的題目文字符號化。用數(shù)學(xué)符號的方式準(zhǔn)確地表達(dá)題意，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為更易理解的數(shù)學(xué)方式，掌握必要的數(shù)學(xué)語言，提升學(xué)生的符號表達(dá)能力。

（四）解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)符號的運(yùn)用能力

充分利用實(shí)際問題情境，幫助學(xué)生建立符號模型解決問題，觸發(fā)學(xué)生符號意識的強(qiáng)烈要求，而“問題解決”是檢測符號運(yùn)用的方法之一。解決問題的第一步就是將問題“符號化”，逐步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“具體情境→抽象的符號表示→深化應(yīng)用”這一過程，并在實(shí)際問題中促進(jìn)符號意識的形成。因此，在“解決‘之間有幾個(gè)的問題”教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生充分地經(jīng)歷分析問題、解決問題和檢驗(yàn)回顧的一般過程，積累經(jīng)驗(yàn)，并注重引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題，針對學(xué)生學(xué)習(xí)水平進(jìn)行多元化的培養(yǎng)，讓學(xué)生根據(jù)自己的能力，選擇更合適的數(shù)學(xué)方法來解決數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)符號的運(yùn)用能力。

通過組織開展“解決‘之間有幾個(gè)的問題”一課的教學(xué)，讓學(xué)生更深入體會到數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的基本語言，是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)表示、計(jì)算、推理、交流和解決問題的思維工具。數(shù)學(xué)符號有利于促進(jìn)思維的“自由”創(chuàng)造，通過給思維對象以符號，化繁從簡、提煉本質(zhì)，體會符號創(chuàng)造的過程。學(xué)生符號意識的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程中，并要從低年級抓起，使學(xué)生從小就習(xí)慣用數(shù)學(xué)符號解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)本身的問題，給學(xué)生埋下符號意識的種子。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的符號意識，理解符號化的意義，是促進(jìn)數(shù)學(xué)思考、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需要，為他們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。