探究圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程

涂賀蘭

一、教學(xué)內(nèi)容

義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第三單元P25“圓柱的體積”。

二、教材簡(jiǎn)析

圓柱是一種含有曲面的幾何體，對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)體積和計(jì)算增加了難度。教材將本課學(xué)習(xí)安排在圓柱的認(rèn)識(shí)和圓柱的表面積之后。讓學(xué)生有序地經(jīng)歷了探究物體與圖形的形狀、大小、位置關(guān)系的變換過(guò)程，掌握?qǐng)A柱體積的計(jì)算方法和公式的推導(dǎo)過(guò)程，建立初步的空間概念，培養(yǎng)形象思維，還可以為學(xué)習(xí)圓錐體積打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力。

三、學(xué)情分析

高年級(jí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題能力逐步增強(qiáng)，這為學(xué)生的自主探究及合作學(xué)習(xí)創(chuàng)造了有利條件，他們已經(jīng)掌握了一些幾何知識(shí)，了解部分幾何圖形之間的轉(zhuǎn)化方法。但學(xué)生的立體空間觀念還不是完全成熟，形體之間的轉(zhuǎn)化還有一定的困難。針對(duì)學(xué)生的實(shí)際，教學(xué)中筆者主要采用觀察、比較、操作等方法。組織學(xué)生探索規(guī)律，歸納總結(jié)，體驗(yàn)知識(shí)的生成和形成。

四、教學(xué)目標(biāo)

1. 經(jīng)歷圓柱的體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握?qǐng)A柱的體積計(jì)算公式。

2. 能正確運(yùn)用圓柱的體積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。

3. 在探究圓柱體積的計(jì)算公式過(guò)程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法；再次感受極限的思想。

五、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正確計(jì)算圓柱的體積

教學(xué)難點(diǎn)：理解圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程

六、教學(xué)準(zhǔn)備

學(xué)具（圓柱展開(kāi)圖）、多媒體課件等。

七、教學(xué)過(guò)程

（一）回顧舊知，做好知識(shí)遷移

1. 我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了圓柱，也學(xué)習(xí)了圓柱的表面積，今天這節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)圓柱的體積，（板書(shū)：圓柱的體積）什么是圓柱的體積？（圓柱所占空間的大小就叫作圓柱的體積）

2. 我們學(xué)過(guò)哪些立體圖形的體積計(jì)算公式？（長(zhǎng)方體和正方體，長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高；正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)）誰(shuí)還有補(bǔ)充？（統(tǒng)一的計(jì)算公式是底面積×高）

3. 我們先來(lái)看看圓柱、長(zhǎng)方體和正方體有什么聯(lián)系和區(qū)別？我們能不能把圓柱的底面轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或者正方形呢？回憶我們?cè)谕茖?dǎo)圓面積公式時(shí)是怎樣做的？

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)題與新知識(shí)聯(lián)系緊密，針對(duì)性強(qiáng)，既檢查了學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的掌握情況，有利于調(diào)節(jié)教學(xué)過(guò)程，又為學(xué)習(xí)新的知識(shí)作好了鋪墊。設(shè)疑激趣，激發(fā)學(xué)生探求新知的欲望。

（二）小組合作探究，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，體驗(yàn)“極限思想”

1. 學(xué)生動(dòng)手操作，完成下面的兩個(gè)問(wèn)題。（教師為每個(gè)同學(xué)準(zhǔn)備了一個(gè)學(xué)具模型，同學(xué)們帶著問(wèn)題邊動(dòng)手操作邊思考）

①把圓柱的底面分成許多相等的扇形，把圓柱切開(kāi)，再拼起來(lái)得到一個(gè)近似的（? ? ? ），比較切拼前后的圖形，發(fā)現(xiàn)（? ? ? ）變了，（? ? ? ）沒(méi)變。

②拼成的近似的長(zhǎng)方體的底面積相當(dāng)于圓柱的（? ? ? ），高相當(dāng)于圓柱的（? ? ? ）。

小組交流匯報(bào)。

2. PPT演示將圓柱形分成16等份、32等份、64等份。

思考：①分的份數(shù)越多，每一份就會(huì)越小，拼成的圖形就會(huì)越接近一個(gè)什么圖形？②所以要計(jì)算圓柱的體積可以轉(zhuǎn)化成計(jì)算什么圖形的體積？

3. 推導(dǎo)圓柱的體積公式。

（1）因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積＝（底面積）×（高）

所以圓柱的體積＝（底面積）×（高）

V＝sh

V＝πr2h

（2）讀背公式并理解記憶。

（3）計(jì)算圓柱的體積需要什么條件？如果題目給的是半徑或直徑呢？

【設(shè)計(jì)意圖】采用以小組合作探究的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，使聽(tīng)覺(jué)、視覺(jué)、觸覺(jué)等各種感官一起參與活動(dòng)，通過(guò)自己親自動(dòng)手操作，努力去探索圓柱體積與長(zhǎng)方體之間的聯(lián)系，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生各種感官，完成從操作→觀察、比較→歸納推理的認(rèn)知過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手、動(dòng)腦得到結(jié)論。這樣的學(xué)習(xí)，既發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，又充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體作用。體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，再次感受極限的思想。

（三）鞏固練習(xí)

1. 計(jì)算下面各圓柱的體積。（后面兩題的單位是cm）

2. 李家莊挖了一口圓柱形水井，地面以下的井深10m，底面直徑為1m。挖出的土有多少立方米？

【設(shè)計(jì)意圖】這組練習(xí)題主要讓學(xué)生熟悉運(yùn)用公式正確計(jì)算圓柱的體積，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，在運(yùn)用新知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)到成功的喜悅和樂(lè)趣。

（四）全課小結(jié)

談?wù)勀愕氖斋@。

【設(shè)計(jì)意圖】用“你學(xué)到了什么？通過(guò)什么方法學(xué)到的？”來(lái)引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)性的收獲和解決問(wèn)題的方法的收獲兩方面進(jìn)行課堂小結(jié)，可以幫助學(xué)生疏理所學(xué)知識(shí)、激發(fā)他們展開(kāi)豐富的想象，使之感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的無(wú)窮奧妙，也為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

（五）堂上檢測(cè)

1. 做一個(gè)圓柱形的油桶，求用多少鐵皮？是計(jì)算油桶的（? ?）；求能裝多少油，要計(jì)算油桶的（? ?）；求占多大的地，是計(jì)算油桶的（? ?）；在油桶的四周貼上商標(biāo)紙，是計(jì)算油桶的（? ?）。

A. 底面積? ?B. 側(cè)面積? ?C. 表面積? ?D. 容積

2. 一根圓柱形木料底面積為75cm2，長(zhǎng)90cm，它的體積是（? ?）cm3。

3. 一個(gè)圓柱形的零件，底面半徑是5cm，高是8cm。這個(gè)零件的體積是（? ?）cm3。

【設(shè)計(jì)意圖】這組小測(cè)題，主要讓學(xué)生分清什么時(shí)候是求底面積、側(cè)面積、表面積、體積（容積），檢測(cè)學(xué)生對(duì)圓柱體積公式的掌握情況。

（六）研學(xué)拓展

把一根長(zhǎng)15分米的圓柱形鋼材截成三段后，如圖，表面積比原來(lái)增加9.6平方分米，這根鋼材原來(lái)的體積是多少？

八、板書(shū)設(shè)計(jì)

圓柱的體積

長(zhǎng)方體的體積＝底面積×高

圓柱的體積＝底面積×高

V＝sh

V＝πr2h

九、教學(xué)反思

課一開(kāi)始，筆者用了一系列的問(wèn)題引起學(xué)生的思考：什么是圓柱的體積？回憶長(zhǎng)、正方體的體積是怎么求的？找出圓柱與長(zhǎng)、正方體有什么聯(lián)系與區(qū)別？引導(dǎo)學(xué)生回想圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程。引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比，提出能否把圓柱轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的某種立體圖形來(lái)推導(dǎo)出體積計(jì)算公式呢？既檢查了學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的掌握情況，有利于調(diào)節(jié)教學(xué)過(guò)程，又為學(xué)習(xí)新的知識(shí)作好了鋪墊。由于復(fù)習(xí)鋪墊較多，導(dǎo)致后面的時(shí)間較緊，在下次的教學(xué)中，是否可以直接進(jìn)入主題：“能否把圓柱轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的某種立體圖形來(lái)推導(dǎo)出它的體積計(jì)算公式呢？”引起學(xué)生的思考。

接著讓學(xué)生動(dòng)手操作，通過(guò)操作，把圓柱轉(zhuǎn)化成近似長(zhǎng)方體后，觀察前后各部分的對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生在小組內(nèi)說(shuō)說(shuō)什么變了？什么沒(méi)變？自主推導(dǎo)出圓柱的體積計(jì)算公式。推導(dǎo)出公式，立即讓學(xué)生記憶公式，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)計(jì)算體積需要什么條件？在這個(gè)環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，努力去探索圓柱體積與長(zhǎng)方體之間的聯(lián)系，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生各種感官，完成從操作→觀察、比較→歸納推理的認(rèn)知過(guò)程，最后自主推導(dǎo)出圓柱的體積計(jì)算公式。在教學(xué)中對(duì)于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)（什么變了？什么沒(méi)變？）分析得不是很透徹，教師最好也準(zhǔn)備2個(gè)圓柱的展開(kāi)圖，便于學(xué)生觀察理解轉(zhuǎn)化前后的聯(lián)系。